Karamö, le prof virtuelLeçon 40 sur 47
Circuits parcourus par des courants sinusoïdaux
Je sais établir la relation entre tension et intensité pour un conducteur ohmique, une bobine et un condensateur en régime sinusoïdal, puis traiter un circuit série avec la construction de Fresnel.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir l'impédance d'un dipôle et le déphasage tension-intensité
- Établir l'impédance et le déphasage d'un conducteur ohmique, d'une bobine et d'un condensateur
- Faire la construction de Fresnel d'un circuit série (RL, RC, RLC)
- Calculer l'impédance et le déphasage d'un circuit série
Avant de commencer : Le courant alternatif sinusoïdal (amplitude, valeur efficace, déphasage, vecteurs de Fresnel), la dérivation de cos et sin, les lois u = Ri, u = L di/dt et i = C du/dt.
1Je découvre
Lansana, apprenti électricien à Kindia, fait une expérience avec son maître. Il branche successivement trois dipôles sur la même tension alternative de 12 V efficaces, 50 Hz : une résistance, une bobine de moteur de ventilateur et un condensateur. Pour chacun, il note la tension et l'intensité efficaces.
Pour la résistance, rien d'étonnant : la loi d'Ohm U = RI fonctionne. Mais avec la bobine, l'intensité est bien plus faible que ce que prévoit sa petite résistance mesurée à l'ohmmètre. Et le condensateur, qui bloque complètement le courant d'une pile, laisse passer un courant alternatif !
Le maître ajoute : « Et si tu les mets les trois en série, n'additionne surtout pas les tensions efficaces : tu trouverais plus que 12 V. »
Comment la tension et l'intensité sont-elles liées pour chaque dipôle en courant sinusoïdal, et comment traiter plusieurs dipôles montés en série ?
2Je comprends
1. Impédance et déphasage d'un dipôle
On prend l'intensité comme référence : i(t) = Imcos(ω t). La tension aux bornes du dipôle (convention récepteur) s'écrit u(t) = Umcos(ω t + varphi).
- L'impédance du dipôle est Z = UmIm = UI (en ohms, Ω). Elle généralise la résistance.
- varphi est le déphasage de la tension par rapport à l'intensité.
La relation U = ZI s'appelle loi d'Ohm en alternatif.
2. Le conducteur ohmique
u = Ri = RImcos(ω t). Donc Um = RIm :
ZR = R et varphi = 0 : tension et intensité sont en phase. Le vecteur de Fresnel de u est porté par l'axe de référence.
3. La bobine idéale (résistance négligeable)
u = Ldidt = -LImωsin(ω t) = LImωcos(ω t + π2) (car -sin a = cos(a + π2)).
ZL = Lω et varphi = +π2 : la tension est en avance d'un quart de période sur l'intensité (quadrature avance).
ZL augmente avec la fréquence : une bobine « freine » d'autant plus le courant que la fréquence est élevée. En continu (ω = 0), elle n'oppose que sa résistance.
4. Le condensateur
i = dqdt, donc q = Imωsin(ω t) (sans composante continue) et u = qC = ImCωsin(ω t) = ImCωcos(ω t - π2).
ZC = 1Cω et varphi = -π2 : la tension est en retard d'un quart de période sur l'intensité.
ZC diminue quand la fréquence augmente. En continu, ZC est infinie : le condensateur bloque le courant continu, mais laisse passer l'alternatif (ses armatures se chargent et se déchargent alternativement).
| Dipôle | Impédance Z | Déphasage varphi de u / i | Vecteur de Fresnel de u |
|---|---|---|---|
| conducteur ohmique | R | 0 | sur l'axe de référence |
| bobine idéale | Lω | +π2 | vers le haut |
| condensateur | 1Cω | -π2 | vers le bas |
5. La bobine réelle
Une bobine réelle possède une résistance r : u = ri + Ldidt. Sa tension est la somme de deux tensions en quadrature, d'amplitudes rIm et Lω Im :
Z = √r2 + L2ω2 et tanvarphi = Lωr, avec 0 < varphi < π2.
6. Circuits en série : la construction de Fresnel
En série, tous les dipôles sont traversés par la même intensité i : on la prend comme référence. La loi des mailles s'écrit u = u1 + u2 + … à chaque instant. Ces tensions ont la même fréquence mais des phases différentes : on additionne les vecteurs de Fresnel, jamais les valeurs efficaces.
