Karamö, le prof virtuelLeçon 45 sur 47
Les ondes lumineuses
Je sais montrer, par la diffraction et les interférences, que la lumière est une onde, et exploiter l'expérience des fentes de Young pour calculer une interfrange ou une longueur d'onde.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Décrire et exploiter le phénomène de diffraction de la lumière (θ = λ/a)
- Expliquer les conditions d'obtention des interférences lumineuses (sources cohérentes)
- Établir et utiliser la différence de marche δ = ax/D et l'interfrange i = λD/a
- Déterminer la nature (brillante ou sombre) d'une frange et mesurer une longueur d'onde
Avant de commencer : Les ondes électromagnétiques (λ = c/f, spectre visible de 400 à 800 nm), les ondes mécaniques (superposition, interférences à la surface de l'eau), les approximations pour les petits angles.
1Je découvre
Pendant la saison des pluies, à Mamou, Ibrahima observe une flaque recouverte d'une fine pellicule d'huile laissée par un taxi-brousse. La lumière du soleil y fait apparaître des bandes de toutes les couleurs. Le lendemain, en regardant une lampe lointaine à travers un tissu de voile très fin, il voit des petites taches lumineuses disposées en croix autour de la lampe.
En classe, le professeur éclaire deux fentes très fines et très proches avec un laser rouge. Sur l'écran, au lieu de deux traits lumineux, apparaît une série de bandes brillantes et sombres régulièrement espacées. Ibrahima est surpris : comment de la lumière ajoutée à de la lumière peut-elle donner de l'obscurité ?
Quels phénomènes prouvent que la lumière est une onde, et comment exploiter les franges d'interférence pour mesurer sa longueur d'onde ?
2Je comprends
1. La diffraction de la lumière
Un faisceau laser passe par une fente fine de largeur a. Si a est grande (quelques millimètres), on observe sur l'écran une tache de la taille de la fente. Mais si a devient très petite (dixième de millimètre), la lumière s'étale perpendiculairement à la fente : on observe une tache centrale large et brillante, entourée de taches plus petites et moins lumineuses, séparées par des zones sombres. C'est la diffraction.
La diffraction est un phénomène caractéristique des ondes (on l'observe aussi avec les vagues qui passent par l'ouverture d'une digue). Elle est importante quand la taille de l'ouverture est de l'ordre de grandeur de la longueur d'onde, ou quelques centaines de fois plus grande.
Écart angulaire. Le demi-angle θ sous lequel on voit, depuis la fente, le milieu de la tache centrale et sa première extinction vérifie :
θ = λa (θ en radians, petit angle).
Sur un écran situé à la distance D, la largeur de la tache centrale est L = 2Dtanθ ≈ 2Dθ = 2λ Da.
Plus la fente est fine, plus la tache centrale est large.
2. Les interférences lumineuses : l'expérience des fentes de Young
Au début du XIXe siècle, Thomas Young éclaire deux fentes fines F1 et F2, parallèles et très proches, avec la lumière issue d'une seule fente source S. Grâce à la diffraction, les faisceaux sortant de F1 et F2 se superposent sur l'écran. Dans cette zone commune, le champ d'interférences, on observe des franges rectilignes, alternativement brillantes et sombres, parallèles aux fentes et équidistantes.
Condition d'obtention. Les deux sources doivent être cohérentes : même fréquence et déphasage constant. On l'obtient en faisant provenir les deux sources d'une même source primaire. Deux lampes différentes ne donnent jamais d'interférences observables.
3. Différence de marche
Au point M de l'écran, d'abscisse x comptée à partir du point O (sur l'axe de symétrie), les ondes issues de F1 et F2 ont parcouru les distances d1 = F1M et d2 = F2M. Leur différence de marche est δ = d2 - d1.
Avec F1 et F2 placés en (0 ; a2) et (0 ; -a2) et l'écran en D :
d22 - d12 = (x + a2)2 - (x - a2)2 = 2ax.
Or d22 - d12 = (d2 - d1)(d2 + d1), et comme D est très grand devant a et x, d1 + d2 ≈ 2D. D'où :
δ = axD.
4. Franges brillantes et franges sombres
- Si δ = kλ (k entier relatif), les deux ondes arrivent en phase : leurs effets s'ajoutent, la frange est brillante. Positions : xk = kλ Da.
