Karamö, le prof virtuelLeçon 20 sur 47
L'interaction gravitationnelle
Je sais énoncer et appliquer la loi de la gravitation universelle de Newton pour calculer la force d'attraction entre deux corps.
- 50 min
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Énoncer la loi de la gravitation universelle et l'écrire sous forme vectorielle
- Calculer la force d'attraction entre deux corps ponctuels ou sphériques
- Relier le poids d'un corps à la force gravitationnelle exercée par la Terre
- Comparer l'interaction gravitationnelle aux autres interactions
Avant de commencer : Le champ gravitationnel, le principe des actions réciproques (troisième loi de Newton), les vecteurs et les puissances de dix.
1Je découvre
Au port de Kamsar, Ibrahima regarde deux énormes cargos chargés de bauxite amarrés côte à côte. Il se demande : « Si la Terre attire tout ce qui a une masse, ces deux bateaux de milliers de tonnes devraient aussi s'attirer l'un l'autre. Pourquoi ne se collent-ils pas ? »
Sa sœur Mariama, en Terminale SM, lui répond que oui, ils s'attirent, mais que la force est si minuscule qu'elle est complètement masquée par l'eau, le vent et les amarres. Pour qu'une attraction gravitationnelle devienne importante, il faut au moins une masse gigantesque, comme celle d'une planète ou d'une étoile.
C'est la même loi qui fait tomber une mangue, qui maintient la Lune autour de la Terre et la Terre autour du Soleil. Isaac Newton a été le premier à le comprendre et à écrire cette loi.
Quelle est la loi qui décrit l'attraction entre deux masses, et comment l'utiliser pour calculer cette force ?
2Je comprends
1. La loi de la gravitation universelle
En 1687, Isaac Newton publie la loi de la gravitation universelle :
Deux corps ponctuels A et B, de masses mA et mB, séparés par la distance d, exercent l'un sur l'autre des forces d'attraction, dirigées selon la droite (AB), de même intensité :
F = G mA mBd2
- F en newtons (N) ;
- mA et mB en kilogrammes (kg) ;
- d en mètres (m) ;
- G = 6,67 × 10-11 N·m²·kg⁻² : la constante de gravitation universelle.
Le mot universelle signifie que la loi s'applique à tous les corps de l'Univers : une mangue, un élève, une planète, une galaxie.
2. Forme vectorielle
On note uAB le vecteur unitaire dirigé de A vers B. La force exercée par A sur B est dirigée vers A (attraction) :
FA/B = -G mA mBd2 uAB
et la force exercée par B sur A est opposée :
FB/A = -FA/B
C'est le principe des actions réciproques (troisième loi de Newton) : la Terre attire la mangue exactement avec la même intensité que la mangue attire la Terre.
3. Corps à symétrie sphérique
La loi est énoncée pour des corps ponctuels. Newton a démontré qu'elle s'applique aussi à des corps à répartition de masse à symétrie sphérique (planètes, étoiles, boules homogènes) : il suffit alors de prendre pour d la distance entre leurs centres.
On l'applique aussi à un petit objet (élève, satellite) et un astre : l'objet est ponctuel devant l'astre, et d est la distance entre l'objet et le centre de l'astre.
4. Le poids : une force gravitationnelle
Un objet de masse m posé à la surface de la Terre subit la force :
F = G MT mRT2 = m × GMTRT2 = m mathcalG0
On retrouve P = mg0 : le poids d'un objet est, en première approximation, la force d'attraction gravitationnelle que la Terre exerce sur lui. C'est pourquoi le champ gravitationnel à la surface se confond avec g.
Exemple
Force d'attraction exercée par la Terre (M_T = 5,97 × 10²⁴ kg, R_T = 6,37 × 10⁶ m) sur un élève de 50 kg.
F = 6,67 × 10⁻¹¹ × 5,97 × 10²⁴ × 50 / (6,37 × 10⁶)².
Numérateur : 6,67 × 10⁻¹¹ × 5,97 × 10²⁴ = 3,98 × 10¹⁴ ; × 50 = 1,99 × 10¹⁶.
