Karamö, le prof virtuelLeçon 14 sur 27
Repérage : coordonnées d'un vecteur, distance de deux points, milieu
Je sais calculer, dans un repère, les coordonnées d'un vecteur et d'un milieu, la distance entre deux points, et m'en servir pour étudier une figure.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Calculer les coordonnées d'un vecteur, d'une somme de vecteurs et du produit d'un vecteur par un réel
- Calculer les coordonnées du milieu d'un segment
- Calculer la distance de deux points dans un repère orthonormé
- Utiliser ces calculs pour démontrer la nature d'un triangle ou d'un quadrilatère, un alignement ou un parallélisme
Avant de commencer : Les vecteurs (10e-maths-13), la propriété de Pythagore et sa réciproque, les racines carrées (10e-maths-03).
1Je découvre
Le chef de quartier de Kadiatou, à Kankan, a fait dessiner un plan du quartier sur une feuille quadrillée. Il a tracé deux axes perpendiculaires qui se coupent au carrefour principal. Chaque carreau représente 100 m. L'école est au point E(-3 ; 2) et le marché au point M(5 ; -4).
Le quartier veut creuser un forage à mi-chemin entre l'école et le marché, pour que les élèves et les commerçantes aient la même distance à parcourir. Kadiatou, qui est en 10e année, est chargée d'aider le comité : où faut-il placer le forage sur le plan ? Et quelle est la distance, à vol d'oiseau, entre l'école et le marché ?
Elle pourrait mesurer sur le plan avec une règle, mais le résultat serait approximatif. Elle voudrait plutôt calculer directement avec les coordonnées des points.
Comment calculer les coordonnées d'un vecteur, d'un milieu et la distance entre deux points à partir de leurs coordonnées ?
2Je comprends
1. Le repère et les coordonnées d'un point
Un repère du plan est formé d'un point O (l'origine) et de deux axes gradués sécants en O. Il est orthonormé si les axes sont perpendiculaires et ont la même unité. Dans toute cette leçon, sauf mention contraire, le repère est orthonormé.
Chaque point A a deux coordonnées : son abscisse xA (lue sur l'axe horizontal) et son ordonnée yA (lue sur l'axe vertical). On écrit A(xA ; yA).
2. Coordonnées d'un vecteur
Les coordonnées du vecteur AB sont :
AB (xB - xA ; yB - yA).
On retient : « extrémité moins origine ». On les écrit souvent en colonne. Elles indiquent le déplacement horizontal puis vertical pour aller de A à B.
Conséquences :
- deux vecteurs sont égaux si et seulement s'ils ont les mêmes coordonnées ;
- si u(x ; y) et v(x' ; y'), alors u + v (x + x' ; y + y') et ku (kx ; ky).
3. Coordonnées du milieu
Le milieu I de [AB] a pour coordonnées les moyennes des coordonnées de A et de B :
I(xA + xB2 ; yA + yB2).
Pour le forage de Kadiatou : (-3 + 52 ; 2 + (-4)2) = (1 ; -1).
4. Distance de deux points
Dans un repère orthonormé, en appliquant Pythagore au triangle rectangle formé par le déplacement horizontal et le déplacement vertical :
AB = √(xB - xA)2 + (yB - yA)2.
La longueur d'un vecteur u(x ; y) est ‖u‖ = √x2 + y2.
Distance école–marché : EM(5 - (-3) ; -4 - 2) = (8 ; -6), donc EM = √64 + 36 = √100 = 10 carreaux, soit 10 × 100 = 1 000 m, c'est-à-dire 1 km.
5. Condition de colinéarité
Deux vecteurs u(x ; y) et v(x' ; y') sont colinéaires si et seulement si :
x y' - x' y = 0.
On s'en sert pour prouver que trois points sont alignés (AB et AC colinéaires) ou que deux droites sont parallèles (AB et CD colinéaires).
Méthode
Pour étudier une figure dans un repère :
- Je place les points dans le repère pour avoir une idée de la réponse.
- Pour un parallélogramme : je montre que deux vecteurs sont égaux (mêmes coordonnées), ou que les diagonales ont le même milieu.
- Pour la nature d'un triangle : je calcule les trois longueurs (ou leurs carrés), puis j'utilise la réciproque de Pythagore ou l'égalité de deux côtés.
- Pour un alignement ou un parallélisme : je calcule x y′ − x′ y.
- Je conclus par une phrase qui cite la propriété utilisée.
Exemple
On donne A(1 ; 2), B(5 ; 4) et C(3 ; −2). Quelle est la nature du triangle ABC ?
AB (vecteur) : (5 − 1 ; 4 − 2) = (4 ; 2), donc AB² = 16 + 4 = 20.
AC (vecteur) : (3 − 1 ; −2 − 2) = (2 ; −4), donc AC² = 4 + 16 = 20.
BC (vecteur) : (3 − 5 ; −2 − 4) = (−2 ; −6), donc BC² = 4 + 36 = 40.
AB² = AC², donc AB = AC = √20 = 2√5 : le triangle est isocèle en A.
AB² + AC² = 20 + 20 = 40 = BC² : d'après la réciproque de Pythagore, il est rectangle en A.
ABC est un triangle rectangle isocèle en A.
Exemple
Avec les mêmes points, trouver D tel que ABDC soit un parallélogramme.
ABDC est un parallélogramme ⟺ AB = CD (vecteurs).
On note D(x ; y). CD (vecteur) : (x − 3 ; y + 2). On veut (x − 3 ; y + 2) = (4 ; 2).
x − 3 = 4 donne x = 7 ; y + 2 = 2 donne y = 0. Donc D(7 ; 0).
