Karamö, le prof virtuelLeçon 4 sur 27
Encadrements et valeurs approchées
Je sais encadrer une somme, une différence, un produit ou un quotient, et donner une valeur approchée par défaut, par excès ou un arrondi.
- 50 min
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Utiliser les règles de l'ordre (addition, multiplication par un nombre positif ou négatif)
- Encadrer une somme, une différence, un produit et un quotient de nombres positifs
- Donner une valeur approchée par défaut, par excès et un arrondi à une précision donnée
- Encadrer une racine carrée en utilisant les carrés
Avant de commencer : Comparer des nombres décimaux et relatifs, les racines carrées (10e-maths-03), les opérations sur les nombres décimaux.
1Je découvre
Sékou veut entourer d'un grillage le petit jardin rectangulaire de sa mère, à Kankan. Il n'a qu'un vieux ruban usé et il ne peut pas lire les longueurs au centimètre près. Il note seulement :
- la longueur est comprise entre 12,4 m et 12,6 m ;
- la largeur est comprise entre 8,2 m et 8,3 m.
Au marché, le grillage se vend au mètre. Sékou ne veut pas en acheter trop, car l'argent est compté, mais il ne veut surtout pas en manquer. Il se demande aussi quelle surface sa mère pourra cultiver.
Il ne connaît pas les dimensions exactes, mais il connaît des encadrements. Peut-il en déduire un encadrement du périmètre et de l'aire ? Et combien de mètres de grillage doit-il acheter pour être sûr d'en avoir assez ?
Comment encadrer le résultat d'un calcul quand on ne connaît que des encadrements des nombres de départ, et comment écrire une valeur approchée correcte ?
2Je comprends
1. Encadrer un nombre
Encadrer un nombre x, c'est trouver deux nombres a et b tels que a < x < b (ou a ≤ x ≤ b). La différence b - a s'appelle l'amplitude de l'encadrement. Plus l'amplitude est petite, plus l'encadrement est précis.
Exemple : 3,14 < π < 3,15 est un encadrement de π d'amplitude 0,01.
2. Les règles de l'ordre
Soient a, b et c trois nombres avec a < b.
| Opération | Règle | Le sens de l'inégalité |
|---|---|---|
| Ajouter ou soustraire c | a + c < b + c | ne change pas |
| Multiplier par c > 0 | ac < bc | ne change pas |
| Multiplier par c < 0 | ac > bc | change |
| Passer à l'inverse (a, b positifs) | 1a > 1b | change |
| Passer au carré (a, b positifs) | a2 < b2 | ne change pas |
Exemple : 2 < 5. En multipliant par -3, on obtient -6 > -15 : le sens change.
3. Encadrer une somme, une différence, un produit, un quotient
On suppose que a < x < b et c < y < d.
- Somme : on additionne membre à membre : a + c < x + y < b + d.
- Différence : on écrit x - y = x + (-y). De c < y < d, on tire -d < -y < -c. Donc a - d < x - y < b - c.
- Produit (tous les nombres positifs) : ac < xy < bd.
- Quotient (tous les nombres positifs) : 1d < 1y < 1c, donc ad < xy < bc.
On ne soustrait jamais et on ne divise jamais membre à membre : c'est l'erreur la plus fréquente.
Méthode
Pour encadrer une expression à partir d'encadrements :
- J'écris les encadrements donnés, l'un sous l'autre.
- Pour une différence, j'encadre d'abord l'opposé (−y), en inversant les bornes et le sens.
- Pour un quotient, j'encadre d'abord l'inverse (1/y), en inversant les bornes et le sens.
- J'additionne (ou je multiplie, si tout est positif) membre à membre.
- J'écris l'encadrement final et, si on me le demande, son amplitude.
Exemple
On sait que 1,41 < √2 < 1,42 et 1,73 < √3 < 1,74. Encadrer √2 + √3, √3 − √2 et √2 × √3.
