Karamö, le prof virtuelLeçon 6 sur 27
La réciproque de la propriété de Thalès
Je sais démontrer que deux droites sont parallèles, ou qu'elles ne le sont pas, en comparant deux rapports de longueurs.
- 50 min
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Énoncer la réciproque de la propriété de Thalès et ses conditions (alignement et ordre des points)
- Comparer deux rapports par les produits en croix
- Démontrer que deux droites sont parallèles ou ne le sont pas
- Choisir entre la propriété de Thalès et sa réciproque selon la question posée
Avant de commencer : La propriété de Thalès (10e-maths-05), les fractions égales et les produits en croix.
1Je découvre
Alpha est charpentier à Mamou. Il fabrique la charpente d'une case : deux chevrons [AB] et [AC] partent du sommet A du toit et reposent sur le mur, aux points B et C, qui sont à la même hauteur. Pour renforcer la charpente, il cloue une traverse [MN] entre les deux chevrons.
Le chevron [AB] mesure 3 m et Alpha a cloué la traverse à 1,2 m du sommet (AM = 1,2 m). Le chevron [AC] mesure 3,5 m et la traverse y est clouée à 1,4 m du sommet (AN = 1,4 m).
Son apprenti Ousmane s'inquiète : « La traverse n'est pas clouée à la même distance du sommet des deux côtés. Elle est sûrement penchée ! » Alpha sourit et sort son carnet pour calculer.
La propriété de Thalès permet de calculer des longueurs quand on sait que deux droites sont parallèles. Ici, c'est l'inverse : on connaît les longueurs et on veut savoir si la traverse est parallèle au mur (BC).
Comment démontrer que deux droites sont parallèles à partir de mesures de longueurs ?
2Je comprends
1. Propriété directe et réciproque
La propriété de Thalès (leçon précédente) dit :
- si (MN) ∥ (BC), alors AMAB = ANAC.
La réciproque échange la condition et la conclusion :
- si AMAB = ANAC (avec une condition sur la position des points), alors (MN) ∥ (BC).
2. L'énoncé de la réciproque
Réciproque de la propriété de Thalès. Soient (d) et (d') deux droites sécantes en A. Soient M et B deux points de (d), N et C deux points de (d'), distincts de A. Si :
- les points A, M, B et les points A, N, C sont alignés dans le même ordre,
- et AMAB = ANAC,
alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
« Dans le même ordre » veut dire : si M est entre A et B, alors N doit être entre A et C ; si A est entre M et B (papillon), alors A doit être entre N et C.
3. Pourquoi l'ordre des points compte
Sur la figure ci-dessous, AMAB = 12 et APAC = 12. Pourtant (MP) n'est pas parallèle à (BC) : M est du même côté de A que B, alors que P est de l'autre côté de A par rapport à C. Les points ne sont pas dans le même ordre. En revanche, avec le point N, l'ordre est respecté et (MN) ∥ (BC).
4. Comparer deux rapports
Pour savoir si ab = cd, on peut :
- calculer les deux quotients s'ils tombent « juste » ;
- ou, plus sûr, comparer les produits en croix : ab = cd si et seulement si a × d = b × c.
On évite de comparer des valeurs arrondies : deux arrondis égaux ne prouvent pas que deux nombres sont égaux.
5. Démontrer que deux droites ne sont pas parallèles
Si les points sont dans le même ordre mais que AMAB ≠ ANAC, alors les droites (MN) et (BC) ne sont pas parallèles. En effet, si elles l'étaient, la propriété de Thalès donnerait des rapports égaux. On utilise ici la propriété directe (par l'absurde, ou « contraposée »).
Méthode
Pour étudier le parallélisme de (MN) et (BC) :
- Je vérifie que A, M, B d'une part et A, N, C d'autre part sont alignés dans le même ordre.
- Je calcule séparément AM/AB et AN/AC (ou je compare les produits en croix).
- Si les rapports sont égaux : « D'après la réciproque de la propriété de Thalès, (MN) // (BC). »
- S'ils sont différents : « Si (MN) et (BC) étaient parallèles, la propriété de Thalès donnerait des rapports égaux. Ce n'est pas le cas : (MN) et (BC) ne sont pas parallèles. »
Exemple
La traverse d'Alpha : AM = 1,2 m, AB = 3 m, AN = 1,4 m, AC = 3,5 m.
M est sur [AB] et N est sur [AC] : les points A, M, B et A, N, C sont alignés dans le même ordre.
AM/AB = 1,2/3 = 0,4.
AN/AC = 1,4/3,5 = 0,4.
Les rapports sont égaux. D'après la réciproque de la propriété de Thalès, (MN) // (BC).
La traverse est bien parallèle au mur : Ousmane peut être rassuré.
Exemple
Les droites (AC) et (BD) se coupent en O ; O est entre A et C, et entre B et D.
OA = 3 cm, OC = 4,5 cm, OB = 4 cm, OD = 6,3 cm. Les droites (AB) et (CD) sont-elles parallèles ?
Les points A, O, C et B, O, D sont alignés dans le même ordre (configuration papillon).
On compare OA/OC et OB/OD par les produits en croix :
OA × OD = 3 × 6,3 = 18,9 et OC × OB = 4,5 × 4 = 18.
18,9 ≠ 18, donc OA/OC ≠ OB/OD.
Si (AB) et (CD) étaient parallèles, la propriété de Thalès donnerait des rapports égaux. Ce n'est pas le cas : (AB) et (CD) ne sont pas parallèles.
