Karamö, le prof virtuelLeçon 34 sur 47
Auto-induction
Je sais expliquer pourquoi une bobine s'oppose aux variations du courant qui la traverse, utiliser son inductance L, et étudier l'établissement et la rupture du courant dans un circuit RL.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Mettre en évidence le phénomène d'auto-induction
- Définir l'inductance L et calculer celle d'un solénoïde
- Utiliser e = −L di/dt et la tension u = ri + L di/dt aux bornes d'une bobine
- Étudier l'établissement du courant dans un dipôle RL (constante de temps τ = L/R) et calculer l'énergie emmagasinée ½ L i²
Avant de commencer : L'induction électromagnétique (flux, lois de Faraday et de Lenz) ; le champ à l'intérieur d'un solénoïde (B = μ0 N I / ℓ) ; les dérivées et la fonction exponentielle ; la loi d'additivité des tensions.
1Je découvre
Mamadou aide son oncle, électricien à Faranah, à réparer le démarreur d'un vieux groupe électrogène. Quand l'oncle débranche d'un coup sec un fil relié à une grosse bobine, une petite étincelle bleue jaillit entre les contacts, alors que la batterie ne fait que 12 V. « Fais attention, dit l'oncle : une bobine n'aime pas qu'on lui coupe le courant brutalement. »
Au lycée, le professeur montre une autre expérience : deux lampes identiques, l'une en série avec un résistor, l'autre en série avec une grosse bobine de même résistance. À la fermeture de l'interrupteur, la première s'allume aussitôt ; la seconde s'allume avec un léger retard.
Il n'y a ici aucun aimant qui bouge. Pourtant, ces effets ressemblent à ceux de l'induction.
Pourquoi une bobine retarde-t-elle l'établissement du courant et provoque-t-elle une étincelle à la coupure ? Comment calculer ces effets ?
2Je comprends
1. Le phénomène d'auto-induction
Une bobine parcourue par un courant i crée un champ magnétique, donc un flux à travers ses propres spires : c'est le flux propre. Si l'intensité i varie, ce flux propre varie, et d'après la loi de Faraday une f.é.m. induite apparaît dans la bobine elle-même. C'est l'auto-induction.
D'après la loi de Lenz, cette f.é.m. s'oppose à la variation du courant :
- à la fermeture, le courant veut augmenter : la bobine « freine » cette augmentation, d'où le retard de la lampe ;
- à l'ouverture, le courant veut s'annuler brusquement : la bobine s'y oppose en créant une f.é.m. très grande, d'où l'étincelle.
Une bobine se comporte comme une sorte d'inertie électrique : elle ne s'oppose pas au courant lui-même, mais à ses variations.
2. Inductance d'une bobine
Le flux propre est proportionnel à l'intensité :
Phip = L i
Le coefficient L est l'inductance de la bobine. Il s'exprime en henry (H) ; 1 H = 1 Wb/A. Il ne dépend que de la géométrie de la bobine (et du noyau éventuel).
Cas du solénoïde de N spires, de longueur ell, de section S : le champ intérieur vaut B = µ0Nelli et le flux à travers les N spires vaut Phip = NBS = µ0N2 Sell i. Donc :
L = µ0 N2 Sell
L'inductance augmente comme le carré du nombre de spires. Un noyau de fer l'augmente beaucoup.
Exemple
Un solénoïde de N = 1 000 spires, de longueur ℓ = 50 cm et de section S = 20 cm². Calculer L.
S = 20 × 10⁻⁴ = 2 × 10⁻³ m² ; ℓ = 0,50 m.
L = μ0 N² S / ℓ = 4π × 10⁻⁷ × (1 000)² × 2 × 10⁻³ / 0,50 = 4π × 10⁻⁷ × 10⁶ × 4 × 10⁻³
L = 16π × 10⁻⁴ ≈ 5,03 × 10⁻³ H, soit environ 5 mH.