Somme : 1,41 + 1,73 < √2 + √3 < 1,42 + 1,74, soit 3,14 < √2 + √3 < 3,16.
Différence : de 1,41 < √2 < 1,42, on tire −1,42 < −√2 < −1,41.
On additionne avec 1,73 < √3 < 1,74 :
1,73 − 1,42 < √3 − √2 < 1,74 − 1,41, soit 0,31 < √3 − √2 < 0,33.
Produit (tout est positif) : 1,41 × 1,73 < √2 × √3 < 1,42 × 1,74,
soit 2,4393 < √6 < 2,4708.
Exemple
Retour au jardin de Sékou : 12,4 < L < 12,6 et 8,2 < l < 8,3.
Périmètre P = 2(L + l).
12,4 + 8,2 < L + l < 12,6 + 8,3, soit 20,6 < L + l < 20,9.
En multipliant par 2 (positif) : 41,2 < P < 41,8.
Pour être sûr d'avoir assez de grillage, Sékou achète 42 m.
Aire A = L × l (tout est positif) :
12,4 × 8,2 < A < 12,6 × 8,3, soit 101,68 < A < 104,58 (en m²).
4. Valeurs approchées
Prenons π = 3,14159… On a l'encadrement 3,14 < π < 3,15, d'amplitude 0,01.
- 3,14 est la valeur approchée par défaut de π à 0,01 près (elle est plus petite).
- 3,15 est la valeur approchée par excès de π à 0,01 près (elle est plus grande).
- L'arrondi à 0,01 près est celle des deux qui est la plus proche : on regarde le chiffre suivant. Ici, le chiffre des millièmes est 1 (moins de 5), donc l'arrondi est 3,14.
La troncature consiste à « couper » l'écriture décimale : la troncature de π au centième est 3,14. Pour un nombre positif, la troncature est la valeur approchée par défaut.
| Précision | Par défaut | Par excès | Arrondi |
|---|---|---|---|
| à l'unité | 3 | 4 | 3 |
| à 0,1 près | 3,1 | 3,2 | 3,1 |
| à 0,01 près | 3,14 | 3,15 | 3,14 |
| à 0,001 près | 3,141 | 3,142 | 3,142 |
Règle de l'arrondi : si le chiffre suivant est 0, 1, 2, 3 ou 4, on garde la valeur par défaut ; s'il est 5, 6, 7, 8 ou 9, on prend la valeur par excès.
5. Encadrer une racine carrée sans calculatrice
Pour des nombres positifs, a < b équivaut à a2 < b2. On peut donc encadrer √a en comparant des carrés.
Exemple
Encadrer √5 à 0,01 près.
2² = 4 < 5 < 9 = 3², donc 2 < √5 < 3.
2,2² = 4,84 et 2,3² = 5,29 : 4,84 < 5 < 5,29, donc 2,2 < √5 < 2,3.
2,23² = 4,9729 et 2,24² = 5,0176 : 4,9729 < 5 < 5,0176, donc 2,23 < √5 < 2,24.
Valeur approchée par défaut : 2,23 ; par excès : 2,24.
Pour l'arrondi, on compare 5 à 2,235² = 4,995225 : comme 5 > 4,995225, √5 > 2,235, et l'arrondi à 0,01 est 2,24.
3Je retiens
Je retiens
Encadrer x : écrire a < x < b ; l'amplitude est b − a.
Ajouter un nombre, multiplier par un positif : le sens ne change pas. Multiplier par un négatif, passer à l'inverse : le sens change.
Si a < x < b et c < y < d : a + c < x + y < b + d et a − d < x − y < b − c.
Nombres positifs : ac < xy < bd et a/d < x/y < b/c.
On ne soustrait jamais et on ne divise jamais membre à membre.
Si a < x < b avec b − a = 10⁻ⁿ : a est la valeur approchée par défaut, b par excès, l'arrondi est la plus proche des deux.
Pour des positifs, a < b équivaut à a² < b² : on encadre √n avec des carrés.
