Karamö, le prof virtuelLeçon 26 sur 27
Agrandissement, réduction et sections planes des solides
Je sais utiliser le coefficient k d'un agrandissement ou d'une réduction pour calculer longueurs, aires et volumes, et décrire la section d'un solide par un plan.
- 1 h
- 6 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Connaître l'effet d'un agrandissement ou d'une réduction de rapport k sur les longueurs, les aires et les volumes
- Décrire la section d'un pavé droit et d'un cylindre par un plan
- Savoir que la section d'une pyramide ou d'un cône par un plan parallèle à la base est une réduction de la base
- Calculer le volume d'une petite pyramide ou d'un petit cône et d'un tronc
Avant de commencer : Pyramides et cônes (leçon précédente), la propriété de Thalès, l'homothétie (longueurs × |k|, aires × k²), le pavé droit et le cylindre.
1Je découvre
Kadiatou sert du jus de bissap à ses invités dans des verres en forme de cône, la pointe en bas. Elle remplit le premier verre jusqu'à la moitié de sa hauteur et pense l'avoir rempli à moitié.
Son cousin Alpha, élève de 10e, sourit : « Tu n'as mis qu'un huitième du verre ! » Kadiatou ne le croit pas : la moitié de la hauteur, c'est bien la moitié du verre, non ?
Alpha lui explique que le jus forme un petit cône, qui a exactement la même forme que le verre, mais dont toutes les longueurs sont divisées par 2. Et quand les longueurs sont divisées par 2, le volume, lui, n'est pas divisé par 2…
Quand on agrandit ou qu'on réduit un solide, comment changent ses longueurs, ses aires et son volume ? Et que voit-on quand on coupe un solide par un plan ?
2Je comprends
1. Agrandissement et réduction
On dit qu'un solide (ou une figure) est un agrandissement ou une réduction d'un autre de rapport k (k > 0) si toutes ses longueurs sont celles de l'autre multipliées par k, les angles restant les mêmes.
- Si k > 1, c'est un agrandissement.
- Si 0 < k < 1, c'est une réduction.
Le rapport se calcule par : k = une longueur de la nouvelle figurela longueur correspondante de la figure de départ.
Propriété. Dans un agrandissement ou une réduction de rapport k :
- les longueurs sont multipliées par k ;
- les aires sont multipliées par k2 ;
- les volumes sont multipliés par k3 ;
- les angles ne changent pas.
Pourquoi ? Un cube d'arête a a pour aire d'une face a2 et pour volume a3. Le cube d'arête ka a pour aire d'une face (ka)2 = k2 a2 et pour volume (ka)3 = k3 a3.
Le verre de Kadiatou : le petit cône de jus est une réduction du verre de rapport k = 12. Son volume est donc (12)3 = 18 du volume du verre. Alpha avait raison.
Exemple
Un cube a une arête de 2 cm. On l'agrandit avec le rapport k = 3. Calculer l'arête, l'aire totale et le volume du nouveau cube.
Arête : 3 × 2 = 6 cm.
Aire totale de départ : 6 × 2² = 24 cm² ; nouvelle aire : 3² × 24 = 9 × 24 = 216 cm² (et on vérifie : 6 × 6² = 216).
Volume de départ : 2³ = 8 cm³ ; nouveau volume : 3³ × 8 = 27 × 8 = 216 cm³ (et on vérifie : 6³ = 216).
Exemple
Une maquette de maison est réalisée à l'échelle 1/100. La maison a une surface au sol de 120 m² et un volume de 300 m³. Calculer la surface au sol et le volume de la maquette.
k = 1/100. Aire : 120 × (1/100)² = 120 ÷ 10 000 = 0,012 m² = 120 cm².
Volume : 300 × (1/100)³ = 300 ÷ 1 000 000 = 0,000 3 m³ = 300 cm³.
2. Sections planes du pavé droit et du cylindre
Couper un solide par un plan, c'est comme trancher un pain de sucre ou une papaye avec un couteau bien droit : la surface de coupe s'appelle la section.
| Solide | Plan de coupe | Section obtenue |
|---|---|---|
| Pavé droit (ou cube) | parallèle à une face | un rectangle identique à cette face |
| Pavé droit (ou cube) | parallèle à une arête | un rectangle |
| Cylindre de révolution | parallèle à la base | un disque de même rayon que la base |
| Cylindre de révolution | parallèle à l'axe | un rectangle (de même hauteur que le cylindre) |
| Pyramide | parallèle à la base | un polygone, réduction de la base |
| Cône de révolution | parallèle à la base | un disque, réduction de la base |
Exemple : un tronc de bois cylindrique scié en travers donne des rondelles en forme de disque ; scié dans le sens de la longueur, il donne des planches rectangulaires.
3. Section d'une pyramide ou d'un cône par un plan parallèle à la base
Soit une pyramide (ou un cône) de sommet S et de hauteur SO = h. On la coupe par un plan parallèle à la base, qui coupe la hauteur en O' avec SO' = h'.
