Karamö, le prof virtuelLeçon 13 sur 27
Les vecteurs
Je sais reconnaître des vecteurs égaux, additionner des vecteurs avec la relation de Chasles, multiplier un vecteur par un réel et utiliser la colinéarité.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Caractériser un vecteur par sa direction, son sens et sa longueur
- Relier l'égalité de deux vecteurs au parallélogramme et au milieu d'un segment
- Additionner des vecteurs (relation de Chasles, règle du parallélogramme) et simplifier une somme
- Multiplier un vecteur par un réel et utiliser la colinéarité pour prouver un alignement ou un parallélisme
Avant de commencer : Le parallélogramme et ses propriétés, les droites parallèles, la translation vue en 9e année.
1Je découvre
À Kouroussa, Lansana est piroguier sur le fleuve Niger. Chaque matin, il transporte des passagers d'une rive à l'autre. Il pagaie tout droit vers la rive d'en face, perpendiculairement au fleuve. Pourtant, il n'arrive jamais juste en face de son point de départ : le courant pousse la pirogue vers l'aval.
Deux déplacements se combinent :
- celui que donne la pagaie, vers la rive opposée ;
- celui que donne le courant, dans le sens du fleuve.
Pour décrire chacun d'eux, il ne suffit pas de donner une longueur (combien de mètres ?). Il faut aussi une direction (selon quelle droite ?) et un sens (vers l'amont ou vers l'aval ?). C'est exactement ce qu'on appelle un vecteur.
Qu'est-ce qu'un vecteur, comment additionne-t-on deux déplacements, et à quoi servent les vecteurs en géométrie ?
2Je comprends
1. Définition d'un vecteur
Soient A et B deux points distincts. Le vecteur AB est défini par :
- sa direction : celle de la droite (AB) ;
- son sens : de A vers B ;
- sa longueur (ou norme) : la distance AB, notée aussi ‖AB‖.
A est l'origine et B l'extrémité du vecteur. On le dessine par une flèche de A vers B. On note souvent un vecteur par une seule lettre : u.
Le vecteur AA est le vecteur nul, noté 0. Le vecteur BA a la même direction et la même longueur que AB, mais le sens contraire : c'est l'opposé de AB, et on écrit BA = -AB.
2. Vecteurs égaux et parallélogramme
Deux vecteurs sont égaux s'ils ont la même direction, le même sens et la même longueur.
Propriété. AB = CD si et seulement si ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati, si les quatre points sont alignés).
Attention à l'ordre des lettres : AB = CD donne le parallélogramme A B D C, et non ABCD.
Milieu. I est le milieu de [AB] si et seulement si AI = IB.
3. Addition de vecteurs
Relation de Chasles. Pour tous points A, B, C : AB + BC = AC.
Faire le déplacement de A à B, puis celui de B à C, revient à faire directement le déplacement de A à C. L'extrémité du premier vecteur est l'origine du second.
Règle du parallélogramme. Si deux vecteurs ont la même origine A : AB + AC = AD, où D est le point tel que ABDC soit un parallélogramme.
La différence de deux vecteurs est l'addition de l'opposé : u - v = u + (-v). Par exemple : AB - AC = AB + CA = CA + AB = CB.
Exemple
Simplifier u = AB + BC + CD et v = AB − AC + BC (en vecteurs).
u = (AB + BC) + CD = AC + CD = AD.
v = AB + CA + BC. On réordonne pour enchaîner les lettres : v = CA + AB + BC = CB + BC = CC = 0 (vecteur nul).
4. Produit d'un vecteur par un réel
Soient u un vecteur non nul et k un réel non nul. Le vecteur ku a :
- la même direction que u ;
- le même sens que u si k > 0, le sens contraire si k < 0 ;
- une longueur égale à la longueur de u multipliée par la distance à zéro de k.
Par exemple, 2u est deux fois plus long que u, dans le même sens ; -12u est deux fois plus court, en sens contraire. On a aussi 0 × u = 0.
Si I est le milieu de [AB] : AB = 2AI.
5. Vecteurs colinéaires
Deux vecteurs u et v sont colinéaires s'il existe un réel k tel que v = ku (ou si l'un d'eux est nul). Ils ont alors la même direction.
Deux applications très utilisées :
- Parallélisme : (AB) ∥ (CD) si et seulement si AB et CD sont colinéaires.
- Alignement : A, B, C sont alignés si et seulement si AB et AC sont colinéaires.
Méthode
Pour démontrer un alignement ou un parallélisme avec les vecteurs :
- J'écris les deux vecteurs utiles (AB et AC pour un alignement ; AB et CD pour un parallélisme).
- J'exprime chacun, grâce à la relation de Chasles, en fonction des mêmes vecteurs de départ.
- Je cherche un réel k tel que l'un soit égal à k fois l'autre.
- Je conclus : les vecteurs sont colinéaires, donc les points sont alignés (ou les droites sont parallèles).
Exemple
ABC est un triangle. On place les points M et N tels que AM = 3 AB et AN = 3 AC (en vecteurs). Montrer que (MN) et (BC) sont parallèles.
