Karamö, le prof virtuelLeçon 8 sur 47
Les lois de Newton
Je sais énoncer les trois lois de Newton et appliquer le théorème du centre d'inertie pour relier les forces à l'accélération d'un solide.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Énoncer le principe de l'inertie, le théorème du centre d'inertie et le principe des actions réciproques
- Faire le bilan des forces extérieures et les représenter
- Appliquer la relation ΣF = m aG en la projetant sur des axes
- Calculer une accélération, une force ou une tension
Avant de commencer : Cinématique (vecteurs vitesse et accélération, MRU, MRUV) ; les forces usuelles (poids, réaction, tension) vues en classe de 11e ; projection de vecteurs.
1Je découvre
Au bord du fleuve, Ousmane, un jeune pêcheur, veut sauter de sa pirogue vers la berge. Au moment où il s'élance vers l'avant, la pirogue recule et il manque de tomber à l'eau ! Plus tard, au village, sa sœur Mariama remonte un seau d'eau du puits avec une corde : quand elle tire plus fort, le seau accélère vers le haut ; quand elle tire juste ce qu'il faut, il monte à vitesse constante.
Ousmane s'interroge : « Pourquoi la pirogue recule-t-elle ? Et quelle force faut-il exercer pour que le seau monte plus vite ? »
Ces questions ont été résolues à la fin du XVIIe siècle par le savant anglais Isaac Newton, qui a publié trois lois reliant les forces et le mouvement. Elles permettent de prévoir le mouvement d'un taxi, d'un ballon, d'une fusée ou d'une planète.
Quelles sont les trois lois de Newton, et comment les utiliser pour calculer le mouvement d'un solide à partir des forces qu'il subit ?
2Je comprends
1. Le vocabulaire de départ
- Le système est l'objet étudié. On ne considère que les forces extérieures qui s'exercent sur lui.
- Le centre d'inertie G est le point du solide qui a le mouvement le plus simple ; pour un solide homogène symétrique, c'est son centre géométrique.
- Un référentiel galiléen est un référentiel où le principe de l'inertie est vérifié. Pour les mouvements courts à la surface de la Terre, le référentiel terrestre est considéré comme galiléen. Pour les satellites, on utilise le référentiel géocentrique.
2. Première loi : le principe de l'inertie
Énoncé. Dans un référentiel galiléen, si un solide est isolé ou pseudo-isolé (ΣFext = 0), son centre d'inertie G est soit au repos, soit animé d'un mouvement rectiligne uniforme. La réciproque est vraie.
Conséquence : un taxi qui roule en ligne droite à vitesse constante est pseudo-isolé : la force motrice compense exactement les frottements. Il ne faut pas de force « résultante » pour entretenir un mouvement rectiligne uniforme ; il en faut une pour le modifier.
3. Deuxième loi : le théorème du centre d'inertie
Énoncé. Dans un référentiel galiléen, la somme des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de sa masse par le vecteur accélération de son centre d'inertie :
ΣFext = m aG
avec F en newtons (N), m en kilogrammes (kg) et aG en m/s². Cette relation est aussi appelée relation fondamentale de la dynamique.
Conséquences :
- aG a la même direction et le même sens que la somme des forces ;
- si la somme des forces est constante, l'accélération est constante : le mouvement est uniformément varié ;
- on retrouve la première loi quand ΣF = 0 : alors aG = 0.
En plus pour SM : en introduisant le vecteur quantité de mouvement p = m vG (en kg·m/s), la deuxième loi s'écrit ΣFext = dpdt, ce qui revient au même quand la masse est constante.
4. Troisième loi : le principe des actions réciproques
Énoncé. Lorsqu'un corps A exerce sur un corps B une force FA/B, le corps B exerce sur A une force FB/A telle que :
FB/A = -FA/B
Les deux forces ont la même droite d'action, la même valeur et des sens opposés. Elles s'appliquent sur deux corps différents : elles ne se compensent donc jamais.
C'est la réponse au problème d'Ousmane : en sautant, il pousse la pirogue vers l'arrière ; la pirogue le pousse vers l'avant. La pirogue, peu retenue par l'eau, recule.
- concerne un seul système
- ΣF = m aG
- relie forces et accélération
- concerne deux corps en interaction
- F(B/A) = −F(A/B)
- les deux forces ne se compensent pas
5. La méthode de résolution
Méthode
Pour appliquer le théorème du centre d'inertie :
- Je définis le système et je choisis un référentiel galiléen (souvent terrestre).
- Je fais le bilan des forces extérieures et je les représente sur un schéma.
- J'écris la relation vectorielle ΣF = m aG.
- Je choisis des axes (souvent un axe dans le sens du mouvement) et je projette chaque force.
- Je résous : j'en déduis l'accélération, ou une force inconnue.
- Si besoin, j'utilise la cinématique (MRUV) pour obtenir vitesses, durées, distances.
Exemple
Un taxi-brousse de masse m = 1 500 kg démarre sur une route horizontale et atteint 20 m/s en 10 s, avec une accélération constante. On néglige les frottements.
Accélération : a = (20 − 0)/10 = 2 m/s².
Système : le taxi ; référentiel terrestre. Forces : poids P, réaction R de la route, force motrice F horizontale.
ΣF = m a. Projection verticale : R − P = 0 (pas de mouvement vertical). Projection horizontale : F = m a.
F = 1 500 × 2 = 3 000 N.
