Karamö, le prof virtuelLeçon 36 sur 38
La rotation
Je sais définir une rotation, l'écrire en nombres complexes (z' − ω = e^(iθ)(z − ω)), retrouver son centre et son angle, et l'utiliser pour démontrer des propriétés géométriques.
- 1 h 30
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir la rotation de centre Ω et d'angle θ et connaître ses propriétés
- Écrire une rotation en complexes et en coordonnées
- Reconnaître une rotation à partir de z' = az + b (
- a
- = 1, a ≠ 1) et trouver son centre et son angle
- Utiliser les rotations (composées, triangles équilatéraux, carrés) dans des problèmes de type BAC
Avant de commencer : Isométries et applications : généralités ; symétries centrale et orthogonale ; angles orientés ; nombres complexes : forme trigonométrique et notation exponentielle.
1Je découvre
Dans la gare routière de Mamou, une grande horloge est accrochée au mur. Kadiatou attend son taxi-brousse pour Labé et regarde la grande aiguille : en 15 minutes, son extrémité a décrit un quart de cercle autour du centre du cadran, dans le sens des aiguilles d'une montre, bien sûr. Sa longueur n'a pas changé ; seule sa direction a tourné d'un angle droit.
Plus tard, dans le taxi, elle observe la roue d'une moto qui les dépasse : chaque rayon tourne autour du moyeu, en restant à la même distance du centre.
Ces mouvements sont des rotations. En Terminale, on les décrit avec les nombres complexes : multiplier par i, par exemple, fait tourner un point d'un quart de tour autour de l'origine. C'est l'outil le plus efficace pour démontrer qu'un triangle est équilatéral ou qu'un quadrilatère est un carré.
Comment définir une rotation, l'écrire avec les nombres complexes, et s'en servir pour résoudre des problèmes de géométrie ?
2Je comprends
Dans les encadrés, on note vect(AB) le vecteur AB. Le plan est orienté (sens direct : sens inverse des aiguilles d'une montre).
1. Définition
Définition. Soit Ω un point et θ un réel. La rotation de centre Ω et d'angle θ, notée r(Ω, θ), est l'application qui :
- laisse Ω invariant : r(Ω) = Ω ;
- à tout point M ≠ Ω associe le point M' tel que :
Ω M' = Ω M et (Ω M, Ω M') = θ [2π].
Cas particuliers :
- θ = 0 [2π] : c'est l'identité ;
- θ = π [2π] : c'est la symétrie centrale de centre Ω.
La grande aiguille de l'horloge subit, en 15 minutes, la rotation de centre le centre du cadran et d'angle -π2 (sens indirect).
2. Propriétés
- Une rotation est une isométrie et un déplacement (elle conserve les angles orientés).
- Si θ ≠ 0 [2π], son seul point invariant est le centre Ω.
- Réciproque : r(Ω, θ)-1 = r(Ω, -θ).
- Propriété de l'angle : si M', N' sont les images de M ≠ N, alors (MN, M'N') = θ [2π] : toute droite tourne de l'angle θ.
- Même centre : r(Ω, θ') ° r(Ω, θ) = r(Ω, θ + θ').
- Centres différents : r(B, θ') ° r(A, θ) est une rotation d'angle θ + θ' si θ + θ' ≠ 0 [2π], et une translation sinon.
- Décomposition : r(Ω, θ) = sd2 ° sd1 pour deux droites passant par Ω avec (d1, d2) = θ2.
3. Écriture complexe
Soit ω l'affixe de Ω. Pour M ≠ Ω, les conditions Ω M' = Ω M et (Ω M, Ω M') = θ signifient que z' - ωz - ω a pour module 1 et pour argument θ, c'est-à-dire :
z' - ω = eiθ(z - ω).
En développant, on obtient une écriture z' = az + b avec a = eiθ.
Réciproque. L'application z mapsto az + b avec |a| = 1 et a ≠ 1 est la rotation :
- d'angle θ = arg(a) ;
- de centre Ω d'affixe ω = b1 - a (unique solution de ω = aω + b).
