Le courant alternatif sinusoïdal

1. Du courant continu au courant alternatif sinusoïdal

• Un courant continu garde la même valeur et le même sens (pile, batterie).
• Un courant périodique reprend la même valeur à intervalles de temps égaux ; ce plus petit intervalle est la période T.
• Un courant alternatif est périodique et change de sens : sa valeur moyenne est nulle.
• Un courant alternatif sinusoïdal s'écrit :

i(t) = I_mcos(ω t + varphi_i).

On écrit de même une tension : u(t) = U_mcos(ω t + varphi_u).

Ces courants sont produits dans les centrales par des alternateurs : un aimant (ou électroaimant) tourne devant des bobines et y induit une tension sinusoïdale (leçon sur l'induction). Sur le réseau électrique de Guinée, la fréquence est f = 50 Hz, donc T = 0,02 s = 20 ms et ω = 100π ≈ 314 rad/s : le courant change de sens 100 fois par seconde.

2. Les valeurs efficaces

Une tension sinusoïdale varie sans arrêt : quelle valeur retenir pour dire qu'elle est « forte » ou « faible » ? On la compare au courant continu par ses effets thermiques.

Définition. L'intensité efficace I d'un courant alternatif est l'intensité du courant continu qui, traversant le même conducteur ohmique pendant la même durée, y dégagerait la même quantité de chaleur.

Calcul. La puissance instantanée dissipée dans R est p = Ri² = RI_m²cos²(ω t). Comme cos²(ω t) = 1 + cos(2ω t)2 et que la moyenne de cos(2ω t) sur une période est nulle, la puissance moyenne vaut P = RI_m²2. En continu, elle vaudrait RI². En égalant : I² = I_m²2, soit :

I = I_m√2 et, de même, U = U_m√2.

Les voltmètres et ampèremètres en position alternative (AC, symbole ~) indiquent les valeurs efficaces. Les « 220 V » du réseau sont une valeur efficace : la tension maximale vaut U_m = 220√2 ≈ 311 V. C'est pourquoi une prise est dangereuse même si « 220 V » paraît modeste.

3. Lire un oscillogramme

L'oscilloscope trace la tension en fonction du temps.

• Amplitude : U_m = (nombre de divisions verticales entre l'axe et le sommet) × (sensibilité verticale en V/div).
• Période : T = (nombre de divisions horizontales pour une période) × (base de temps en s/div).

4. Le déphasage entre deux grandeurs sinusoïdales

Deux grandeurs de même fréquence u(t) = U_mcos(ω t + varphi_u) et i(t) = I_mcos(ω t + varphi_i) n'atteignent pas forcément leur maximum en même temps. Leur déphasage est :

varphi = varphi_u - varphi_i (déphasage de u par rapport à i).

• varphi > 0 : u est en avance sur i (elle atteint son maximum la première) ;
• varphi < 0 : u est en retard sur i ;
• varphi = 0 : en phase ; varphi = ± π2 : en quadrature ; varphi = ± π : en opposition de phase.

Sur un oscillogramme, si tau est le décalage horaire entre deux maxima voisins : |varphi| = 2πtauT (une période correspond à 2π rad, soit 360°).

5. La représentation de Fresnel

À la grandeur x(t) = X_mcos(ω t + varphi), on associe un vecteur de Fresnel V :

• de norme égale à l'amplitude X_m ;
• faisant avec l'axe de référence (axe des phases, horizontal) l'angle varphi, compté positivement dans le sens trigonométrique.

Propriété fondamentale. La somme de deux grandeurs sinusoïdales de même pulsation est une grandeur sinusoïdale de même pulsation, représentée par la somme des vecteurs de Fresnel. C'est ce qui permettra d'appliquer la loi des mailles aux circuits alternatifs (leçon suivante).