Exemple
Mariama remonte un seau d'eau de masse m = 12 kg avec une accélération de 0,5 m/s² vers le haut (g = 10 N/kg).
Système : le seau. Forces : poids P = mg vers le bas, tension T de la corde vers le haut.
Axe vertical orienté vers le haut : T − mg = m a, donc T = m(g + a) = 12 × (10 + 0,5) = 126 N.
Si le seau monte à vitesse constante : a = 0, donc T = mg = 120 N.
Exemple
Un colis de masse 2 kg glisse sur un sol horizontal à 3 m/s et s'arrête après 1,5 m sous l'effet d'une force de frottement constante f.
Cinématique : 0 − 3² = 2a × 1,5, donc a = −9/3 = −3 m/s².
Axe horizontal dans le sens du mouvement : −f = m a, donc f = 2 × 3 = 6 N.
3Je retiens
Je retiens
Principe de l'inertie : ΣF = 0 ⇔ G au repos ou en mouvement rectiligne uniforme (référentiel galiléen).
Théorème du centre d'inertie : ΣFext = m aG (N, kg, m/s²) ; aG a le sens de ΣF.
En plus pour SM : p = m vG et ΣFext = dp/dt.
Actions réciproques : F(B/A) = −F(A/B), forces appliquées à deux corps différents.
Méthode : système, référentiel, bilan des forces, schéma, relation vectorielle, projection, calcul.
4Erreurs fréquentes
- Croire qu'il faut une force pour maintenir un mouvement rectiligne uniforme : si ΣF = 0, le mouvement continue.
- Mettre dans le bilan une force exercée par le système sur un autre corps : seules les forces extérieures subies par le système comptent.
- Dire que deux forces réciproques se compensent : elles agissent sur deux corps différents.
- Oublier les signes lors de la projection : une force opposée au sens de l'axe se projette négativement.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Énonce les trois lois de Newton.
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Première loi (principe de l'inertie) : dans un référentiel galiléen, le centre d'inertie d'un solide isolé ou pseudo-isolé est au repos ou en mouvement rectiligne uniforme.
Deuxième loi (théorème du centre d'inertie) : dans un référentiel galiléen, ΣFext = m aG.
Troisième loi (actions réciproques) : si A exerce sur B la force FA/B, alors B exerce sur A la force FB/A = -FA/B.
2Exercice 2
Dans chaque cas, dis si le système est pseudo-isolé et justifie.
a) Une lampe suspendue immobile au plafond.
b) Une voiture qui roule à 60 km/h constants sur une route droite.
c) Une moto qui prend un virage à vitesse constante.
d) Une mangue qui tombe de l'arbre.
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a) Oui : elle est au repos, donc ΣF = 0 (le poids est compensé par la tension).
b) Oui : mouvement rectiligne uniforme, donc forces compensées.
c) Non : la direction de la vitesse change, il y a une accélération centripète, donc ΣF ≠ 0.
d) Non : sa vitesse augmente, elle est soumise à son poids non compensé.
3Exercice 3
Une charrette de masse 200 kg est tirée horizontalement par un âne avec une force de 300 N. Les frottements équivalent à une force de 100 N opposée au mouvement.
a) Calcule l'accélération de la charrette.
b) Partant du repos, quelle est sa vitesse au bout de 4 s ?
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a) Axe horizontal dans le sens du mouvement : F - f = ma, donc a = 300 - 100200 = 1 m/s².
b) v = at = 1 × 4 = 4 m/s.
4Exercice 4
Un seau de 10 kg descend dans un puits, accroché à une corde. Il a une accélération de 2 m/s² dirigée vers le bas. Calcule la tension de la corde (g = 10 N/kg).
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Axe vertical orienté vers le bas : mg - T = ma, donc T = m(g - a) = 10 × (10 - 2) = 80 N.
5Exercice 5
(Type BAC) Un solide S1 de masse m1 = 500 g est posé sur une table horizontale. Il est relié par un fil inextensible, de masse négligeable, passant sur la gorge d'une poulie, à un solide S2 de masse m2 = 200 g qui pend verticalement. On néglige tous les frottements et la masse de la poulie ; g = 10 N/kg. On lâche le système sans vitesse initiale.
a) Fais le bilan des forces sur S1 et sur S2.
b) En appliquant le théorème du centre d'inertie à chaque solide, montre que l'accélération vaut a = m2 gm1 + m2 et calcule-la.
c) Calcule la tension du fil.
d) Calcule la vitesse et la distance parcourue au bout de 0,5 s.
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a) S1 : poids P1, réaction R de la table, tension T1 horizontale. S2 : poids P2, tension T2 verticale vers le haut. Le fil est inextensible et sans masse, la poulie parfaite : T1 = T2 = T et les deux solides ont la même accélération a.
b) S1, axe horizontal dans le sens du mouvement : T = m1 a. S2, axe vertical vers le bas : m2 g - T = m2 a. En additionnant : m2 g = (m1 + m2)a, donc a = m2 gm1 + m2 = 0,200 × 100,700 ≈ 2,86 m/s².
c) T = m1 a = 0,500 × 2,857 ≈ 1,43 N. Vérification avec S2 : 2,00 - 0,200 × 2,857 ≈ 1,43 N.
d) v = at = 2,857 × 0,5 ≈ 1,43 m/s ; d = 12at2 = 0,5 × 2,857 × 0,25 ≈ 0,357 m, soit environ 36 cm.
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6Je vérifie
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