6. Thalès ou réciproque : laquelle utiliser ?
| On sait… | On cherche… | On utilise… |
|---|---|---|
| que deux droites sont parallèles | une longueur | la propriété de Thalès |
| des longueurs | si deux droites sont parallèles | la réciproque |
| des longueurs, avec des rapports différents | à prouver que deux droites ne sont pas parallèles | la propriété directe (contraposée) |
3Je retiens
Je retiens
Réciproque de Thalès : si A, M, B et A, N, C sont alignés dans le même ordre et si AM/AB = AN/AC, alors (MN) // (BC).
L'ordre des points est une condition indispensable.
On compare les rapports par un calcul exact ou par les produits en croix : a/b = c/d ⟺ a × d = b × c.
Si les rapports sont différents, les droites ne sont pas parallèles (propriété directe de Thalès).
Thalès sert à calculer une longueur ; la réciproque sert à démontrer un parallélisme.
4Erreurs fréquentes
- Oublier de vérifier l'ordre des points : des rapports égaux ne suffisent pas si les points ne sont pas dans le même ordre.
- Utiliser la propriété de Thalès pour démontrer le parallélisme : c'est la réciproque qu'il faut citer.
- Comparer des valeurs arrondies : 0,667 et 0,667 peuvent venir de deux fractions différentes. On compare des fractions exactes ou des produits en croix.
- Comparer des rapports qui ne se correspondent pas, comme AM/AB et AC/AN : on garde le même « sens » (petit sur grand) dans les deux rapports.
5Je m’exerce
1Exercice 1
M est un point de [AB] et N un point de [AC] tels que AM = 3 cm, AB = 5 cm, AN = 4,2 cm et AC = 7 cm. Les droites (MN) et (BC) sont-elles parallèles ?
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Les points A, M, B et A, N, C sont alignés dans le même ordre.
AMAB = 35 = 0,6 et ANAC = 4,27 = 0,6.
Les rapports sont égaux ; d'après la réciproque de la propriété de Thalès, (MN) ∥ (BC).
2Exercice 2
E est un point de [RS] et F un point de [RT] tels que RE = 4 cm, RS = 10 cm, RF = 5 cm et RT = 12 cm. Les droites (EF) et (ST) sont-elles parallèles ?
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Les points R, E, S et R, F, T sont alignés dans le même ordre.
Produits en croix : RE × RT = 4 × 12 = 48 et RS × RF = 10 × 5 = 50. Comme 48 ≠ 50, RERS ≠ RFRT.
Si (EF) et (ST) étaient parallèles, la propriété de Thalès donnerait des rapports égaux. Donc (EF) et (ST) ne sont pas parallèles.
3Exercice 3
Les droites (AC) et (BD) se coupent en O, avec O entre A et C et entre B et D. On donne OA = 2,5 cm, OC = 4 cm, OB = 3 cm et OD = 4,8 cm.
a) Démontre que (AB) ∥ (CD).
b) On donne CD = 5,6 cm. Calcule AB.
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a) Les points A, O, C et B, O, D sont alignés dans le même ordre. OAOC = 2,54 = 0,625 et OBOD = 34,8 = 0,625. Les rapports sont égaux ; d'après la réciproque de la propriété de Thalès, (AB) ∥ (CD).
b) Maintenant que l'on sait que (AB) ∥ (CD), la propriété de Thalès donne ABCD = OAOC = 0,625. Donc AB = 0,625 × 5,6 = 3,5 cm.
4Exercice 4
(Type BEPC) ABC est un triangle tel que AB = 8 cm, AC = 6 cm et BC = 10 cm. M est le point de [AB] tel que AM = 2 cm et N le point de [AC] tel que AN = 1,5 cm.
a) Démontre que le triangle ABC est rectangle en A.
b) Démontre que (MN) ∥ (BC).
c) Calcule MN.
d) Calcule l'aire du triangle AMN.
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a) Le plus grand côté est [BC]. BC2 = 102 = 100 et AB2 + AC2 = 64 + 36 = 100. Comme BC2 = AB2 + AC2, d'après la réciproque de la propriété de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.
b) Les points A, M, B et A, N, C sont alignés dans le même ordre. AMAB = 28 = 0,25 et ANAC = 1,56 = 0,25. D'après la réciproque de la propriété de Thalès, (MN) ∥ (BC).
c) D'après la propriété de Thalès : MNBC = AMAB = 0,25, donc MN = 0,25 × 10 = 2,5 cm.
d) Le triangle AMN est rectangle en A (les droites (AM) et (AN) sont (AB) et (AC), perpendiculaires). Son aire est AM × AN2 = 2 × 1,52 = 1,5 cm².
5Exercice 5
(Problème) Un menuisier de Kindia fabrique un escabeau en forme de A. Les deux montants [AB] et [AC] mesurent chacun 2,5 m. Une barre de sécurité est fixée en M sur [AB] et en N sur [AC], avec AM = AN = 1,5 m. L'escabeau ouvert pose ses pieds B et C sur un sol horizontal, avec BC = 1,6 m.
a) Démontre que la barre [MN] est parallèle au sol.
b) Calcule la longueur de la barre.
c) Par erreur, un apprenti fixe N à 1,4 m de A. La barre est-elle encore parallèle au sol ?
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a) M est sur [AB] et N sur [AC] : les points sont alignés dans le même ordre. AMAB = 1,52,5 = 0,6 et ANAC = 1,52,5 = 0,6. D'après la réciproque de la propriété de Thalès, (MN) ∥ (BC) : la barre est parallèle au sol.
b) D'après la propriété de Thalès : MN = 0,6 × BC = 0,6 × 1,6 = 0,96 m.
c) ANAC = 1,42,5 = 0,56 et 0,56 ≠ 0,6. Si la barre était parallèle au sol, la propriété de Thalès donnerait des rapports égaux. La barre n'est donc plus parallèle au sol.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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