Dénominateur : 4,06 × 10¹³.
F ≈ 490 N, c'est bien le poids 50 × 9,8 = 490 N.
L'élève attire la Terre avec la même force de 490 N, mais la Terre est si massive que son accélération (490 / 5,97 × 10²⁴ ≈ 8 × 10⁻²³ m/s²) est imperceptible.
5. Une force très faible entre objets ordinaires
Exemple
Deux camions de bauxite de 20 tonnes chacun sont garés à 10 m l'un de l'autre (on les assimile à des corps ponctuels).
m = 20 t = 2,0 × 10⁴ kg.
F = 6,67 × 10⁻¹¹ × (2,0 × 10⁴)² / 10² = 6,67 × 10⁻¹¹ × 4,0 × 10⁸ / 100 ≈ 2,7 × 10⁻⁴ N.
C'est à peu près le poids d'un grain de riz : aucun effet visible.
L'interaction gravitationnelle entre objets de la vie courante est donc négligeable. Elle ne devient importante que lorsque l'une au moins des masses est astronomique. Elle a pourtant été mesurée en laboratoire : en 1798, Henry Cavendish a mesuré l'attraction entre des boules de plomb à l'aide d'une balance de torsion très sensible, ce qui a permis de déterminer G et d'en déduire la masse de la Terre.
6. Comparaison avec l'interaction électrique
La loi de Coulomb, F = k|qA qB|d2, a la même forme que la loi de Newton : les deux forces varient en 1d2. Mais :
| Interaction gravitationnelle | Interaction électrique | |
|---|---|---|
| Cause | la masse | la charge électrique |
| Sens | toujours attractive | attractive ou répulsive |
| Constante | G = 6,67 × 10-11 SI | k = 9 × 109 SI |
| Domaine où elle domine | astres, planètes, galaxies | atomes, molécules, objets chargés |
Dans l'atome d'hydrogène (proton et électron à 5,3 × 10-11 m), la force électrique vaut environ 8,2 × 10-8 N et la force gravitationnelle environ 3,6 × 10-47 N : un rapport d'environ 2 × 1039. À l'échelle des astres, en revanche, les corps sont globalement neutres, et seule la gravitation, toujours attractive, s'additionne : elle gouverne le mouvement des planètes.
Méthode
Pour calculer une force d'interaction gravitationnelle :
- Je vérifie que les corps sont ponctuels ou à symétrie sphérique.
- Je convertis les masses en kg et la distance en m ; d est la distance entre les centres.
- J'applique F = G m_A m_B / d² en calculant séparément puissances de dix et nombres.
- Je précise les deux forces : même droite d'action, même intensité, sens opposés, chacune dirigée vers l'autre corps.
- Je contrôle l'ordre de grandeur : minuscule entre objets ordinaires, énorme entre astres.
7. Quelques ordres de grandeur
Avec MT = 5,97 × 1024 kg, ML = 7,35 × 1022 kg, MS = 1,99 × 1030 kg, distance Terre-Lune 3,84 × 108 m et distance Terre-Soleil 1,50 × 1011 m :
- attraction Terre-Lune : environ 2,0 × 1020 N ;
- attraction Soleil-Terre : environ 3,5 × 1022 N.
3Je retiens
Je retiens
Loi de la gravitation universelle (Newton, 1687) : F = G m_A m_B / d².
G = 6,67 × 10⁻¹¹ N·m²·kg⁻², constante de gravitation universelle.
Les deux forces sont attractives, portées par la droite (AB), de même intensité et de sens opposés (actions réciproques).
Forme vectorielle : F(A/B) = −G m_A m_B / d² u_AB.
Pour des corps sphériques, d est la distance entre les centres.
Le poids d'un objet est pratiquement la force gravitationnelle exercée par la Terre : P = G M_T m / R_T² = m g₀.
L'interaction gravitationnelle, toujours attractive, domine à l'échelle des astres.
4Erreurs fréquentes
- Oublier de mettre la distance au carré : F est proportionnelle à 1/d², pas à 1/d.
