Karamö, le prof virtuelLeçon 7 sur 27
Les relations métriques dans le triangle rectangle
Je sais utiliser les relations entre les côtés, la hauteur et les projections dans un triangle rectangle pour calculer des longueurs.
- 55 min
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Connaître la hauteur relative à l'hypoténuse et les projections orthogonales des côtés
- Connaître et démontrer les relations AB² = BH × BC, AC² = CH × CB, AH² = HB × HC et AB × AC = BC × AH
- Choisir la bonne relation pour calculer une longueur inconnue
- Résoudre un problème concret avec ces relations
Avant de commencer : La propriété de Pythagore et sa réciproque (9e année), les racines carrées (10e-maths-03), l'aire d'un triangle.
1Je découvre
Dans la cour de sa maison à Boké, la famille d'Aïssatou construit un hangar pour sécher les récoltes. Le mur du fond mesure 10 m de long. Le toit, vu de face, forme un triangle : deux poutres partent des extrémités B et C du mur et se rejoignent au faîte A. Le charpentier a choisi des poutres de 6 m et de 8 m, qui se rejoignent à angle droit.
Pour que le toit ne s'affaisse pas, il faut planter un poteau vertical qui va du faîte A jusqu'au sol, au point H situé sur le mur [BC]. Aïssatou se demande : quelle doit être la longueur du poteau, et à quelle distance de B faut-il le planter ?
La propriété de Pythagore relie les trois côtés du triangle. Mais ici, on cherche la hauteur AH et les morceaux BH et HC du côté [BC].
Quelles relations lient les côtés d'un triangle rectangle, sa hauteur et les segments qu'elle découpe sur l'hypoténuse ?
2Je comprends
1. Le vocabulaire
Soit ABC un triangle rectangle en A. Son hypoténuse est [BC]. On note H le pied de la hauteur issue de A : c'est le point de [BC] tel que (AH) ⊥ (BC).
- [AH] est la hauteur relative à l'hypoténuse.
- H partage l'hypoténuse en deux segments [BH] et [HC].
- [BH] est la projection orthogonale du côté [AB] sur l'hypoténuse ; [CH] est la projection orthogonale du côté [AC].
La hauteur [AH] découpe le grand triangle ABC en deux petits triangles, ABH et ACH, tous les deux rectangles en H.
2. Les quatre relations métriques
Dans le triangle ABC rectangle en A, de hauteur [AH] :
| Relation | Ce qu'elle dit en mots |
|---|---|
| BC2 = AB2 + AC2 | Pythagore : le carré de l'hypoténuse est la somme des carrés des deux autres côtés. |
| AB2 = BH × BC et AC2 = CH × CB | Le carré d'un côté de l'angle droit est égal au produit de sa projection par l'hypoténuse. |
| AH2 = HB × HC | Le carré de la hauteur est égal au produit des deux segments qu'elle détermine sur l'hypoténuse. |
| AB × AC = BC × AH | Le produit des côtés de l'angle droit est égal au produit de l'hypoténuse par la hauteur. |
3. Pourquoi ces relations sont vraies
Relation AB × AC = BC × AH. On calcule l'aire du triangle ABC de deux façons :
- avec la base [AC] et la hauteur [AB] (le triangle est rectangle en A) : aire = AB × AC2 ;
- avec la base [BC] et la hauteur [AH] : aire = BC × AH2.
Ces deux aires sont égales, donc AB × AC = BC × AH.
Relation AH2 = HB × HC. On applique Pythagore trois fois :
- dans ABH rectangle en H : AB2 = AH2 + BH2 ;
- dans ACH rectangle en H : AC2 = AH2 + CH2 ;
- dans ABC rectangle en A : BC2 = AB2 + AC2.
Comme H est sur [BC], BC = BH + HC, donc BC2 = BH2 + 2 BH × HC + HC2.
En remplaçant : BH2 + 2 BH × HC + HC2 = 2 AH2 + BH2 + CH2. Après simplification : 2 BH × HC = 2 AH2, soit AH2 = HB × HC.
Relation AB2 = BH × BC. On part de AB2 = AH2 + BH2 et on remplace AH2 par BH × HC :
AB2 = BH × HC + BH2 = BH × (HC + BH) = BH × BC.
De la même façon, AC2 = CH × CB.
Méthode
Pour calculer une longueur dans un triangle rectangle avec sa hauteur :
- Je fais une figure à main levée et je code l'angle droit et la hauteur.
- J'écris les longueurs connues et je repère la longueur cherchée.
- Je choisis la relation qui contient la longueur cherchée et uniquement des longueurs connues.
- Je cite la relation (« Dans le triangle ABC rectangle en A, de hauteur [AH] : … »), je remplace et je calcule.
- Je vérifie avec une autre relation si j'ai le temps.
Exemple
Le hangar d'Aïssatou : ABC rectangle en A, AB = 6 m, AC = 8 m. Calculer BC, AH, BH et HC.
Pythagore : BC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100, donc BC = 10 m.
AB × AC = BC × AH donne AH = (6 × 8)/10 = 48/10 = 4,8 m.
AB² = BH × BC donne BH = 36/10 = 3,6 m.
HC = BC − BH = 10 − 3,6 = 6,4 m.
Vérification : AH² = 4,8² = 23,04 et BH × HC = 3,6 × 6,4 = 23,04. C'est juste.
Le poteau mesure 4,8 m et se plante à 3,6 m de B.
Exemple
ABC est rectangle en A, de hauteur [AH], avec BH = 4 cm et HC = 9 cm. Calculer AH, BC, AB et AC.
AH² = HB × HC = 4 × 9 = 36, donc AH = 6 cm.