Si a = 1, c'est la translation z mapsto z + b.
Écriture analytique. Pour la rotation de centre O et d'angle θ :
begincases x' = xcosθ - ysinθ
y' = xsinθ + ycosθ endcases
Par exemple, pour θ = π2 : (x ; y) mapsto (-y ; x), qui correspond à z' = iz.
Méthode
Pour reconnaître une application z ↦ az + b :
- Je calcule |a|. Si |a| = 1 et a ≠ 1, c'est une rotation (si a = 1, une translation).
- L'angle est un argument de a : j'écris a = e^(iθ).
- Le centre est le point fixe : je résous ω = aω + b, soit ω = b/(1 − a), en écrivant le résultat sous forme algébrique.
- Contrôle : je vérifie que aω + b = ω.
Exemple
Écrire la rotation de centre Ω(1 ; 2) et d'angle π/2, puis donner l'image de M(4 ; 2).
z' − (1 + 2i) = i(z − 1 − 2i), soit z' = iz − i + 2 + 1 + 2i = iz + 3 + i.
Pour z = 4 + 2i : z' = i(4 + 2i) + 3 + i = 4i − 2 + 3 + i = 1 + 5i. Donc M'(1 ; 5).
Contrôle : ΩM = |3| = 3 et ΩM' = |1 + 5i − 1 − 2i| = |3i| = 3.
Exemple
Reconnaître f : z ↦ iz + 1 + i.
a = i, |a| = 1 et a ≠ 1 : c'est une rotation d'angle arg(i) = π/2.
Centre : ω = (1 + i)/(1 − i) = (1 + i)²/((1 − i)(1 + i)) = (1 + 2i − 1)/2 = i.
Contrôle : i × i + 1 + i = −1 + 1 + i = i.
f est la rotation de centre Ω(0 ; 1) et d'angle π/2.
4. Triangles équilatéraux et carrés
Les rotations fournissent des caractérisations très utiles au BAC :
- ABC est équilatéral direct ⇔ C est l'image de B par r(A, π3) ⇔ c - a = eiπ/3(b - a) ;
- ABC est rectangle isocèle en A (direct) ⇔ c - a = i(b - a) ;
- ABCD est un carré direct de centre O ⇔ B, C, D sont les images successives de A par r(O, π2).
Exemple
A(1 + i) et B(3 + i). Trouver C tel que ABC soit équilatéral direct.
c − a = e^(iπ/3)(b − a) = (1/2 + i√3/2) × 2 = 1 + i√3.
c = 1 + i + 1 + i√3 = 2 + i(1 + √3).
Contrôle : AB = 2 ; AC = |1 + i√3| = √(1 + 3) = 2 ; BC = |−1 + i√3| = 2.
3Je retiens
Je retiens
r(Ω, θ) : ΩM' = ΩM et (vect(ΩM), vect(ΩM')) = θ [2π]. Seul point fixe : Ω (si θ ≠ 0).
Complexe : z' − ω = e^(iθ)(z − ω).
z ↦ az + b avec |a| = 1, a ≠ 1 : rotation d'angle arg(a) et de centre ω = b/(1 − a).
Centre O : x' = x cos θ − y sin θ ; y' = x sin θ + y cos θ.
Isométrie, déplacement ; (vect(MN), vect(M'N')) = θ ; réciproque r(Ω, −θ).
Même centre : les angles s'ajoutent. Angle π : symétrie centrale.
ABC équilatéral direct ⟺ c − a = e^(iπ/3)(b − a) ; rectangle isocèle direct en A ⟺ c − a = i(b − a).
4Erreurs fréquentes
- Écrire z' = e^(iθ) z pour une rotation dont le centre n'est pas O : il faut z' − ω = e^(iθ)(z − ω).
- Se tromper de signe sur l'angle : le sens des aiguilles d'une montre correspond à un angle négatif (−π/2 pour un quart de tour « horaire »).
- Calculer le centre avec b/(1 + a) ou b/(a − 1) : le point fixe vérifie ω = aω + b, donc ω = b/(1 − a).
- Oublier de mettre le centre sous forme algébrique (multiplier par le conjugué du dénominateur).
