Karamö, le prof virtuelLeçon 14 sur 47
Pendule simple oscillant
Je sais établir l'équation du mouvement d'un pendule simple, calculer sa vitesse et la tension du fil, et utiliser la période des petites oscillations.
- 55 min
- 5 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir le pendule simple et faire le bilan des forces
- Calculer la vitesse et la tension du fil pour une position quelconque
- Établir l'équation différentielle et la période des petites oscillations
- Utiliser la période pour mesurer l'intensité de la pesanteur
Avant de commencer : Le mouvement circulaire non uniforme (base de Frenet), les lois de Newton, le théorème de l'énergie cinétique et les fonctions sinusoïdales.
1Je découvre
Dans une concession de Kankan, Hawa pousse son petit frère sur une balançoire suspendue à la branche d'un manguier par deux cordes. Elle remarque une chose étonnante : que le petit balance doucement ou un peu plus fort, un aller-retour dure presque toujours le même temps. Et quand leur grand cousin Ousmane, bien plus lourd, prend la place, la durée ne change presque pas non plus.
Au laboratoire du lycée, le professeur accroche une petite bille de plomb à un fil fin de 1 m et chronomètre vingt oscillations. Il annonce ensuite qu'avec cette simple mesure, il peut calculer l'intensité de la pesanteur à Kankan.
Comment décrire le mouvement d'un pendule simple, de quoi dépend la durée d'une oscillation, et comment s'en servir pour mesurer g ?
2Je comprends
1. Le pendule simple
Un pendule simple est un objet ponctuel de masse m suspendu à un fil inextensible, de masse négligeable et de longueur l, dont l'autre extrémité est fixée en un point O. En pratique : une petite bille dense accrochée à un fil fin et long.
Écarté de sa position d'équilibre (fil vertical) d'un angle θm puis lâché, le pendule oscille : le point matériel décrit un arc de cercle de centre O et de rayon l. La position est repérée par l'abscisse angulaire θ (angle entre le fil et la verticale), orientée ; θm est l'amplitude.
2. Bilan des forces et vitesse
Dans le référentiel terrestre supposé galiléen, en négligeant les frottements de l'air, le point matériel est soumis à :
- son poids P, vertical, vers le bas, d'intensité mg ;
- la tension T du fil, dirigée de M vers O.
La tension est toujours perpendiculaire à la trajectoire : elle ne travaille pas. Entre la position d'amplitude θm (vitesse nulle) et la position θ, le point descend de h = l(cosθ - cosθm). Le théorème de l'énergie cinétique donne :
v2 = 2gl(cosθ - cosθm)
La vitesse est maximale à la position d'équilibre (θ = 0) : vmax = √2gl(1 - cosθm).
3. La tension du fil
La deuxième loi de Newton s'écrit P + T = ma. On projette sur la normale un, dirigée de M vers O :
T - mgcosθ = mv2l, donc :
T = mg(3cosθ - 2cosθm)
La tension est maximale au passage par la verticale : Tmax = mg(3 - 2cosθm), et minimale aux positions extrêmes : Tmin = mgcosθm.
Exemple
Une bille de masse m = 200 g est suspendue à un fil de longueur l = 0,80 m. On l'écarte de θm = 60° et on la lâche sans vitesse. On prend g = 9,8 m/s².
Vitesse au passage par la verticale :
v² = 2gl(1 − cos 60°) = 2 × 9,8 × 0,80 × 0,5 = 7,84 m²/s², donc v = 2,8 m/s.
Tension au même instant :
T = mg(3 − 2 cos 60°) = 0,200 × 9,8 × (3 − 1) = 3,92 N, soit le double du poids (1,96 N).
Tension aux positions extrêmes : T = mg cos 60° = 0,98 N.
4. L'équation différentielle du mouvement
On projette maintenant la deuxième loi de Newton sur la tangente ut, orientée dans le sens des θ croissants. La tension n'a pas de composante tangentielle ; le poids a la composante -mgsinθ (elle ramène toujours vers l'équilibre). L'accélération tangentielle vaut at = lddotθ.
-mgsinθ = mlddotθ, soit :
ddotθ + glsinθ = 0
Cette équation n'est pas simple à résoudre dans le cas général. Mais pour de petites oscillations (θm inférieur à environ 15°, soit 0,26 rad), on utilise l'approximation sinθ ≈ θ (θ en radians) :
ddotθ + ω02 θ = 0 avec ω0 = √gl
C'est l'équation d'un oscillateur harmonique. Sa solution est sinusoïdale :
θ(t) = θmcos(ω0 t + varphi)
où ω0 est la pulsation propre (rad/s) et varphi la phase à l'origine, fixée par les conditions initiales.
5. La période propre
La période propre des petites oscillations est la durée d'une oscillation complète (un aller-retour) :
T0 = 2πω0 = 2π√lg
Conséquences importantes :
| La période T0… | Explication |
|---|---|
| ne dépend pas de la masse m | m se simplifie dans la loi de Newton |
| ne dépend pas de l'amplitude (si elle est petite) | c'est l'isochronisme des petites oscillations |
| augmente avec la longueur l | T0 est proportionnelle à √l |
| diminue quand g augmente | T0 est proportionnelle à 1√g |
Pour de grandes amplitudes, la période devient un peu plus longue que T0 ; l'isochronisme n'est plus vérifié.
Exemple
Mesure de g. Un pendule de longueur l = 1,00 m effectue 20 petites oscillations en 40,1 s.
Période : T₀ = 40,1 / 20 = 2,005 s. (On mesure plusieurs oscillations pour réduire l'erreur de chronométrage.)
De T₀ = 2π√(l/g), on tire g = 4π²l / T₀².
g = 4 × 9,870 × 1,00 / (2,005)² = 39,48 / 4,020 ≈ 9,82 m/s².