Circuit RLC série. Les trois vecteurs ont pour normes RIm (sur l'axe), Lω Im (vers le haut) et ImCω (vers le bas). Le vecteur somme a une composante horizontale RIm et une composante verticale (Lω - 1Cω)Im. Par Pythagore :
Z = √R2 + (Lω - 1Cω)2 et tanvarphi = Lω - 1CωR ; cosvarphi = RZ.
On retrouve les formules utilisées dans la leçon sur les oscillations forcées. Cas particuliers :
- RL série (pas de condensateur) : Z = √R2 + L2ω2, tanvarphi = LωR, varphi > 0 ;
- RC série (pas de bobine) : Z = √R2 + 1C2ω2, tanvarphi = -1RCω, varphi < 0.
Si le circuit comporte une bobine réelle, on ajoute sa résistance r à R : la composante horizontale devient (R + r)Im.
Méthode
Pour étudier un circuit série en régime sinusoïdal :
- Je prends l'intensité commune comme référence : i = Im cos(ωt).
- Je calcule ω = 2πf, puis chaque impédance : R, Lω, 1/(Cω).
- Je trace les vecteurs de Fresnel bout à bout : résistances sur l'axe, Lω·Im vers le haut, Im/(Cω) vers le bas.
- Je lis ou je calcule : Z = √(R_totale² + (Lω − 1/(Cω))²), tan φ = (Lω − 1/(Cω))/R_totale.
- J'applique U = Z·I (ou Um = Z·Im) et j'écris u(t) = Um cos(ωt + φ).
Exemple
Une bobine idéale d'inductance L = 0,1 H est soumise à une tension de 12 V efficaces, 50 Hz.
ω = 100π ≈ 314,2 rad/s ; Z_L = Lω ≈ 31,4 Ω ; I = U/Z_L = 12/31,4 ≈ 0,382 A.
Un condensateur de capacité C = 10 µF sur la même prise : Z_C = 1/(Cω) = 1/(10⁻⁵ × 314,2) ≈ 318 Ω ; I = 12/318 ≈ 0,038 A.
Le condensateur laisse bien passer un courant alternatif, mais faible à 50 Hz.
Exemple
Circuit RL série : R = 40 Ω, L = 0,1 H, U = 12 V efficaces, f = 50 Hz.
Lω ≈ 31,4 Ω. Z = √(40² + 31,4²) = √(1600 + 987) ≈ 50,9 Ω.
I = U/Z = 12/50,9 ≈ 0,236 A.
tan φ = 31,4/40 ≈ 0,785, donc φ ≈ 0,666 rad (environ 38°) : la tension est en avance sur l'intensité.
Tensions efficaces : U_R = RI ≈ 9,4 V et U_L = LωI ≈ 7,4 V. On a bien √(9,4² + 7,4²) ≈ 12 V, alors que 9,4 + 7,4 = 16,8 V n'a aucun sens physique.
3Je retiens
Je retiens
Intensité en référence : i = Im cos(ωt) ; u = Um cos(ωt + φ) ; Z = Um/Im = U/I.
Conducteur ohmique : Z = R, φ = 0.
Bobine idéale : Z = Lω, φ = +π/2 (u en avance). Bobine réelle : Z = √(r² + L²ω²), tan φ = Lω/r.
Condensateur : Z = 1/(Cω), φ = −π/2 (u en retard).
En série : même intensité ; on additionne les vecteurs de Fresnel des tensions.
RLC série : Z = √(R² + (Lω − 1/(Cω))²), tan φ = (Lω − 1/(Cω))/R, cos φ = R/Z.
4Erreurs fréquentes
- Additionner les tensions efficaces en série : U ≠ U_R + U_L + U_C. Seules les tensions instantanées (ou les vecteurs de Fresnel) s'additionnent.
- Inverser les déphasages : pour la bobine, la tension est en avance (+π/2) ; pour le condensateur, en retard (−π/2).
- Oublier la résistance r de la bobine : dans Z, il faut la résistance totale R + r.
- Écrire Z_C = Cω au lieu de 1/(Cω) : plus la capacité ou la fréquence est grande, plus l'impédance du condensateur est petite.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Calcule l'impédance d'une bobine idéale (L = 0,2 H) et d'un condensateur (C = 5 µ F) à 50 Hz, puis à 1 000 Hz. Commente.
Voir le corrigéCacher le corrigé
À 50 Hz (ω ≈ 314,2 rad/s) : ZL = 0,2 × 314,2 ≈ 62,8 Ω ; ZC = 15 × 10-6 × 314,2 ≈ 637 Ω.