Vérification : le milieu de [AD] est ((1 + 7)/2 ; (2 + 0)/2) = (4 ; 1), et celui de [BC] est ((5 + 3)/2 ; (4 − 2)/2) = (4 ; 1). Les diagonales ont le même milieu.
Comme ABC est rectangle isocèle en A, ABDC est même un carré.
Exemple
Les points E(0 ; 1), F(2 ; 5) et G(3 ; 7) sont-ils alignés ?
EF (vecteur) : (2 ; 4) et EG (vecteur) : (3 ; 6).
x y′ − x′ y = 2 × 6 − 3 × 4 = 12 − 12 = 0.
Les vecteurs EF et EG sont colinéaires : E, F, G sont alignés.
3Je retiens
Je retiens
Vecteur AB : (x_B − x_A ; y_B − y_A) — « extrémité moins origine ».
Vecteurs égaux ⟺ mêmes coordonnées. u + v (x + x′ ; y + y′) ; ku (kx ; ky).
Milieu I de [AB] : ((x_A + x_B)/2 ; (y_A + y_B)/2).
Repère orthonormé : AB = √[(x_B − x_A)² + (y_B − y_A)²] ; longueur de u(x ; y) = √(x² + y²).
u(x ; y) et v(x′ ; y′) colinéaires ⟺ x y′ − x′ y = 0.
Parallélogramme : deux vecteurs égaux, ou diagonales de même milieu.
4Erreurs fréquentes
- Faire « origine moins extrémité » : les coordonnées de AB sont x_B − x_A, et non x_A − x_B (on obtiendrait BA).
- Oublier les parenthèses avec un nombre négatif : 5 − (−3) = 8, et non 2 ; et (−6)² = 36.
- Écrire la distance sans racine carrée : AB² = 20 donne AB = √20 = 2√5, et non 20.
- Utiliser la formule de la distance dans un repère qui n'est pas orthonormé : elle repose sur Pythagore, donc sur des axes perpendiculaires de même unité.
5Je m’exerce
1Exercice 1
On donne A(-2 ; 3) et B(4 ; -1). Calcule les coordonnées de AB, celles du milieu I de [AB], puis la distance AB sous forme simplifiée.
Voir le corrigéCacher le corrigé
AB(4 - (-2) ; -1 - 3) = (6 ; -4).
I(-2 + 42 ; 3 + (-1)2) = (1 ; 1).
AB = √62 + (-4)2 = √36 + 16 = √52 = √4 × 13 = 2√13.
2Exercice 2
On donne u(3 ; -1) et v(-2 ; 4). Calcule les coordonnées de u + v et de 2u - v, puis la longueur de 2u - v.
Voir le corrigéCacher le corrigé
u + v (3 - 2 ; -1 + 4) = (1 ; 3).
2u (6 ; -2), donc 2u - v (6 - (-2) ; -2 - 4) = (8 ; -6).
Longueur : √64 + 36 = √100 = 10.
3Exercice 3
a) Les vecteurs u(6 ; -9) et v(-4 ; 6) sont-ils colinéaires ?
b) Les points A(1 ; 1), B(3 ; 2) et C(7 ; 4) sont-ils alignés ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) x y' - x' y = 6 × 6 - (-4) × (-9) = 36 - 36 = 0. Les vecteurs sont colinéaires (d'ailleurs v = -23u).
b) AB(2 ; 1) et AC(6 ; 3). 2 × 3 - 6 × 1 = 0. Les vecteurs sont colinéaires : A, B, C sont alignés.
4Exercice 4
(Type BEPC) Dans un repère orthonormé, on donne A(-1 ; 1), B(3 ; 3) et C(5 ; -1).
a) Calcule AB, BC et AC. Démontre que le triangle ABC est rectangle et isocèle.
b) Calcule les coordonnées du milieu K de [AC].
c) Calcule les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme. Vérifie que K est le milieu de [BD].
d) Quelle est la nature exacte du quadrilatère ABCD ? Calcule son aire.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) AB(4 ; 2) : AB = √16 + 4 = √20 = 2√5.
BC(2 ; -4) : BC = √4 + 16 = √20 = 2√5.
AC(6 ; -2) : AC = √36 + 4 = √40 = 2√10.
AB = BC : le triangle est isocèle en B. AB2 + BC2 = 20 + 20 = 40 = AC2 : d'après la réciproque de Pythagore, il est rectangle en B.
b) K(-1 + 52 ; 1 + (-1)2) = (2 ; 0).
c) ABCD parallélogramme ⇔ AB = DC. Avec D(x ; y) : DC(5 - x ; -1 - y) = (4 ; 2), donc x = 1 et y = -3. D(1 ; -3).
Milieu de [BD] : (3 + 12 ; 3 + (-3)2) = (2 ; 0) = K. C'est bien vérifié.
d) ABCD est un parallélogramme qui a un angle droit en B et deux côtés consécutifs égaux (AB = BC) : c'est un carré. Son aire est AB2 = 20 unités d'aire.
5Exercice 5
(Problème) On reprend le plan du quartier de Kadiatou (1 carreau = 100 m) : l'école E(-3 ; 2), le marché M(5 ; -4) et le forage P au milieu de [EM]. Le centre de santé est au point S(4 ; 3).
a) Vérifie que P(1 ; -1).
b) Calcule, en mètres, la distance du forage au centre de santé.
c) Le forage est-il plus proche de l'école ou du centre de santé ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) P(-3 + 52 ; 2 + (-4)2) = (1 ; -1).
b) PS(4 - 1 ; 3 - (-1)) = (3 ; 4), donc PS = √9 + 16 = √25 = 5 carreaux, soit 5 × 100 = 500 m.
c) P est le milieu de [EM] et EM = 1 000 m, donc PE = 500 m. Le forage est à la même distance (500 m) de l'école et du centre de santé.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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