- Si δ = (k + 12)λ, les ondes arrivent en opposition de phase : elles se détruisent, la frange est sombre. Positions : x = (k + 12)λ Da.
Le point O (x = 0, δ = 0) est au centre d'une frange brillante, la frange centrale.
L'interfrange i est la distance entre les milieux de deux franges consécutives de même nature :
i = λ Da.
Le rapport p = δλ s'appelle l'ordre d'interférence : entier pour une frange brillante, demi-entier pour une frange sombre.
5. Ce que prouvent ces expériences
Dans une frange sombre, chacune des deux fentes, seule, éclairerait l'écran. Ensemble, elles donnent l'obscurité : « lumière + lumière = obscurité ». Aucun modèle de particules qui s'ajoutent ne peut l'expliquer ; seul un modèle ondulatoire le fait. La diffraction et les interférences établissent la nature ondulatoire de la lumière.
En lumière blanche, chaque couleur donne son propre système de franges, avec son interfrange. Seule la frange centrale est blanche (toutes les couleurs y ont δ = 0) ; de part et d'autre apparaissent quelques franges irisées, puis un éclairement blanchâtre uniforme. Les couleurs de la pellicule d'huile sur la flaque ont une origine voisine (interférences dans une lame mince).
Méthode
Pour exploiter une expérience de fentes de Young :
- Je convertis toutes les longueurs en mètres (λ en nm → × 10⁻⁹ ; a en mm → × 10⁻³).
- J'utilise i = λD/a pour calculer l'interfrange, ou λ = ia/D pour trouver la longueur d'onde.
- Si l'énoncé donne la largeur de n interfranges, je divise par n (attention : n + 1 franges brillantes délimitent n interfranges).
- Pour la nature d'une frange en M : je calcule δ = ax/D puis p = δ/λ ; p entier → brillante, p demi-entier → sombre.
- Je vérifie l'ordre de grandeur : i vaut en général quelques dixièmes de mm à quelques mm.
Exemple
Fentes de Young : λ = 600 nm, a = 1 mm, D = 2 m.
i = λD/a = (6 × 10⁻⁷ × 2)/10⁻³ = 1,2 × 10⁻³ m = 1,2 mm.
Nature de la frange à x = 3 mm : δ = ax/D = (10⁻³ × 3 × 10⁻³)/2 = 1,5 × 10⁻⁶ m ; p = δ/λ = 1,5 × 10⁻⁶ / 6 × 10⁻⁷ = 2,5 : demi-entier, frange sombre.
À x = 3,6 mm : δ = 1,8 × 10⁻⁶ m, p = 3 : frange brillante (3e frange brillante après la centrale).
Exemple
Mesure d'une longueur d'onde : avec a = 0,5 mm et D = 1 m, on mesure 11 mm entre les milieux de la 1re et de la 11e frange brillante.
Entre ces deux franges, il y a 10 interfranges : i = 11/10 = 1,1 mm.
λ = ia/D = (1,1 × 10⁻³ × 0,5 × 10⁻³)/1 = 5,5 × 10⁻⁷ m = 550 nm (lumière verte-jaune).
Exemple
Diffraction : un laser rouge (λ = 633 nm) éclaire une fente de largeur a = 0,1 mm ; l'écran est à D = 2 m.
θ = λ/a = 6,33 × 10⁻⁷ / 10⁻⁴ = 6,33 × 10⁻³ rad.
Largeur de la tache centrale : L = 2Dθ = 2 × 2 × 6,33 × 10⁻³ ≈ 2,53 × 10⁻² m ≈ 25 mm, alors que la fente ne mesure que 0,1 mm.
3Je retiens
Je retiens
Diffraction par une fente de largeur a : θ = λ/a (rad) ; largeur de la tache centrale L = 2λD/a.
Interférences : il faut deux sources cohérentes (même fréquence, déphasage constant), issues d'une même source.
Fentes de Young : différence de marche δ = d₂ − d₁ = ax/D.
Frange brillante : δ = kλ ; frange sombre : δ = (k + ½)λ ; la frange centrale (x = 0) est brillante.
Interfrange : i = λD/a.
Diffraction et interférences prouvent la nature ondulatoire de la lumière.
4Erreurs fréquentes
- Mélanger les unités : λ en nm, a en mm et D en m doivent tous être convertis en mètres avant le calcul.