À 1 000 Hz (ω ≈ 6283 rad/s) : ZL ≈ 1257 Ω ; ZC = 15 × 10-6 × 6283 ≈ 31,8 Ω.
Quand la fréquence est multipliée par 20, l'impédance de la bobine est multipliée par 20 et celle du condensateur divisée par 20.
2Exercice 2
Un dipôle est traversé par i(t) = 0,5cos(100π t) (en ampères). Écris l'expression de la tension à ses bornes si c'est :
a) un conducteur ohmique de 20 Ω ;
b) une bobine idéale d'inductance 0,1 H ;
c) un condensateur de capacité 100 µ F.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) u = Ri = 10cos(100π t).
b) Lω = 0,1 × 100π ≈ 31,4 Ω ; Um = 31,4 × 0,5 ≈ 15,7 V ; u = 15,7cos(100π t + π2).
c) 1Cω = 110-4 × 100π ≈ 31,8 Ω ; Um ≈ 15,9 V ; u = 15,9cos(100π t - π2).
3Exercice 3
Pour trouver les caractéristiques d'une bobine réelle, on la soumet d'abord à une tension continue de 6 V : l'intensité vaut 0,6 A. Puis on la soumet à une tension alternative de 6 V efficaces, 50 Hz : l'intensité efficace vaut 0,2 A.
a) Calcule sa résistance r.
b) Calcule son impédance à 50 Hz, puis son inductance L.
c) Calcule le déphasage entre la tension à ses bornes et l'intensité.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) En continu, la bobine n'oppose que sa résistance : r = 60,6 = 10 Ω.
b) Z = UI = 60,2 = 30 Ω. Or Z2 = r2 + L2ω2, donc Lω = √900 - 100 = √800 ≈ 28,3 Ω et L = 28,3314,2 ≈ 0,090 H.
c) tanvarphi = Lωr = 28,310 = 2,83, donc varphi ≈ 1,23 rad (environ 70,5°) ; ou cosvarphi = rZ = 13.
4Exercice 4
Un conducteur ohmique (R = 100 Ω) et un condensateur (C = 20 µ F) sont montés en série sous une tension de 24 V efficaces, 50 Hz.
a) Calcule l'impédance du circuit.
b) Calcule l'intensité efficace.
c) Calcule le déphasage varphi de la tension par rapport à l'intensité. Qui est en avance ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 1Cω = 120 × 10-6 × 314,2 ≈ 159,2 Ω ; Z = √1002 + 159,22 = √10 000 + 25 340 ≈ 188 Ω.
b) I = 24188 ≈ 0,128 A.
c) tanvarphi = -159,2100 = -1,592, donc varphi ≈ -1,01 rad (environ -58°). La tension est en retard : c'est l'intensité qui est en avance sur la tension.
5Exercice 5
(Type BAC) Un circuit série comprend un conducteur ohmique R = 50 Ω, une bobine idéale L = 0,3 H et un condensateur C = 20 µ F. Il est alimenté par la tension u(t) = 10cos(100π t) (en volts).
a) Calcule les impédances de la bobine et du condensateur.
b) Fais la construction de Fresnel (sans échelle imposée, mais avec les bonnes proportions).
c) Calcule l'impédance du circuit et l'amplitude de l'intensité.
d) Calcule le déphasage de u par rapport à i. Le circuit est-il inductif ou capacitif ?
e) Écris l'expression de i(t).
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Lω = 0,3 × 314,2 ≈ 94,2 Ω ; 1Cω = 120 × 10-6 × 314,2 ≈ 159,2 Ω.
b) Intensité en référence. Vecteur RIm horizontal (longueur proportionnelle à 50), puis vecteur Lω Im vers le haut (94,2), puis vecteur ImCω vers le bas (159,2). Le vecteur somme part de l'origine et arrive en dessous de l'axe : composante horizontale 50, composante verticale 94,2 - 159,2 = -65,0 (en unités de Im).
c) Z = √502 + 65,02 = √2500 + 4225 ≈ 81,9 Ω ; Im = 1081,9 ≈ 0,122 A.
d) tanvarphi = -65,050 = -1,30, donc varphi ≈ -0,914 rad (environ -52°). varphi < 0 : le circuit est capacitif (1Cω > Lω).
e) u est en retard de 0,914 rad sur i, donc i est en avance de 0,914 rad sur u : i(t) = 0,122cos(100π t + 0,914) (en ampères).
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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