Karamö, le prof virtuelLeçon 3 sur 13
Mouvement rectiligne uniforme
Je sais reconnaître un mouvement rectiligne uniforme, écrire son équation horaire x = vt + x₀ et résoudre des problèmes de rencontre entre deux mobiles.
- 50 min
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir le mouvement rectiligne uniforme et ses caractéristiques
- Établir et utiliser l'équation horaire x = vt + x₀
- Lire et tracer les graphes x(t) et v(t)
- Résoudre un problème de rencontre de deux mobiles
Avant de commencer : Les leçons « Notions de cinématique » et « Vecteur position, vecteur vitesse, vecteur accélération » ; la résolution d'une équation du premier degré.
1Je découvre
Sur la voie ferrée qui relie les mines de bauxite au port, un long train minéralier roule sur une portion bien droite. Lansana, qui travaille à la surveillance de la voie, note l'heure de passage de la locomotive devant chaque borne kilométrique. Il remarque que, sur cette portion, le train met toujours le même temps pour aller d'une borne à la suivante.
Sa collègue Mariama lui dit : « Si la vitesse ne change pas et que la voie est droite, on peut prévoir exactement où sera le train dans cinq minutes, dans dix minutes, et même l'heure où il croisera le train qui remonte à vide. »
Lansana est curieux : quelle formule permet de faire ces prévisions ?
Comment décrire mathématiquement un mouvement en ligne droite à vitesse constante, et comment prévoir la rencontre de deux mobiles ?
2Je comprends
1. Définition
Un mobile est animé d'un mouvement rectiligne uniforme (MRU) si :
- sa trajectoire est une droite (mouvement rectiligne) ;
- la valeur de sa vitesse est constante (mouvement uniforme).
Autrement dit, son vecteur vitesse est constant : même direction, même sens, même valeur. Par conséquent, son vecteur accélération est nul : a = 0.
Conséquence pratique : en MRU, le mobile parcourt des distances égales pendant des durées égales. C'est ce que Lansana observait entre les bornes.
2. L'équation horaire
On choisit un axe (O ; i) porté par la trajectoire. Si v est la vitesse (algébrique) et x0 l'abscisse du mobile à la date t = 0, alors :
x(t) = v t + x0
- x0 est l'abscisse initiale (position à t = 0) ;
- v > 0 : le mobile se déplace dans le sens positif de l'axe ;
- v < 0 : il se déplace dans le sens négatif.
Justification. Puisque a = dvdt = 0, la vitesse est constante. Et puisque v = dxdt est constante, x est une fonction affine du temps : x = vt + x0. On vérifie : la dérivée de vt + x0 est bien v.
Si le mobile ne part pas à t = 0 mais à une date t0 depuis la position x0, l'équation devient : x(t) = v (t - t0) + x0.
La distance parcourue pendant une durée Δ t vaut : d = |v| × Δ t.
3. Les graphes du MRU
- Le graphe x(t) est une droite de coefficient directeur v et d'ordonnée à l'origine x0. Plus la droite est pentue, plus le mobile va vite.
- Le graphe v(t) est une droite horizontale.
- Le graphe a(t) est confondu avec l'axe des temps (a = 0).
Pour lire la vitesse sur le graphe x(t), on prend deux points de la droite : v = x2 - x1t2 - t1.
Exemple
Un taxi roule en MRU sur une route droite. À t = 0, il est à 20 m de l'origine et sa vitesse est 15 m/s dans le sens positif.
a) Équation horaire : x(t) = 15t + 20 (en m et en s).
b) Position à t = 10 s : x = 15 × 10 + 20 = 170 m.
c) Date à laquelle il atteint x = 320 m : 15t + 20 = 320, donc 15t = 300 et t = 20 s.
d) Distance parcourue entre t = 10 s et t = 20 s : d = 15 × 10 = 150 m (on vérifie : 320 − 170 = 150 m).
4. Problème de rencontre de deux mobiles
Deux mobiles se rencontrent quand ils occupent la même position au même instant. On écrit leurs équations horaires dans le même repère (même origine, même sens, même origine des dates), puis on résout xA(t) = xB(t).
Méthode
Pour résoudre un problème de rencontre :
- Je choisis une origine O, un sens positif et une origine des dates, communs aux deux mobiles.
- Je traduis chaque vitesse avec son signe (+ dans le sens de l'axe, − sinon) et chaque position initiale.
- J'écris x_A(t) et x_B(t) ; je fais attention si l'un des mobiles part plus tard (t − t₀).
- Je résous x_A(t) = x_B(t) : j'obtiens la date de rencontre t_R.
- Je calcule la position de rencontre x_R en remplaçant t_R dans l'une des équations, puis je vérifie avec l'autre.
Exemple
Deux villes A et B sont distantes de 120 km sur une route droite. À 8 h, un camion part de A vers B à 60 km/h. Au même moment, un minibus part de B vers A à 40 km/h. Les deux roulent en MRU. Quand et où se rencontrent-ils ?
Repère : origine en A, sens positif de A vers B, t = 0 à 8 h ; x en km, t en h.
Camion : x₁(t) = 60t.
Minibus : il part de 120 km et va dans le sens négatif : x₂(t) = −40t + 120.
Rencontre : 60t = −40t + 120, donc 100t = 120 et t = 1,2 h.
1,2 h = 1 h + 0,2 × 60 min = 1 h 12 min. Ils se croisent à 9 h 12 min.
Position : x = 60 × 1,2 = 72 km de A. Vérification : −40 × 1,2 + 120 = −48 + 120 = 72 km. Juste.