- Compter les franges au lieu des interfranges : entre la 1re et la 6e frange brillante, il y a 5 interfranges, pas 6.
- Confondre a et D : a est la distance entre les fentes (petite, en mm), D la distance fentes-écran (grande, en m).
- Croire que deux lampes quelconques peuvent interférer : sans cohérence, les franges bougent trop vite et on ne voit qu'un éclairement uniforme.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Dans une expérience de Young, λ = 500 nm, a = 0,8 mm et D = 1,6 m. Calcule l'interfrange.
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i = λ Da = 5 × 10-7 × 1,68 × 10-4 = 10-3 m = 1 mm.
2Exercice 2
Avec a = 1 mm et D = 2 m, on mesure une distance de 6,5 mm entre les milieux de la frange brillante centrale et de la 5e frange brillante qui la suit. Calcule l'interfrange, puis la longueur d'onde. De quelle couleur est la lumière ?
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Entre la frange centrale et la 5e frange brillante, il y a 5 interfranges : i = 6,55 = 1,3 mm.
λ = iaD = 1,3 × 10-3 × 10-32 = 6,5 × 10-7 m = 650 nm : lumière rouge.
3Exercice 3
Un laser de longueur d'onde 650 nm éclaire une fente de largeur a. Sur un écran placé à 1,5 m, la tache centrale mesure 19,5 mm de large. Calcule a.
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L = 2λ Da, donc a = 2λ DL = 2 × 6,5 × 10-7 × 1,51,95 × 10-2 = 1,95 × 10-61,95 × 10-2 = 10-4 m = 0,1 mm.
4Exercice 4
Dans une expérience de Young (λ = 600 nm, a = 1,5 mm, D = 1,5 m), précise la nature de la frange qui se trouve à x = 1,5 mm, puis à x = 2,1 mm du centre de la frange centrale.
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i = 6 × 10-7 × 1,51,5 × 10-3 = 6 × 10-4 m = 0,6 mm.
À x = 1,5 mm : δ = axD = 1,5 × 10-3 × 1,5 × 10-31,5 = 1,5 × 10-6 m ; p = 1,5 × 10-66 × 10-7 = 2,5 : frange sombre.
À x = 2,1 mm : δ = 2,1 × 10-6 m ; p = 3,5 : frange sombre. (On peut aussi écrire xi = 2,5 et 3,5.)
5Exercice 5
(Type BAC) Deux fentes fines F1 et F2, distantes de a = 0,6 mm, sont éclairées par une lumière monochromatique issue d'une fente source S placée sur leur médiatrice. On observe des franges sur un écran parallèle au plan des fentes, à D = 1,8 m.
a) Pourquoi les fentes F1 et F2 se comportent-elles comme des sources cohérentes ? Quel phénomène permet aux faisceaux de se superposer ?
b) Établis l'expression de la différence de marche δ = axD en un point M d'abscisse x (on admet d1 + d2 ≈ 2D).
c) Déduis-en l'expression de l'interfrange.
d) On mesure 9 mm pour 5 interfranges. Calcule la longueur d'onde.
e) On remplace la lumière par de la lumière blanche. Décris ce que l'on observe.
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a) F1 et F2 sont éclairées par la même source S, à égale distance : elles émettent des ondes de même fréquence et de déphasage constant (ici nul). Les faisceaux se superposent grâce à la diffraction par chaque fente fine.
b) Dans un repère où F1(0 ; a2), F2(0 ; -a2) et M(D ; x) : d12 = D2 + (x - a2)2 et d22 = D2 + (x + a2)2.
d22 - d12 = 2ax = (d2 - d1)(d2 + d1) ≈ δ × 2D, donc δ = axD.
c) Franges brillantes : δ = kλ, soit xk = kλ Da. Deux franges brillantes consécutives sont séparées de i = xk+1 - xk = λ Da.
d) i = 95 = 1,8 mm ; λ = iaD = 1,8 × 10-3 × 6 × 10-41,8 = 6 × 10-7 m = 600 nm.
e) La frange centrale est blanche (δ = 0 pour toutes les couleurs). De part et d'autre, on voit quelques franges colorées (irisées), bordées de bleu du côté du centre et de rouge vers l'extérieur, car l'interfrange est plus petite pour le bleu que pour le rouge. Plus loin, les systèmes de franges se brouillent et l'on observe un éclairement blanchâtre uniforme.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
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