Méthode
Pour résoudre un exercice de pendule simple :
- Je précise le système, le référentiel galiléen et les forces : poids et tension (qui ne travaille pas).
- Pour une vitesse : théorème de l'énergie cinétique avec h = l(cos θ − cos θm).
- Pour la tension : Newton projetée sur la normale (vers O) : T − mg cos θ = mv²/l.
- Pour le mouvement : Newton sur la tangente, puis sin θ ≈ θ si les oscillations sont petites.
- J'identifie ω₀ = √(g/l), j'écris θ(t) = θm cos(ω₀t + φ) et T₀ = 2π√(l/g) ; je trouve φ avec les conditions initiales.
6. Trouver la phase à l'origine
Si le pendule est lâché sans vitesse à θ = θm à l'instant t = 0 : θ(0) = θmcosvarphi = θm, donc cosvarphi = 1 et varphi = 0. On a alors θ(t) = θmcos(ω0 t).
Si le pendule passe par l'équilibre à t = 0 en allant dans le sens positif : θ(0) = 0 donne cosvarphi = 0, et dotθ(0) = -θmω0sinvarphi > 0 impose sinvarphi < 0 ; donc varphi = -π2.
3Je retiens
Je retiens
Pendule simple : point matériel de masse m au bout d'un fil inextensible de masse négligeable, de longueur l.
La tension du fil ne travaille pas. Vitesse : v² = 2gl(cos θ − cos θm).
Tension : T = mg(3 cos θ − 2 cos θm) ; maximale à la verticale.
Équation du mouvement : θ'' + (g/l) sin θ = 0 ; pour de petites oscillations (θ en rad) : θ'' + (g/l) θ = 0.
Solution : θ(t) = θm cos(ω₀t + φ) avec ω₀ = √(g/l).
Période propre : T₀ = 2π√(l/g), indépendante de m et de l'amplitude (isochronisme des petites oscillations).
Mesure de g : g = 4π²l / T₀².
4Erreurs fréquentes
- Calculer sin θ ≈ θ avec θ en degrés : l'approximation n'est valable qu'en radians (20° = 0,349 rad).
- Croire que la période dépend de la masse : T₀ = 2π√(l/g) ne contient pas m.
- Oublier que la tension n'est pas égale au poids : à la verticale en mouvement, T > mg ; aux extrémités, T = mg cos θm < mg.
- Confondre période (un aller-retour complet) et durée d'un simple aller (demi-période).
5Je m’exerce
1Exercice 1
Calcule la période propre d'un pendule simple de longueur l = 25 cm, puis celle d'un pendule de longueur l = 2,0 m (g = 9,8 m/s²). Que remarques-tu ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
T0 = 2π√0,259,8 ≈ 1,00 s et T0' = 2π√2,09,8 ≈ 2,84 s. La longueur est multipliée par 8, la période par √8 ≈ 2,83 : la période est proportionnelle à √l.
2Exercice 2
Quelle longueur faut-il donner à un pendule simple pour que sa période propre soit exactement 1,0 s (g = 9,8 m/s²) ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
T0 = 2π√lg donne l = gT024π2 = 9,8 × 1,039,48 ≈ 0,248 m, soit environ 24,8 cm.
3Exercice 3
Un pendule de masse m = 200 g et de longueur l = 0,80 m est lâché sans vitesse à θm = 30° (g = 9,8 m/s²). Calcule la vitesse et la tension du fil au passage par la verticale.
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v2 = 2gl(1 - cos 30°) = 2 × 9,8 × 0,80 × (1 - 0,866) ≈ 2,10 m²/s², donc v ≈ 1,45 m/s.
T = mg(3 - 2cos 30°) = 0,200 × 9,8 × (3 - 1,732) ≈ 2,49 N.
4Exercice 4
Kadiatou mesure la période d'un pendule de 1,00 m à la surface de la Lune et trouve T0 = 4,94 s. Calcule l'intensité de la pesanteur lunaire.
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gL = 4π2 lT02 = 39,48 × 1,00(4,94)2 = 39,4824,40 ≈ 1,62 m/s².
5Exercice 5
(Type BAC) Un pendule simple est formé d'une bille de masse m = 100 g et d'un fil de longueur l = 0,60 m. On l'écarte de θm = 20° et on le lâche sans vitesse à t = 0. On prend g = 9,8 m/s².
a) Fais le bilan des forces et établis l'équation différentielle du mouvement.
b) En admettant les petites oscillations, donne l'expression de θ(t) avec les valeurs numériques.
c) Calcule la vitesse de la bille et la tension du fil lorsque θ = 10°.
d) Calcule la tension du fil au passage par la position d'équilibre.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Système : la bille ; référentiel terrestre galiléen ; forces : poids P et tension T. Deuxième loi de Newton : P + T = ma. Projection sur la tangente : -mgsinθ = mlddotθ, soit ddotθ + glsinθ = 0.
b) Avec sinθ ≈ θ : ddotθ + glθ = 0, ω0 = √9,80,60 ≈ 4,04 rad/s. θm = 20° ≈ 0,349 rad. Lâché sans vitesse à θm : varphi = 0. Donc θ(t) = 0,349cos(4,04 t) (en rad), de période T0 ≈ 1,55 s.
c) v2 = 2gl(cos 10° - cos 20°) = 2 × 9,8 × 0,60 × (0,9848 - 0,9397) ≈ 0,530 m²/s², donc v ≈ 0,73 m/s.
T = mg(3cos 10° - 2cos 20°) = 0,98 × (2,954 - 1,879) ≈ 1,05 N.
d) T = mg(3 - 2cos 20°) = 0,98 × (3 - 1,879) ≈ 1,10 N.
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6Je vérifie
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