5Je m’exerce
1Exercice 1
Donne l'écriture complexe de la rotation de centre Ω(2 - i) et d'angle -π2, puis l'image de l'origine O.
Voir le corrigéCacher le corrigé
e-iπ/2 = -i. z' - (2 - i) = -i(z - 2 + i) = -iz + 2i + 1, donc z' = -iz + 3 + i.
Contrôle : Ω est fixe : -i(2 - i) + 3 + i = -2i - 1 + 3 + i = 2 - i.
Image de O : z' = 3 + i, soit le point (3 ; 1).
2Exercice 2
Reconnais chacune des applications suivantes :
a) z mapsto (√32 + 12i)z ; b) z mapsto -iz + 2.
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a) a = √32 + 12i = eiπ/6 et b = 0 : rotation de centre O et d'angle π6.
b) a = -i = e-iπ/2 : rotation d'angle -π2. Centre : ω = 21 + i = 2(1 - i)2 = 1 - i. Contrôle : -i(1 - i) + 2 = -i - 1 + 2 = 1 - i.
3Exercice 3
Avec l'écriture analytique, calcule l'image de A(2 ; 0) et de B(0 ; 4) par la rotation de centre O et d'angle π3. Vérifie que OA' = OA.
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cosπ3 = 12 et sinπ3 = √32.
A' : x' = 2 × 12 - 0 = 1 et y' = 2 × √32 + 0 = √3. A'(1 ; √3).
B' : x' = 0 - 4 × √32 = -2√3 et y' = 0 + 4 × 12 = 2. B'(-2√3 ; 2).
OA' = √1 + 3 = 2 = OA.
4Exercice 4
Les points A, B, C ont pour affixes a = 2 + i, b = 4 + 3i et c = 3i.
a) Calcule c - ab - a.
b) Déduis-en la nature du triangle ABC.
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a) c - a = 3i - 2 - i = -2 + 2i et b - a = 2 + 2i.
-2 + 2i2 + 2i = (-2 + 2i)(2 - 2i)(2 + 2i)(2 - 2i) = -4 + 4i + 4i - 4i28 = 8i8 = i.
b) c - ab - a = i = eiπ/2, donc c - a = i(b - a) : C est l'image de B par la rotation de centre A et d'angle π2. On a donc AC = AB et (AB, AC) = π2 : le triangle ABC est rectangle isocèle en A (et direct).
Contrôle : AB = |2 + 2i| = 2√2, AC = |-2 + 2i| = 2√2 et BC = |c - b| = |-4| = 4 ; on a bien AB2 + AC2 = 8 + 8 = 16 = BC2.
5Exercice 5
(Type BAC) On considère l'application f : z mapsto iz + 2 + 2i.
a) Montre que f est une rotation dont on précisera le centre Ω et l'angle.
b) Calcule l'image A' du point A d'affixe 2.
c) Détermine l'image par f du cercle mathcalC de centre O et de rayon 1.
d) Calcule f ° f(z) et reconnais f ° f.
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a) a = i, |a| = 1, a ≠ 1 : rotation d'angle π2. Centre : ω = 2 + 2i1 - i = (2 + 2i)(1 + i)2 = 2 + 2i + 2i + 2i22 = 4i2 = 2i.
Contrôle : i × 2i + 2 + 2i = -2 + 2 + 2i = 2i. f est la rotation de centre Ω(0 ; 2) et d'angle π2.
b) f(2) = 2i + 2 + 2i = 2 + 4i : A'(2 ; 4). Contrôle : Ω A = |2 - 2i| = 2√2 et Ω A' = |2 + 2i| = 2√2.
c) Une rotation conserve les distances : l'image est le cercle de centre f(0) = 2 + 2i et de rayon 1.
d) f ° f(z) = i(iz + 2 + 2i) + 2 + 2i = -z + 2i - 2 + 2 + 2i = -z + 4i. C'est la symétrie centrale de centre d'affixe 2i, c'est-à-dire Ω : on retrouve r(Ω, π2 + π2) = r(Ω, π).
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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