3. F.é.m. d'auto-induction et tension aux bornes
La loi de Faraday appliquée au flux propre donne la f.é.m. d'auto-induction :
e = -dPhipdt = -L didt
Une bobine réelle a aussi une résistance r (celle de son fil). En convention récepteur, la tension à ses bornes est :
uL = r i + L didt
Deux cas particuliers importants :
- en régime permanent (courant constant), didt = 0 : la bobine se comporte comme un simple résistor de résistance r ;
- si r est négligeable, uL = Ldidt : la tension est proportionnelle à la vitesse de variation du courant.
Exemple
Dans une bobine d'inductance L = 0,5 H (résistance négligeable), le courant passe régulièrement de 0 à 2 A en 10 ms. Calculer la f.é.m. d'auto-induction.
di/dt = (2 − 0) / 0,010 = 200 A/s.
e = −L di/dt = −0,5 × 200 = −100 V.
La tension aux bornes vaut u = L di/dt = 100 V pendant ces 10 ms. Si le courant était coupé cent fois plus vite, la tension serait cent fois plus grande : c'est l'origine de l'étincelle.
4. Établissement du courant dans un dipôle RL
On branche en série un générateur de f.é.m. E (tension constante), une bobine d'inductance L et une résistance totale R (résistor plus résistance de la bobine). À t = 0, on ferme l'interrupteur. La loi d'additivité des tensions donne :
E = R i + L didt
C'est une équation différentielle du premier ordre. Sa solution, avec i(0) = 0, est :
i(t) = ER(1 - e-t/tau) avec tau = LR
On le vérifie : didt = ER·1taue-t/tau = ELe-t/tau, donc Ri + Ldidt = E - Ee-t/tau + Ee-t/tau = E.
- tau = LR est la constante de temps (en secondes) ;
- à t = tau, le courant atteint environ 63 % de sa valeur finale ;
- au bout de 5tau, il a atteint plus de 99 % : on considère que le régime permanent I = ER est établi.
À la rupture (on court-circuite le générateur en gardant le circuit fermé par R), le courant décroît selon i(t) = I e-t/tau : il ne s'annule pas brutalement.
Exemple
E = 12 V, L = 0,2 H, R = 10 Ω. Calculer τ, l'intensité finale et l'intensité à t = τ.
τ = L / R = 0,2 / 10 = 0,02 s = 20 ms.
I = E / R = 12 / 10 = 1,2 A.
i(τ) = 1,2 × (1 − e⁻¹) ≈ 1,2 × 0,632 ≈ 0,76 A.
Le régime permanent est pratiquement atteint après 5τ = 100 ms.
5. Énergie emmagasinée dans une bobine
Une bobine parcourue par un courant i stocke une énergie magnétique :
Em = 12 L i2
C'est cette énergie qui est libérée à la coupure du courant (étincelle). Dans l'exemple précédent, en régime permanent : Em = 12 × 0,2 × 1,22 = 0,144 J.
Applications : bobines d'allumage des moteurs à essence (production d'une haute tension pour la bougie), lissage du courant dans les alimentations, circuits oscillants (leçon suivante). Pour protéger les interrupteurs et les transistors, on place souvent une diode en parallèle sur les bobines (relais, moteurs).
Méthode
Pour étudier un circuit contenant une bobine :
- J'oriente le circuit et j'écris u_L = r i + L di/dt pour la bobine (convention récepteur).
- J'applique la loi d'additivité des tensions pour obtenir l'équation différentielle.
- Je vérifie la solution proposée en la remplaçant dans l'équation et avec la condition initiale.
- Je calcule τ = L / R (R résistance totale) et le régime permanent I = E / R.
- Je calcule l'énergie stockée ½ L I² si on me la demande.
3Je retiens
Je retiens
Auto-induction : une bobine s'oppose aux variations du courant qui la traverse.
Flux propre : Φp = L i ; L inductance en henry (H). Solénoïde : L = μ0 N² S / ℓ.
F.é.m. d'auto-induction : e = −L di/dt. Tension aux bornes : u = r i + L di/dt.
En régime permanent, une bobine se comporte comme un résistor de résistance r.
Dipôle RL : i(t) = (E/R)(1 − e^(−t/τ)), τ = L/R ; 63 % à t = τ, régime permanent après 5τ.
Énergie magnétique stockée : Em = ½ L i².
