Karamö, le prof virtuelLeçon 31 sur 47
La loi de Laplace
Je sais caractériser la force de Laplace qui s'exerce sur un conducteur parcouru par un courant dans un champ magnétique, et l'utiliser pour étudier le mouvement ou l'équilibre d'une tige.
- 55 min
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Énoncer la loi de Laplace sous forme vectorielle et donner les caractéristiques de la force
- Trouver le sens de la force avec la règle de la main droite
- Calculer la force et l'utiliser dans les rails de Laplace et dans une tige suspendue
- Relier la force de Laplace à la force de Lorentz
Avant de commencer : La force de Lorentz (F = q v ∧ B) ; les règles d'orientation (main droite) ; les lois de Newton et les conditions d'équilibre d'un solide ; le travail d'une force.
1Je découvre
Au barrage hydroélectrique de Kaléta, sur le Konkouré, l'eau fait tourner d'énormes machines qui produisent l'électricité de nombreux foyers guinéens. À l'autre bout de la chaîne, chez Hawa à Boké, cette électricité fait tourner le ventilateur, la pompe à eau et le moulin du quartier. Dans chacun de ces moteurs, il y a des fils de cuivre parcourus par un courant et placés près d'aimants.
Hawa réalise au lycée une expérience simple : une tige de cuivre posée sur deux rails, entre les branches d'un aimant en U. Dès qu'elle ferme l'interrupteur, la tige roule toute seule le long des rails ! Quand elle inverse les fils de la pile, la tige part dans l'autre sens.
Quelle force met la tige en mouvement ? Quelles sont sa direction, son sens et sa valeur ?
2Je comprends
1. Mise en évidence : les rails de Laplace
Une tige conductrice rectiligne, mobile, est posée perpendiculairement sur deux rails horizontaux reliés à un générateur. Une partie de la tige est plongée dans un champ magnétique vertical uniforme (aimant en U). On observe :
- sans courant, la tige reste immobile ;
- avec courant, la tige se déplace le long des rails (perpendiculairement à elle-même et au champ) ;
- si l'on inverse le courant ou le champ, la tige part dans l'autre sens ;
- si l'on augmente l'intensité, la tige est lancée plus fort.
2. Énoncé de la loi de Laplace
Une portion de conducteur rectiligne, de longueur ell, parcourue par un courant d'intensité I et placée dans un champ magnétique uniforme B, subit une force appelée force de Laplace :
F = I ell wedge B
où ell est un vecteur de longueur ell, porté par le conducteur et orienté dans le sens du courant.
Caractéristiques :
- point d'application : le milieu de la portion de conducteur plongée dans le champ ;
- direction : perpendiculaire au plan formé par le conducteur et B ;
- sens : le trièdre (Iell, B, F) est direct ; règle des trois doigts de la main droite : pouce dans le sens du courant, index dans le sens de B, majeur dans le sens de F ;
- valeur : F = I ell B lvertsinαrvert, où α est l'angle entre le conducteur et B. F en newtons (N), I en ampères (A), ell en mètres (m), B en teslas (T).
La force est maximale quand le conducteur est perpendiculaire au champ (F = Iell B) et nulle quand il lui est parallèle.
On peut aussi utiliser le bonhomme d'Ampère : couché sur le conducteur, traversé par le courant des pieds vers la tête, il regarde dans le sens de B ; son bras gauche indique le sens de F.
3. Lien avec la force de Lorentz
Le courant est un déplacement d'électrons dans le métal. Chaque électron en mouvement subit la force de Lorentz f = qv wedge B. Ces forces sont transmises au réseau du métal : la force de Laplace est la somme des forces de Lorentz qui s'exercent sur tous les porteurs de charge du conducteur. Pour N porteurs de charge q se déplaçant à la vitesse v sur la longueur ell, on retrouve Iell = Nqv et donc F = Iell wedge B.