BC = BH + HC = 13 cm.
AB² = BH × BC = 4 × 13 = 52, donc AB = √52 = √(4 × 13) = 2√13 cm.
AC² = CH × CB = 9 × 13 = 117, donc AC = √117 = √(9 × 13) = 3√13 cm.
Vérification : AB × AC = 2√13 × 3√13 = 6 × 13 = 78 et BC × AH = 13 × 6 = 78.
4. Une réciproque utile
Si H est le pied de la hauteur issue de A dans un triangle ABC, avec H entre B et C, et si AH2 = HB × HC, alors le triangle ABC est rectangle en A. On peut la démontrer avec Pythagore dans les triangles ABH et ACH : AB2 + AC2 = 2 AH2 + BH2 + HC2 = (BH + HC)2 = BC2.
3Je retiens
Je retiens
ABC rectangle en A, H pied de la hauteur issue de A (H ∈ [BC]).
Pythagore : BC² = AB² + AC².
AB² = BH × BC et AC² = CH × CB (côté² = projection × hypoténuse).
AH² = HB × HC (hauteur² = produit des deux segments de l'hypoténuse).
AB × AC = BC × AH (vient du calcul de l'aire de deux façons).
BC = BH + HC.
4Erreurs fréquentes
- Utiliser ces relations dans un triangle qui n'est pas rectangle : elles ne sont vraies que si l'angle en A est droit. Justifie-le d'abord.
- Confondre les projections : la projection de [AB] est [BH] (côté de B), pas [HC]. Donc AB² = BH × BC et non HC × BC.
- Oublier la racine carrée : AH² = 36 donne AH = 6, et non AH = 36.
- Écrire AH = BH × HC au lieu de AH² = BH × HC.
5Je m’exerce
1Exercice 1
ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 5 cm et AC = 12 cm. H est le pied de la hauteur issue de A. Calcule BC, puis AH, BH et CH sous forme de fractions.
Voir le corrigéCacher le corrigé
Pythagore : BC2 = 25 + 144 = 169, donc BC = 13 cm.
AB × AC = BC × AH donne AH = 5 × 1213 = 6013 cm.
AB2 = BH × BC donne BH = 2513 cm.
AC2 = CH × CB donne CH = 14413 cm. Vérification : 2513 + 14413 = 16913 = 13.
2Exercice 2
ABC est rectangle en A, de hauteur [AH], avec BH = 2 cm et BC = 8 cm. Calcule AB, CH, AH et AC (valeurs exactes).
Voir le corrigéCacher le corrigé
AB2 = BH × BC = 2 × 8 = 16, donc AB = 4 cm.
CH = BC - BH = 8 - 2 = 6 cm.
AH2 = HB × HC = 2 × 6 = 12, donc AH = √12 = 2√3 cm.
AC2 = CH × CB = 6 × 8 = 48, donc AC = √48 = 4√3 cm.
Vérification : AB2 + AC2 = 16 + 48 = 64 = BC2.
3Exercice 3
ABC est rectangle en A, de hauteur [AH], avec AH = 6 cm et BH = 3 cm. Calcule CH, BC, puis AB et AC sous forme simplifiée.
Voir le corrigéCacher le corrigé
AH2 = HB × HC donne 36 = 3 × HC, donc CH = 12 cm.
BC = BH + HC = 3 + 12 = 15 cm.
AB2 = BH × BC = 3 × 15 = 45, donc AB = √45 = 3√5 cm.
AC2 = CH × CB = 12 × 15 = 180, donc AC = √180 = √36 × 5 = 6√5 cm.
4Exercice 4
(Type BEPC) ABC est un triangle tel que AB = 9 cm, AC = 12 cm et BC = 15 cm. H est le pied de la hauteur issue de A.
a) Démontre que ABC est rectangle en A.
b) Calcule AH.
c) Calcule BH et CH.
d) Vérifie que AH2 = BH × CH.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Le plus grand côté est [BC] : BC2 = 225 et AB2 + AC2 = 81 + 144 = 225. D'après la réciproque de la propriété de Pythagore, ABC est rectangle en A.
b) AB × AC = BC × AH, donc AH = 9 × 1215 = 10815 = 7,2 cm.
c) BH = AB2BC = 8115 = 5,4 cm et CH = AC2BC = 14415 = 9,6 cm. Vérification : 5,4 + 9,6 = 15.
d) AH2 = 7,22 = 51,84 et BH × CH = 5,4 × 9,6 = 51,84. L'égalité est vérifiée.
5Exercice 5
(Problème) Le champ de Mamadou, près de Kissidougou, a la forme d'un triangle ABC rectangle en A. Le côté [BC] longe la route. Un puits se trouve au coin A. Pour amener l'eau au bord de la route par le chemin le plus court, on pose un tuyau de A jusqu'au point H de [BC] tel que (AH) ⊥ (BC). On mesure BH = 16 m et HC = 25 m.
a) Calcule la longueur du tuyau AH.
b) Calcule les valeurs exactes de AB et AC, puis des valeurs approchées au centimètre (prends √41 ≈ 6,403).
c) Calcule l'aire du champ.
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a) Le triangle ABC est rectangle en A et [AH] est sa hauteur : AH2 = HB × HC = 16 × 25 = 400, donc AH = 20 m.
b) BC = 16 + 25 = 41 m.
AB2 = BH × BC = 16 × 41, donc AB = 4√41 m ≈ 4 × 6,403 = 25,61 m.
AC2 = CH × CB = 25 × 41, donc AC = 5√41 m ≈ 5 × 6,403 = 32,02 m (32,015 arrondi au centimètre).
c) Aire = BC × AH2 = 41 × 202 = 410 m².
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6Je vérifie
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