Exemple
Fanta part à pied de l'école (origine O) à t = 0, à 1,5 m/s. Deux minutes plus tard, son frère Sékou part du même point à vélo, dans le même sens, à 4,5 m/s. Quand la rattrape-t-il ?
Fanta : x_F = 1,5t.
Sékou part à t₀ = 120 s : x_S = 4,5(t − 120).
Rattrapage : 1,5t = 4,5t − 540, donc 3t = 540 et t = 180 s (soit 3 min après le départ de Fanta).
Position : x = 1,5 × 180 = 270 m. Vérification : 4,5 × (180 − 120) = 4,5 × 60 = 270 m.
5. Tableau récapitulatif
| Grandeur | Valeur en MRU |
|---|---|
| Trajectoire | droite |
| Accélération a | 0 |
| Vitesse v | constante |
| Position x(t) | vt + x0 |
| Graphe x(t) | droite de pente v |
3Je retiens
Je retiens
MRU : trajectoire rectiligne et vecteur vitesse constant ; donc a = 0.
Équation horaire : x(t) = v t + x₀ (x₀ : abscisse à t = 0). Départ à t₀ : x(t) = v (t − t₀) + x₀.
v > 0 : sens positif de l'axe ; v < 0 : sens négatif.
Distance parcourue : d = |v| × Δt.
Graphe x(t) : droite de pente v ; graphe v(t) : droite horizontale.
Rencontre : même repère pour les deux mobiles, puis on résout x_A(t) = x_B(t).
4Erreurs fréquentes
- Oublier le signe moins pour un mobile qui va dans le sens opposé à l'axe : son équation est x = −v t + x₀.
- Utiliser deux repères différents pour deux mobiles : la rencontre ne se calcule que dans un repère commun.
- Écrire x = v t pour un mobile qui part en retard : il faut x = v (t − t₀).
- Mélanger les unités : km avec s, ou m avec h. On choisit km et h, ou m et s, et on s'y tient.
5Je m’exerce
1Exercice 1
L'équation horaire d'un mobile est x(t) = 4t - 8 (SI).
a) Quelle est la nature du mouvement ? Donne x0 et v.
b) Dans quel sens se déplace le mobile ?
c) À quelle date passe-t-il à l'origine ?
d) Où se trouve-t-il à t = 5 s ?
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a) x est une fonction affine de t : c'est un mouvement rectiligne uniforme, avec x0 = -8 m et v = 4 m/s.
b) v > 0 : le mobile se déplace dans le sens positif de l'axe.
c) 4t - 8 = 0 donne t = 2 s.
d) x(5) = 20 - 8 = 12 m.
2Exercice 2
On relève les positions d'une pirogue qui glisse en ligne droite sur un lac :
| t (s) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| x (m) | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 |
a) Montre que le mouvement est uniforme.
b) Calcule la vitesse et écris l'équation horaire.
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a) À chaque seconde, la pirogue avance de 2 m : elle parcourt des distances égales pendant des durées égales. Le mouvement (rectiligne) est uniforme.
b) v = 11 - 34 - 0 = 84 = 2 m/s. Avec x0 = 3 m : x(t) = 2t + 3.
3Exercice 3
Un train minéralier roule en MRU à 54 km/h.
a) Convertis sa vitesse en m/s.
b) Combien de temps met-il pour parcourir 3 km ?
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a) v = 54 ÷ 3,6 = 15 m/s.
b) Δ t = dv = 3 00015 = 200 s, soit 3 min 20 s.
4Exercice 4
Deux amis, Hawa et Mamadou, habitent dans deux quartiers distants de 900 m sur une même rue droite. Ils partent en même temps l'un vers l'autre : Hawa à 1,2 m/s, Mamadou à 1,8 m/s.
a) Écris leurs équations horaires (origine chez Hawa, sens positif vers Mamadou).
b) Calcule la date et le lieu de leur rencontre.
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a) Hawa : xH = 1,2t. Mamadou part de 900 m et va dans le sens négatif : xM = -1,8t + 900.
b) 1,2t = -1,8t + 900, donc 3t = 900 et t = 300 s (5 min). Position : x = 1,2 × 300 = 360 m de chez Hawa. Vérification : -1,8 × 300 + 900 = -540 + 900 = 360 m.
5Exercice 5
(Type BAC) Sur un axe (O ; i), un mobile A part de O à t = 0 avec la vitesse constante 10 m/s dans le sens positif. Au même instant, un mobile B part du point d'abscisse 500 m avec la vitesse constante de valeur 15 m/s dans le sens négatif.
a) Écris les équations horaires xA(t) et xB(t).
b) Détermine la date et l'abscisse de leur rencontre.
c) Calcule la distance qui les sépare à t = 10 s.
d) Décris l'allure des graphes xA(t) et xB(t) sur un même repère.
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a) xA(t) = 10t ; xB(t) = -15t + 500 (SI).
b) 10t = -15t + 500, donc 25t = 500 et t = 20 s. x = 10 × 20 = 200 m. Vérification : -15 × 20 + 500 = 200 m.
c) À t = 10 s : xA = 100 m et xB = -150 + 500 = 350 m. Distance : 350 - 100 = 250 m.
d) xA(t) est une droite qui monte, passant par l'origine, de pente 10. xB(t) est une droite qui descend, partant de 500 m, de pente -15. Les deux droites se coupent au point de coordonnées (20 s ; 200 m) : c'est le point de rencontre.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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