Exemple
Rails de Laplace : I = 5 A, longueur de tige dans le champ ℓ = 10 cm, B = 0,2 T vertical, tige perpendiculaire à B. Masse de la tige : m = 20 g. Calculer F et l'accélération de la tige (frottements négligés).
F = I ℓ B = 5 × 0,10 × 0,2 = 0,1 N.
Le poids et la réaction des rails sont verticaux et se compensent ; la seule force horizontale est F.
Deuxième loi de Newton : a = F / m = 0,1 / 0,020 = 5 m/s².
Si le conducteur faisait un angle de 30° avec B, on aurait F = 0,1 × sin 30° = 0,05 N.
4. Tige suspendue : un équilibre
Une tige horizontale de masse m, suspendue par deux fils fins conducteurs, est placée dans un champ vertical. Quand le courant passe, la force de Laplace, horizontale, écarte la tige : les fils s'inclinent d'un angle θ par rapport à la verticale.
À l'équilibre, la somme du poids P, de la force de Laplace F et des tensions des fils est nulle. La tension totale est donc opposée à P + F, d'où :
tanθ = Fmg = Iell Bmg
Exemple
Tige de masse m = 10 g, longueur dans le champ ℓ = 5 cm, B = 0,1 T vertical, I = 4 A, g = 9,8 N/kg. Calculer θ.
F = I ℓ B = 4 × 0,05 × 0,1 = 0,02 N.
P = m g = 0,010 × 9,8 = 0,098 N.
tan θ = F / P = 0,02 / 0,098 ≈ 0,204, donc θ ≈ 11,5°.
5. Travail de la force de Laplace
Quand la tige se déplace de d dans le sens de la force (sur des rails), la force de Laplace, constante, effectue un travail moteur :
W = F · d = I ell B d
Ce travail provient du générateur : la force de Laplace convertit de l'énergie électrique en énergie mécanique. C'est le principe de tous les moteurs électriques.
En plus pour SM : ell d est l'aire balayée par la tige, et Bell d est le flux magnétique coupé ΔPhi : on écrit W = I ΔPhi (théorème de Maxwell). Cette relation sera réutilisée dans l'induction électromagnétique.
Méthode
Pour résoudre un exercice sur la force de Laplace :
- Je repère la portion de conducteur plongée dans le champ, sa longueur ℓ et le sens du courant (de + vers − à l'extérieur du générateur).
- Je trouve le sens de F avec la main droite : pouce = courant, index = B, majeur = F.
- Je calcule F = I ℓ B sin α (α angle entre conducteur et B).
- Je fais le bilan de toutes les forces (poids, réaction, tension, Laplace) et j'applique la deuxième loi de Newton (mouvement) ou la condition d'équilibre.
- Je vérifie l'homogénéité et l'ordre de grandeur du résultat.
3Je retiens
Je retiens
Loi de Laplace : F = I ℓ ∧ B, avec ℓ orienté dans le sens du courant.
Valeur : F = I ℓ B |sin α| ; maximale si le conducteur est perpendiculaire à B, nulle s'il lui est parallèle.
Sens : trièdre (I ℓ, B, F) direct — main droite : pouce = courant, index = B, majeur = F.
Point d'application : milieu de la portion de conducteur dans le champ.
Inverser I ou B inverse la force ; inverser les deux ne change rien.
La force de Laplace est la somme des forces de Lorentz sur les porteurs de charge.
Travail : W = I ℓ B d ; la force de Laplace transforme l'énergie électrique en énergie mécanique (moteurs).
4Erreurs fréquentes
- Prendre toute la longueur de la tige au lieu de la seule partie plongée dans le champ.
- Utiliser α = angle entre la force et le champ : α est l'angle entre le CONDUCTEUR et le champ.
- Se tromper de main ou d'ordre des doigts : pouce = courant, index = champ, majeur = force (main droite).