4Erreurs fréquentes
- Soustraire membre à membre : de 1,41 < √2 < 1,42 et 1,73 < √3 < 1,74, écrire 0,32 < √3 − √2 < 0,32 est faux. Il faut passer par −√2 et croiser les bornes : 0,31 < √3 − √2 < 0,33.
- Oublier de changer le sens en multipliant par un nombre négatif : de 2 < x < 3, on tire −6 < −2x < −4, et non −4 < −2x < −6.
- Confondre troncature et arrondi : l'arrondi de 2,678 au centième est 2,68, alors que sa troncature est 2,67.
- Multiplier des encadrements qui contiennent des nombres négatifs : la règle du produit n'est valable que pour des nombres positifs.
5Je m’exerce
1Exercice 1
On sait que 1,5 < x < 1,6. Encadre 2x + 3, puis -3x + 1.
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1,5 < x < 1,6. On multiplie par 2 (positif) : 3 < 2x < 3,2. On ajoute 3 : 6 < 2x + 3 < 6,2.
On multiplie par -3 (négatif), le sens change : -4,8 < -3x < -4,5. On ajoute 1 : -3,8 < -3x + 1 < -3,5.
2Exercice 2
On donne 227 = 3,142857… Donne ses valeurs approchées par défaut et par excès, puis son arrondi, à 0,01 près et à 0,001 près.
Voir le corrigéCacher le corrigé
À 0,01 près : 3,14 < 227 < 3,15 ; par défaut 3,14, par excès 3,15 ; le chiffre suivant est 2, donc l'arrondi est 3,14.
À 0,001 près : 3,142 < 227 < 3,143 ; par défaut 3,142, par excès 3,143 ; le chiffre suivant est 8, donc l'arrondi est 3,143.
3Exercice 3
Sans calculatrice, en utilisant des carrés, encadre √7 à 0,1 près, puis à 0,01 près.
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2,62 = 6,76 et 2,72 = 7,29. Comme 6,76 < 7 < 7,29, on a 2,6 < √7 < 2,7.
2,642 = 6,9696 et 2,652 = 7,0225. Comme 6,9696 < 7 < 7,0225, on a 2,64 < √7 < 2,65.
4Exercice 4
(Type BEPC) On donne 2,23 < √5 < 2,24.
a) Encadre 1 + √5, puis 1 + √52.
b) Encadre 3√5 - 2.
c) Encadre 1√5 à 0,001 près (arrondis les bornes vers l'extérieur).
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) On ajoute 1 : 3,23 < 1 + √5 < 3,24. On divise par 2 (positif) : 1,615 < 1 + √52 < 1,62.
b) On multiplie par 3 : 6,69 < 3√5 < 6,72. On retranche 2 : 4,69 < 3√5 - 2 < 4,72.
c) Tous les nombres sont positifs, le passage à l'inverse change le sens : 12,24 < 1√5 < 12,23.
Or 12,24 = 0,4464… et 12,23 = 0,4484… En arrondissant vers l'extérieur : 0,446 < 1√5 < 0,449.
5Exercice 5
(Problème) Hawa veut clôturer un champ d'arachides rectangulaire près de Siguiri. La longueur L et la largeur ell, en mètres, vérifient 25,3 < L < 25,5 et 14,1 < ell < 14,3.
a) Encadre le périmètre du champ. Combien de mètres entiers de grillage doit-elle acheter au minimum pour être sûre d'en avoir assez ?
b) Encadre l'aire du champ et donne l'amplitude de cet encadrement.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 25,3 + 14,1 < L + ell < 25,5 + 14,3, soit 39,4 < L + ell < 39,8. En multipliant par 2 : 78,8 < P < 79,6. Le périmètre peut atteindre presque 79,6 m : Hawa doit acheter au minimum 80 m de grillage.
b) Tout est positif : 25,3 × 14,1 < A < 25,5 × 14,3, soit 356,73 < A < 364,65 (en m²).
Amplitude : 364,65 - 356,73 = 7,92 m².
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6Je vérifie
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