Karamö, le prof virtuelLeçon 2 sur 27
Puissances et notation scientifique (révision)
Je sais calculer avec des puissances d'exposant positif ou négatif et écrire un très grand ou un très petit nombre en notation scientifique.
- 50 min
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Calculer une puissance d'un nombre relatif et d'une fraction, avec un exposant positif, nul ou négatif
- Utiliser les règles de calcul sur les puissances pour simplifier une expression
- Écrire un nombre en notation scientifique et calculer avec cette écriture
Avant de commencer : Les priorités de calcul et les opérations sur les relatifs et les fractions (leçon Calcul numérique).
1Je découvre
Ibrahima prépare un exposé de sciences pour sa classe de 10e. Dans un livre, il lit deux informations. La distance moyenne entre la Terre et le Soleil est d'environ 150 000 000 km. Un globule rouge de notre sang mesure environ 0,000 007 m de diamètre.
Il essaie de recopier ces nombres au tableau et se trompe deux fois dans le nombre de zéros. Son amie Hawa lui dit : « Les scientifiques n'écrivent jamais tous ces zéros. Ils écrivent 1,5 × 108 km et 7 × 10-6 m. C'est plus court, et on voit tout de suite l'ordre de grandeur. »
Ibrahima se demande ce que veut dire un exposant négatif comme -6, et comment on peut calculer avec de telles écritures, par exemple pour savoir combien de temps met la lumière du Soleil pour arriver jusqu'à nous.
Comment calculer avec les puissances, et comment écrire simplement les très grands et les très petits nombres ?
2Je comprends
1. Puissance d'exposant entier positif
Soit a un nombre et n un entier naturel supérieur ou égal à 2. La puissance n-ième de a est le produit de n facteurs égaux à a :
an = underbracea × a × ⋯ × an facteurs
On lit an « a exposant n » ou « a puissance n ». Le nombre a est la base, n est l'exposant. Par convention, a1 = a et, si a ≠ 0, a0 = 1.
Exemples : 25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 ; (23)2 = 23 × 23 = 49.
Le signe d'une puissance d'un nombre négatif dépend de la parité de l'exposant :
- exposant pair : résultat positif, (-2)4 = 16 ;
- exposant impair : résultat négatif, (-2)3 = -8.
Attention aux parenthèses : (-3)2 = (-3) × (-3) = 9, mais -32 = -(3 × 3) = -9. Sans parenthèses, l'exposant ne porte que sur le 3.
2. Puissance d'exposant négatif
Pour a ≠ 0 et n entier naturel, on pose :
a-n = 1an
Ainsi a-n est l'inverse de an. Exemples : 2-3 = 123 = 18 ; 10-2 = 1100 = 0,01 ; (34)-1 = 43.
Un exposant négatif ne rend pas le nombre négatif : 5-2 = 125 est positif.
3. Les règles de calcul
Pour a et b non nuls et m, n entiers relatifs :
| Règle | Formule | Exemple |
|---|---|---|
| Produit de même base | am × an = am+n | 34 × 3-2 = 32 |
| Quotient de même base | aman = am-n | 7578 = 7-3 |
| Puissance d'une puissance | (am)n = am × n | (23)4 = 212 |
| Puissance d'un produit | (a × b)n = an × bn | (2 × 5)3 = 23 × 53 |
| Puissance d'un quotient | (ab)n = anbn | (23)3 = 827 |
Il n'existe aucune règle pour une somme : 23 + 22 = 8 + 4 = 12, alors que 25 = 32.
- 10¹ = 10
- 10² = 100
- 10³ = 1 000
- 10⁶ = un million
- 10⁻¹ = 0,1
- 10⁻² = 0,01
- 10⁻³ = 0,001
- 10⁻⁶ = un millionième
4. Les puissances de 10
Pour tout entier naturel n : 10n = 1underbrace00…0n zéros et 10-n = 0,underbrace0…0n-1 zéros1.
Multiplier un nombre par 10n, c'est déplacer la virgule de n rangs vers la droite ; le multiplier par 10-n, c'est la déplacer de n rangs vers la gauche. Exemples : 3,45 × 102 = 345 ; 62 × 10-3 = 0,062.
5. La notation scientifique
La notation scientifique d'un nombre décimal positif est son écriture sous la forme
a × 10n avec 1 ≤ a < 10 et n entier relatif.
Le nombre a a donc un seul chiffre non nul avant la virgule. Pour un nombre négatif, on écrit le signe devant : -0,003 = -3 × 10-3.
- 150 000 000 = 1,5 × 108 (la virgule a été déplacée de 8 rangs vers la gauche) ;
- 0,000 007 = 7 × 10-6 (la virgule a été déplacée de 6 rangs vers la droite) ;
- 25 × 103 n'est pas en notation scientifique car 25 ≥ 10 : on écrit 25 × 103 = 2,5 × 10 × 103 = 2,5 × 104.
L'exposant n donne l'ordre de grandeur : un nombre en 108 est cent millions de fois plus grand qu'un nombre de même a en 100.
Méthode
Pour écrire un nombre en notation scientifique :
- Je place la virgule juste après le premier chiffre non nul : c'est le nombre a.
- Je compte de combien de rangs j'ai déplacé la virgule : c'est la valeur de n.
