Karamö, le prof virtuelLeçon 3 sur 27
Les racines carrées
Je sais calculer avec des racines carrées, simplifier une écriture comme √50 et rendre rationnel le dénominateur d'une fraction.
- 55 min
- 6 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Connaître la définition de la racine carrée d'un nombre positif
- Utiliser les règles √(ab) = √a × √b et √(a/b) = √a / √b
- Simplifier une racine carrée et réduire une somme de racines carrées
- Rendre rationnel le dénominateur d'une fraction
Avant de commencer : Les carrés parfaits de 1 à 225, les puissances (10e-maths-02), les opérations sur les fractions et les identités remarquables.
1Je découvre
Mamadou aide son oncle à préparer un champ carré à Faranah. L'oncle lui dit : « Le champ a une aire de 49 m². Combien mesure un côté ? » Mamadou répond aussitôt : 7 m, car 7 × 7 = 49.
L'oncle continue : « Et mon autre champ carré, qui a une aire de 50 m² ? » Mamadou cherche un nombre qui, multiplié par lui-même, donne 50. 7 × 7 = 49, c'est trop petit ; 8 × 8 = 64, c'est trop grand. Le côté est donc entre 7 m et 8 m, mais aucun nombre entier ni décimal simple ne convient exactement.
Sa sœur Aïssatou, en 10e année, lui explique qu'on note ce nombre √50 et qu'on peut même l'écrire plus simplement : 5√2.
Qu'est-ce qu'une racine carrée, comment calcule-t-on avec, et comment simplifier une écriture comme √50 ?
2Je comprends
1. Définition
Soit a un nombre positif ou nul. La racine carrée de a est le nombre positif dont le carré est égal à a. On la note √a (on lit « racine carrée de a »). Le symbole √ s'appelle le radical.
Autrement dit : √a ≥ 0 et (√a)2 = a.
Exemples : √49 = 7 car 7 ≥ 0 et 72 = 49 ; √0 = 0 ; √1 = 1 ; √0,25 = 0,5 ; √916 = 34.
Deux remarques importantes :
- √-4 n'existe pas : aucun nombre au carré ne donne un nombre négatif.
- -5 a aussi pour carré 25, mais √25 = 5 et non -5, car une racine carrée est toujours positive.
Les nombres dont la racine carrée est un entier sont les carrés parfaits : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225… Il faut les connaître par cœur : ils servent à simplifier.
Un nombre comme √2 n'est ni entier, ni décimal, ni une fraction : c'est un nombre irrationnel. Sa valeur approchée est √2 ≈ 1,414. On garde l'écriture √2 quand on demande une valeur exacte.
2. Racine carrée d'un carré
Pour tout nombre a positif : √a2 = a. Par exemple √32 = 3.
Attention avec un nombre négatif : √(-3)2 = √9 = 3, pas -3. En général, √a2 est égal à la distance à zéro de a (sa valeur absolue).
3. Produit et quotient
Pour a ≥ 0 et b ≥ 0 :
√a × b = √a × √b.
Pour a ≥ 0 et b > 0 :
√ab = √a√b.
Vérifions sur un exemple : √4 × 9 = √36 = 6 et √4 × √9 = 2 × 3 = 6. Les deux résultats sont égaux.
Attention : il n'existe aucune règle de ce type pour la somme. √9 + 16 = √25 = 5, alors que √9 + √16 = 3 + 4 = 7. Donc √a + b ≠ √a + √b en général.
4. Simplifier une racine carrée
Simplifier √a, c'est l'écrire sous la forme b√c avec c entier le plus petit possible. On cherche dans a le plus grand carré parfait qui le divise.
Méthode
Pour simplifier √a :
- Je cherche le plus grand carré parfait qui divise a (4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100…).
- J'écris a comme un produit : a = (carré parfait) × (autre facteur).
- J'applique √(m × n) = √m × √n.
- Je remplace la racine du carré parfait par sa valeur entière.
- Je vérifie que le nombre restant sous le radical ne contient plus de carré parfait.
Exemple
Simplifier √50 et √72.
√50 : le plus grand carré parfait qui divise 50 est 25 (50 = 25 × 2).
√50 = √(25 × 2) = √25 × √2 = 5√2.
√72 : 72 = 36 × 2 (36 est le plus grand carré parfait qui divise 72).
√72 = √36 × √2 = 6√2.
Si on avait écrit 72 = 4 × 18, on aurait obtenu 2√18, qui n'est pas terminé, car 18 = 9 × 2 : 2√18 = 2 × 3√2 = 6√2.
On retrouve le champ de Mamadou : le côté mesure √50 = 5√2 m, soit environ 5 × 1,414 = 7,07 m.
5. Sommes de racines carrées
On ne peut additionner que des racines semblables, c'est-à-dire avec le même nombre sous le radical, comme on additionne des termes semblables en calcul littéral : 3√2 + 5√2 = 8√2 (comme 3x + 5x = 8x).
Pour réduire une somme, on simplifie d'abord chaque racine.
Exemple
Écrire A = √12 + 3√27 − 2√75 sous la forme a√3.
√12 = √(4 × 3) = 2√3.
√27 = √(9 × 3) = 3√3, donc 3√27 = 9√3.
√75 = √(25 × 3) = 5√3, donc 2√75 = 10√3.