4Erreurs fréquentes
- Croire que la bobine s'oppose au courant : elle s'oppose seulement à ses VARIATIONS ; en courant constant, elle n'agit que par sa résistance r.
- Oublier la résistance de la bobine dans la résistance totale R pour calculer τ et I.
- Utiliser N au lieu de N² dans l'inductance d'un solénoïde.
- Confondre τ et 5τ : à t = τ, le courant n'est qu'à 63 % de sa valeur finale.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Explique, avec la loi de Lenz, pourquoi la lampe en série avec la bobine s'allume en retard, et pourquoi une étincelle peut apparaître quand on ouvre un circuit contenant une grosse bobine.
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À la fermeture, le courant augmente ; le flux propre de la bobine augmente et, d'après la loi de Lenz, la f.é.m. d'auto-induction s'oppose à cette augmentation : le courant croît progressivement, la lampe s'allume en retard. À l'ouverture, le courant devrait tomber à zéro en un temps très court : didt est énorme, donc la f.é.m. e = -Ldidt aussi. Cette tension très élevée peut ioniser l'air entre les contacts : une étincelle jaillit.
2Exercice 2
Calcule l'inductance d'un solénoïde de 500 spires, de longueur 40 cm et de rayon 2 cm.
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S = π r2 = π × 0,022 ≈ 1,257 × 10-3 m².
L = µ0N2 Sell = 4π × 10-7 × 5002 × 1,257 × 10-30,40 ≈ 9,87 × 10-4 H, soit environ 1 mH.
3Exercice 3
Une bobine d'inductance L = 0,1 H, de résistance négligeable, est traversée par un courant qui croît régulièrement de 0 à 0,5 A en 5 ms, puis reste constant. Calcule la tension à ses bornes pendant ces deux phases.
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Première phase : didt = 0,50,005 = 100 A/s, donc u = Ldidt = 0,1 × 100 = 10 V. Deuxième phase : le courant est constant, didt = 0, donc u = 0 (résistance négligeable).
4Exercice 4
Une bobine d'inductance 0,2 H est parcourue par un courant de 1,2 A. Quelle énergie stocke-t-elle ? Que devient cette énergie si l'on ouvre brusquement le circuit ?
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Em = 12Li2 = 12 × 0,2 × 1,22 = 0,144 J. À l'ouverture brusque, cette énergie est libérée très rapidement, en grande partie sous forme d'étincelle (chaleur, lumière) entre les contacts de l'interrupteur.
5Exercice 5
(Type BAC) On réalise un circuit série comprenant un générateur de f.é.m. E = 6 V (résistance interne négligeable), une bobine d'inductance L = 0,4 H et de résistance r = 2 Ω, et un résistor R1 = 10 Ω. On ferme l'interrupteur à t = 0.
a) Établis l'équation différentielle vérifiée par i(t).
b) Vérifie que i(t) = I(1 - e-t/tau) en est solution et exprime I et tau. Calcule-les.
c) Calcule didt à t = 0.
d) Au bout de combien de temps le courant atteint-il 90 % de sa valeur finale ?
e) En régime permanent, calcule la tension aux bornes de la bobine et l'énergie qu'elle stocke.
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a) Additivité des tensions : E = R1 i + r i + Ldidt, soit E = (R1 + r)i + Ldidt. On pose R = R1 + r = 12 Ω.
b) Avec i = I(1 - e-t/tau) : didt = Itaue-t/tau. On remplace : RI - RIe-t/tau + LItaue-t/tau = E pour tout t. Il faut RI = E et LItau = RI, d'où I = ER et tau = LR. De plus i(0) = 0 : la condition initiale est respectée.
I = 612 = 0,5 A ; tau = 0,412 ≈ 0,0333 s = 33,3 ms.
c) À t = 0 : didt = Itau = EL = 60,4 = 15 A/s.
d) 1 - e-t/tau = 0,9 ⇔ e-t/tau = 0,1 ⇔ t = tauln 10 ≈ 0,0333 × 2,303 ≈ 0,077 s, soit environ 77 ms.
e) En régime permanent, didt = 0 : uL = rI = 2 × 0,5 = 1 V. Énergie : Em = 12LI2 = 12 × 0,4 × 0,52 = 0,05 J.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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