- Oublier le poids ou la réaction des rails dans le bilan des forces.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Un conducteur horizontal orienté vers l'est est parcouru par un courant dirigé vers l'est. Le champ B est vertical, dirigé vers le haut. Donne la direction et le sens de la force de Laplace.
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Main droite : pouce vers l'est (courant), index vers le haut (B) ; le majeur pointe vers le sud. Vérification : avec i vers l'est, j vers le nord, k vers le haut, i wedge k = -j : vers le sud. La force est horizontale, dirigée vers le sud.
2Exercice 2
Un conducteur rectiligne de longueur 4 cm, parcouru par un courant de 6 A, est placé perpendiculairement à un champ uniforme. Il subit une force de 0,036 N. Calcule B.
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F = Iell B donc B = FIell = 0,0366 × 0,04 = 0,0360,24 = 0,15 T.
3Exercice 3
Une tige de masse 8 g, suspendue par deux fils conducteurs, a une longueur de 6 cm dans un champ vertical B = 0,2 T. Quelle intensité faut-il pour que les fils s'inclinent de 15° ? On prend g = 9,8 N/kg.
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À l'équilibre, tanθ = Iell Bmg, donc I = mgtanθell B = 0,008 × 9,8 × tan 15°0,06 × 0,2 ≈ 0,0784 × 0,2680,012 ≈ 1,75 A.
4Exercice 4
Rails de Laplace horizontaux : I = 3 A, ell = 8 cm, B = 0,25 T vertical, tige de masse 30 g partant du repos, frottements négligés.
a) Calcule la force de Laplace et l'accélération.
b) Calcule la vitesse de la tige après un parcours de 20 cm, puis le travail de la force de Laplace. Vérifie avec le théorème de l'énergie cinétique.
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a) F = Iell B = 3 × 0,08 × 0,25 = 0,06 N ; a = Fm = 0,060,030 = 2 m/s².
b) Mouvement uniformément accéléré partant du repos : v2 = 2ad = 2 × 2 × 0,20 = 0,8, donc v ≈ 0,89 m/s.
W = F d = 0,06 × 0,20 = 0,012 J.
Vérification : Δ Ec = 12 m v2 = 12 × 0,030 × 0,8 = 0,012 J = W. Le poids et la réaction, perpendiculaires au déplacement, ne travaillent pas.
5Exercice 5
(Type BAC) Deux rails parallèles, distants de ell = 10 cm, forment un plan incliné d'un angle β = 10° sur l'horizontale. Une tige de masse m = 50 g est posée perpendiculairement aux rails. L'ensemble est plongé dans un champ uniforme vertical B = 0,5 T. Frottements négligés, g = 9,8 N/kg.
a) Fais le bilan des forces appliquées à la tige.
b) Dans quel sens doit être la force de Laplace pour que la tige reste en équilibre ? Est-elle horizontale ou parallèle aux rails ?
c) Montre qu'à l'équilibre Iell Bcosβ = mgsinβ et calcule I.
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a) Le poids P (vertical, vers le bas), la réaction R des rails (perpendiculaire au plan incliné, pas de frottement) et la force de Laplace F.
b) La tige est perpendiculaire à B vertical et horizontale : F est perpendiculaire à la tige et à B, donc horizontale (et non parallèle aux rails). Pour l'équilibre, elle doit être dirigée vers le haut de la pente (côté intérieur du plan), afin que sa composante le long des rails compense celle du poids.
c) On projette sur l'axe parallèle aux rails, orienté vers le haut de la pente : la composante de F vaut Fcosβ, celle du poids -mgsinβ, celle de R est nulle. Équilibre : Fcosβ - mgsinβ = 0, soit Iell Bcosβ = mgsinβ.
I = mgtanβell B = 0,05 × 9,8 × tan 10°0,10 × 0,5 ≈ 0,49 × 0,1760,05 ≈ 1,73 A.
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6Je vérifie
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