A = 2√3 + 9√3 − 10√3 = (2 + 9 − 10)√3 = √3.
6. Développer avec des racines carrées
On utilise la distributivité et les identités remarquables, sans oublier que (√a)2 = a.
Exemple
Développer et réduire B = (2 + √3)² et C = (√5 − 1)(√5 + 1).
B = 2² + 2 × 2 × √3 + (√3)² = 4 + 4√3 + 3 = 7 + 4√3.
C est de la forme (a − b)(a + b) = a² − b² :
C = (√5)² − 1² = 5 − 1 = 4.
L'exemple de C est très utile : le produit (√a - b)(√a + b) fait disparaître le radical. Les deux expressions √a - b et √a + b sont dites conjuguées.
7. Rendre rationnel un dénominateur
Au BEPC, on demande souvent d'écrire une fraction sans radical au dénominateur.
- Si le dénominateur est √a, on multiplie le numérateur et le dénominateur par √a.
- Si le dénominateur est √a + b (ou √a - b), on multiplie par l'expression conjuguée.
Exemple
Rendre rationnels les dénominateurs de D = 6/√3 et E = 4/(√5 + 1).
D = (6 × √3)/(√3 × √3) = 6√3/3 = 2√3.
E = 4(√5 − 1)/[(√5 + 1)(√5 − 1)] = 4(√5 − 1)/(5 − 1) = 4(√5 − 1)/4 = √5 − 1.
3Je retiens
Je retiens
Pour a ≥ 0, √a est le nombre positif dont le carré est a : √a ≥ 0 et (√a)² = a.
La racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas. √(a²) = a si a ≥ 0.
√(ab) = √a × √b (a, b ≥ 0) et √(a/b) = √a / √b (a ≥ 0, b > 0).
Pas de règle pour la somme : √(a + b) ≠ √a + √b.
Simplifier : faire apparaître le plus grand carré parfait (√50 = √(25 × 2) = 5√2).
On additionne seulement des racines semblables : 3√2 + 5√2 = 8√2.
Dénominateur √a : multiplier haut et bas par √a. Dénominateur √a + b : multiplier par le conjugué √a − b.
4Erreurs fréquentes
- Écrire √9 + √16 = √25. Faux : √9 + √16 = 3 + 4 = 7, alors que √25 = 5. On ne coupe jamais une racine sur une somme.
- Écrire √25 = ±5. Une racine carrée est toujours positive : √25 = 5.
- Additionner des racines différentes : √2 + √3 n'est pas √5. On ne peut pas réduire cette somme.
- S'arrêter trop tôt : √72 = 2√18 n'est pas simplifié au maximum ; il faut aller jusqu'à 6√2.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Calcule sans calculatrice : √81 ; √0,36 ; √2564 ; √2 × √8 ; √75√3 ; (3√2)2.
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√81 = 9 ; √0,36 = 0,6 car 0,62 = 0,36 ; √2564 = 58.
√2 × √8 = √16 = 4 ; √75√3 = √753 = √25 = 5.
(3√2)2 = 32 × (√2)2 = 9 × 2 = 18.
2Exercice 2
Simplifie : √18 ; √48 ; √200 ; √98.
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√18 = √9 × 2 = 3√2 ; √48 = √16 × 3 = 4√3 ;
√200 = √100 × 2 = 10√2 ; √98 = √49 × 2 = 7√2.
3Exercice 3
Écris sous la forme a√2, avec a entier : F = √8 - 3√32 + 2√50.
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√8 = √4 × 2 = 2√2 ; √32 = √16 × 2 = 4√2, donc 3√32 = 12√2 ; √50 = 5√2, donc 2√50 = 10√2.
F = 2√2 - 12√2 + 10√2 = (2 - 12 + 10)√2 = 0. Donc F = 0√2 = 0.
4Exercice 4
Rends rationnel le dénominateur : G = 10√5 ; H = 2√3 - 1.
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G = 10 × √5√5 × √5 = 10√55 = 2√5.
H = 2(√3 + 1)(√3 - 1)(√3 + 1) = 2(√3 + 1)3 - 1 = 2(√3 + 1)2 = √3 + 1.
5Exercice 5
(Type BEPC) On donne x = 3 - √2 et y = 3 + √2.
a) Calcule x + y et x × y.
b) Calcule x2 et écris le résultat sous la forme a + b√2.
c) Montre que 1x + 1y = 67.
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a) x + y = 3 - √2 + 3 + √2 = 6.
x × y = (3 - √2)(3 + √2) = 32 - (√2)2 = 9 - 2 = 7.
b) x2 = (3 - √2)2 = 9 - 2 × 3 × √2 + 2 = 11 - 6√2.
c) 1x + 1y = y + xx × y = 67, d'après la question a).
6Exercice 6
(Problème) Kadiatou veut clôturer un terrain carré de 162 m² à Labé.
a) Donne la valeur exacte du côté, sous la forme a√2.
b) Donne la valeur exacte du périmètre, puis une valeur approchée au mètre près (prends √2 ≈ 1,414).
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a) Le côté c vérifie c2 = 162 et c > 0, donc c = √162 = √81 × 2 = 9√2 m.
b) Périmètre : 4 × 9√2 = 36√2 m. Valeur approchée : 36 × 1,414 = 50,904, soit environ 51 m de clôture.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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