Chasles : MN = MA + AN = −3 AB + 3 AC = 3(AC − AB) = 3(AC + BA) = 3(BA + AC) = 3 BC.
Donc MN = 3 BC : les vecteurs MN et BC sont colinéaires, et (MN) // (BC).
On retrouve la propriété de Thalès, avec MN = 3 × BC.
3Je retiens
Je retiens
Un vecteur AB a une direction (la droite (AB)), un sens (de A vers B) et une longueur (AB).
AB = CD (vecteurs) ⟺ ABDC est un parallélogramme. I milieu de [AB] ⟺ AI = IB.
BA = −AB ; AA = 0 (vecteur nul).
Chasles : AB + BC = AC. Parallélogramme : AB + AC = AD si ABDC est un parallélogramme.
ku a la direction de u, le même sens si k > 0, le sens contraire si k < 0.
u et v colinéaires ⟺ v = ku. Alignement : AB et AC colinéaires. Parallélisme : AB et CD colinéaires.
4Erreurs fréquentes
- Se tromper d'ordre dans le parallélogramme : AB = CD (vecteurs) donne ABDC, et non ABCD.
- Appliquer Chasles sans enchaîner les lettres : AB + CD n'est pas égal à AD en général. Il faut que l'extrémité du premier soit l'origine du second.
- Confondre vecteur et longueur : AB = CD en longueur ne veut pas dire que les vecteurs sont égaux (le sens ou la direction peuvent différer).
- Oublier que −AB = BA : dans une différence, on retourne le vecteur au lieu de soustraire des longueurs.
5Je m’exerce
1Exercice 1
ABCD est un parallélogramme de centre O. Complète avec un vecteur égal : AB = … ; AD = … ; AO = … ; DO = … ; -CD = …
Voir le corrigéCacher le corrigé
Dans le parallélogramme ABCD : AB = DC ; AD = BC ; les diagonales se coupent en leur milieu O, donc AO = OC et DO = OB ; -CD = DC = AB.
2Exercice 2
Simplifie à l'aide de la relation de Chasles :
a) AB + BC + CD
b) MN - MP
c) AB - AC + BC - BA
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) AB + BC + CD = AC + CD = AD.
b) MN - MP = MN + PM = PM + MN = PN.
c) AB - AC = CB ; puis CB + BC = CC = 0 ; enfin -BA = AB. Le résultat est AB.
3Exercice 3
u est un vecteur non nul. On place trois points A, B, C tels que AB = 2u et AC = -3u.
a) Exprime AC en fonction de AB.
b) Déduis-en que A, B, C sont alignés. Le point A est-il entre B et C ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) u = 12AB, donc AC = -3 × 12AB = -32AB.
b) AC et AB sont colinéaires, donc A, B, C sont alignés. Le coefficient -32 est négatif : AB et AC sont de sens contraires, donc A est entre B et C.
4Exercice 4
(Type BEPC) ABC est un triangle et I est le milieu de [BC]. On place le point D tel que AD = AB + AC.
a) Fais une figure.
b) Justifie que ABDC est un parallélogramme.
c) Démontre que AD = 2AI.
d) On place le point E tel que BE = AC. Démontre que E = D.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) On trace ABC, puis on construit D avec la règle du parallélogramme.
b) D'après la règle du parallélogramme, AB + AC = AD signifie que D est le quatrième sommet du parallélogramme construit sur [AB] et [AC] : ABDC est un parallélogramme.
c) Les diagonales [AD] et [BC] du parallélogramme ABDC ont le même milieu. Le milieu de [BC] est I, donc I est aussi le milieu de [AD], et AD = 2AI.
d) ABDC est un parallélogramme, donc AC = BD. Comme BE = AC, on obtient BE = BD : les points E et D sont confondus.
5Exercice 5
(Problème) Sur un plan à l'échelle où 1 carreau représente 20 m, la pirogue de Lansana part du point A. La pagaie seule l'amènerait 3 carreaux plus loin vers la rive opposée ; le courant seul la déplacerait de 4 carreaux vers l'aval, perpendiculairement.
a) Fais un schéma avec les vecteurs p (pagaie) et c (courant), puis construis p + c.
b) Quelle est la largeur du fleuve à cet endroit ? De combien de mètres la pirogue a-t-elle dérivé vers l'aval ?
c) Calcule la distance réellement parcourue par la pirogue.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) p est une flèche de 3 carreaux perpendiculaire aux rives ; c une flèche de 4 carreaux parallèle aux rives, vers l'aval. On place c à l'extrémité de p (Chasles) : p + c va de A au point d'arrivée D.
b) Largeur du fleuve : 3 × 20 = 60 m. Dérive : 4 × 20 = 80 m vers l'aval.
c) Le trajet forme l'hypoténuse d'un triangle rectangle de côtés 60 m et 80 m : AD2 = 602 + 802 = 3 600 + 6 400 = 10 000, donc AD = 100 m.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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