- Si le nombre de départ est supérieur ou égal à 10, n est positif ; s'il est compris entre 1 et 10, n = 0 ; s'il est plus petit que 1, n est négatif.
- Si le nombre est déjà écrit sous la forme b × 10ᵖ avec b trop grand ou trop petit, je transforme b seul en notation scientifique, puis j'additionne les exposants.
- Je vérifie que 1 ≤ a < 10.
Exemple
Calculer A = 23 × 2524.
Au numérateur, même base : 23 × 25 = 23+5 = 28.
Quotient de même base : A = 28-4 = 24.
Résultat : A = 16.
Exemple
Donner la notation scientifique de B = 3 × 104 × 8 × 10-66 × 10-3.
On regroupe les nombres d'un côté et les puissances de 10 de l'autre :
B = 3 × 86 × 104 × 10-610-3.
Les nombres : 246 = 4.
Les puissances : 104 + (-6) = 10-2, puis 10-210-3 = 10-2-(-3) = 101.
Résultat : B = 4 × 101, c'est-à-dire 40.
Exemple
Écrire en notation scientifique : 372 000 ; 0,000 45 ; 0,06 × 10⁻².
372 000 = 3,72 × 105 (virgule déplacée de 5 rangs vers la gauche).
0,000 45 = 4,5 × 10-4 (virgule déplacée de 4 rangs vers la droite).
0,06 × 10-2 = 6 × 10-2 × 10-2 = 6 × 10-4.
3Je retiens
Je retiens
an = produit de n facteurs égaux à a ; a0 = 1 et a-n = 1an (pour a ≠ 0).
Un nombre négatif élevé à une puissance paire donne un résultat positif, à une puissance impaire un résultat négatif. (-3)2 = 9 mais -32 = -9.
am × an = am+n ; aman = am-n ; (am)n = amn ; (ab)n = an bn ; (ab)n = anbn.
Aucune règle pour une somme de puissances.
Notation scientifique : a × 10n avec 1 ≤ a < 10 et n entier relatif.
4Erreurs fréquentes
- Multiplier la base par l'exposant : 23 vaut 2 × 2 × 2 = 8, pas 2 × 3 = 6.
- Croire qu'un exposant négatif donne un nombre négatif : 4-2 = 116, qui est positif.
- Multiplier les exposants dans un produit : 103 × 104 = 107 (on additionne), alors que (103)4 = 1012 (on multiplie).
- Laisser un nombre comme 25 × 103 ou 0,4 × 10-2 en croyant qu'il est en notation scientifique : le nombre devant doit être entre 1 (compris) et 10 (exclu).
5Je m’exerce
1Exercice 1
Calcule.
a) (-3)2 ; b) -32 ; c) (-1)15 ; d) 50 ; e) 2-3 ; f) (23)2
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) (-3) × (-3) = 9.
b) L'exposant ne porte que sur 3 : -(3 × 3) = -9.
c) Exposant impair et base -1 : (-1)15 = -1.
d) Tout nombre non nul à la puissance 0 vaut 1 : 50 = 1.
e) 2-3 = 123 = 18.
f) 2232 = 49.
2Exercice 2
Écris chaque expression sous la forme d'une seule puissance.
a) 73 × 7-5 ; b) (52)3 ; c) 383-2 ; d) 25 × 55
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a) 73 + (-5) = 7-2.
b) 52 × 3 = 56.
c) 38 - (-2) = 310.
d) Même exposant : (2 × 5)5 = 105.
3Exercice 3
Donne la notation scientifique de chaque nombre.
a) 58 000 000 ; b) 0,000 702 ; c) 340 × 10-5 ; d) 0,015 × 108
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a) 58 000 000 = 5,8 × 107.
b) 0,000 702 = 7,02 × 10-4.
c) 340 = 3,4 × 102, donc 340 × 10-5 = 3,4 × 102 - 5 = 3,4 × 10-3.
d) 0,015 = 1,5 × 10-2, donc 0,015 × 108 = 1,5 × 10-2 + 8 = 1,5 × 106.
4Exercice 4
(Type BEPC) On donne C = 15 × 10-3 × 4 × 10512 × 10-2 et D = (2-1 × 32)2 × 2333.
a) Donne l'écriture scientifique de C, puis son écriture décimale.
b) Montre que D est un nombre entier que tu préciseras.
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a) Les nombres : 15 × 412 = 6012 = 5. Les puissances : 10-3 × 10510-2 = 10210-2 = 102 - (-2) = 104. Donc C = 5 × 104 = 50 000.
b) (2-1 × 32)2 = 2-2 × 34. Donc D = 2-2 × 34 × 2333 = 2-2+3 × 34-3 = 21 × 31 = 6. D est l'entier 6.
5Exercice 5
(Problème) La lumière parcourt environ 3 × 105 km en une seconde. La distance moyenne de la Terre au Soleil est d'environ 1,5 × 108 km.
a) Calcule le temps, en secondes, que met la lumière du Soleil pour arriver sur Terre.
b) Convertis ce temps en minutes et secondes.
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a) Temps = distance ÷ vitesse : 1,5 × 1083 × 105 = 1,53 × 108-5 = 0,5 × 103 = 500 s.
b) 500 = 8 × 60 + 20. La lumière met environ 8 minutes et 20 secondes : quand tu vois le Soleil, tu vois la lumière qu'il a émise il y a un peu plus de 8 minutes.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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