- Prendre l'altitude au lieu de la distance au centre : pour un satellite, d = R_T + h.
- Croire que le corps le plus lourd attire plus fort l'autre : les deux forces ont toujours la même intensité ; c'est l'effet (l'accélération) qui diffère.
- Oublier de convertir les tonnes en kg ou les km en m.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Calcule la force d'attraction gravitationnelle entre deux élèves de 70 kg distants de 1,0 m (on les assimile à des points). Compare-la à leur poids (g = 9,8 N/kg).
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F = 6,67 × 10-11 × 70 × 701,02 = 6,67 × 10-11 × 4 900 ≈ 3,3 × 10-7 N. Poids : 70 × 9,8 = 686 N. La force entre les élèves est environ deux milliards de fois plus faible : elle est négligeable.
2Exercice 2
Calcule l'intensité de la force d'attraction exercée par la Terre sur la Lune (MT = 5,97 × 1024 kg, ML = 7,35 × 1022 kg, d = 3,84 × 108 m). Quelle est la force exercée par la Lune sur la Terre ?
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F = 6,67 × 10-11 × 5,97 × 1024 × 7,35 × 1022(3,84 × 108)2 = 2,93 × 10371,475 × 1017 ≈ 2,0 × 1020 N. D'après le principe des actions réciproques, la Lune attire la Terre avec la même intensité, 2,0 × 1020 N, en sens opposé.
3Exercice 3
Deux boules de masses m et m' sont à la distance d l'une de l'autre et s'attirent avec une force F. Que devient cette force si : a) on double m ; b) on double d ; c) on double m, m' et d ?
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a) F est proportionnelle à m : la force double. b) F est proportionnelle à 1d2 : elle est divisée par 4. c) Facteur 2 × 222 = 1 : la force ne change pas.
4Exercice 4
Calcule la force d'attraction exercée par le Soleil (MS = 1,99 × 1030 kg) sur la Lune, en prenant pour distance Soleil-Lune 1,50 × 1011 m. Compare-la à la force exercée par la Terre sur la Lune (exercice 2). Commente.
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F = 6,67 × 10-11 × 1,99 × 1030 × 7,35 × 1022(1,50 × 1011)2 = 9,76 × 10422,25 × 1022 ≈ 4,3 × 1020 N. C'est plus de deux fois la force exercée par la Terre. La Lune n'est pourtant pas « arrachée » : la Terre et la Lune sont attirées presque de la même façon par le Soleil et tournent ensemble autour de lui ; c'est l'attraction de la Terre qui fixe le mouvement de la Lune autour de la Terre.
5Exercice 5
(Type BAC) Un satellite de masse m = 1 200 kg tourne autour de la Terre à l'altitude h = 800 km. On donne G = 6,67 × 10-11 SI, MT = 5,97 × 1024 kg, RT = 6 370 km.
a) Énonce la loi de la gravitation universelle.
b) Exprime puis calcule l'intensité de la force exercée par la Terre sur le satellite.
c) Représente cette force sur un schéma et précise ses caractéristiques.
d) Calcule le rapport entre cette force et le poids qu'aurait le satellite au sol. Commente.
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a) Deux corps ponctuels de masses mA et mB distants de d s'attirent avec des forces opposées, portées par la droite qui les joint, d'intensité F = GmA mBd2.
b) F = GMT m(RT + h)2 avec RT + h = 7,17 × 106 m : F = 3,98 × 1014 × 12005,14 × 1013 ≈ 9,3 × 103 N.
c) Point d'application : le satellite ; direction : la droite joignant le satellite au centre de la Terre ; sens : vers le centre de la Terre ; intensité : 9,3 × 103 N.
d) Au sol : F0 = GMT mRT2 = 3,98 × 1014 × 12004,06 × 1013 ≈ 1,18 × 104 N. Rapport : FF0 = (RTRT + h)2 = (6 3707 170)2 ≈ 0,79. À 800 km d'altitude, la Terre attire encore le satellite avec 79 % de la force qu'elle exerce au sol : c'est cette force qui le maintient en orbite.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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