Propriété. La section est une réduction de la base de rapport k = SO'SO = h'h. La petite pyramide (ou le petit cône) de sommet S obtenue au-dessus du plan est une réduction de la grande, de rapport k.
Cela vient de la propriété de Thalès : les côtés de la section sont parallèles à ceux de la base, avec le même rapport.
Conséquences :
- aire de la section = k2 × aire de la base ;
- volume de la petite pyramide = k3 × volume de la grande ;
- la partie située sous le plan s'appelle un tronc de pyramide (ou de cône) ; son volume est Vtronc = V - k3 V = (1 - k3)V.
Méthode
Pour étudier la section d'une pyramide ou d'un cône par un plan parallèle à la base :
- Je calcule le rapport de réduction k = SO' ÷ SO (hauteur du petit solide divisée par celle du grand).
- Longueurs de la section : longueurs de la base × k.
- Aire de la section : aire de la base × k².
- Volume du petit solide : volume du grand × k³.
- Volume du tronc : volume du grand − volume du petit.
Exemple
Une pyramide a une base de 36 cm² et une hauteur de 9 cm. On la coupe à mi-hauteur par un plan parallèle à la base. Calculer l'aire de la section, le volume de la petite pyramide et celui du tronc.
Volume de la grande pyramide : V = (1/3) × 36 × 9 = 108 cm³.
Rapport : k = 4,5 ÷ 9 = 1/2.
Aire de la section : 36 × (1/2)² = 36 ÷ 4 = 9 cm².
Volume de la petite pyramide : 108 × (1/2)³ = 108 ÷ 8 = 13,5 cm³.
Volume du tronc : 108 − 13,5 = 94,5 cm³.
Exemple
Un cône a pour rayon 5 cm et pour hauteur 12 cm. On le coupe par un plan parallèle à la base, à 4 cm du sommet. Calculer le rayon de la section et le volume du petit cône.
k = 4 ÷ 12 = 1/3.
Rayon de la section : 5 × 1/3 = 5/3 cm ≈ 1,67 cm.
Volume du grand cône : (1/3) × π × 5² × 12 = 100π cm³.
Volume du petit cône : 100π × (1/3)³ = 100π ÷ 27 ≈ 11,64 cm³.
Volume du tronc : 100π − 100π/27 = 2 600π/27 ≈ 302,52 cm³.
3Je retiens
Je retiens
Agrandissement ou réduction de rapport k : longueurs × k, aires × k², volumes × k³, angles inchangés.
k > 1 : agrandissement ; 0 < k < 1 : réduction.
Section d'un pavé par un plan parallèle à une face : rectangle identique à la face.
Section d'un cylindre : disque (plan parallèle à la base) ou rectangle (plan parallèle à l'axe).
Section d'une pyramide ou d'un cône par un plan parallèle à la base : réduction de la base de rapport k = SO' ÷ SO.
Petit solide : volume = k³ × grand volume ; tronc = grand volume − petit volume.
4Erreurs fréquentes
- Multiplier le volume par k au lieu de k³ : à mi-hauteur d'un cône, le liquide n'occupe que 1/8 du volume, pas la moitié.
- Calculer le rapport avec la mauvaise hauteur : k = (distance du sommet au plan) ÷ (hauteur totale), et non (distance de la base au plan) ÷ (hauteur totale).
- Oublier de mettre au carré ou au cube le rapport écrit sous forme de fraction : (1/3)³ = 1/27.
- Croire que la section d'un cylindre par un plan parallèle à l'axe est un disque : c'est un rectangle.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Un triangle a une aire de 15 cm². On l'agrandit avec le rapport 4. Quelle est l'aire du triangle obtenu ?
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Les aires sont multipliées par k2 = 16 : 15 × 16 = 240 cm².
2Exercice 2
Une boîte en forme de pavé droit mesure 10 cm × 6 cm × 4 cm. On fabrique une boîte réduite de rapport 0,5.
a) Donne les dimensions de la petite boîte.
b) Calcule le volume de chaque boîte, et vérifie que le rapport des volumes vaut 0,53.
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a) 10 × 0,5 = 5 cm ; 6 × 0,5 = 3 cm ; 4 × 0,5 = 2 cm.
b) Grande boîte : 10 × 6 × 4 = 240 cm³. Petite : 5 × 3 × 2 = 30 cm³. Rapport : 30240 = 18 = 0,125 et 0,53 = 0,125. C'est bien vérifié.
3Exercice 3
Une bille a un volume de 4 cm³. Une autre bille, de même forme, a un rayon 3 fois plus grand. Quel est son volume ?
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Toutes les longueurs sont multipliées par 3 (même forme) : le volume est multiplié par 33 = 27. Volume : 4 × 27 = 108 cm³.
4Exercice 4
Décris la section obtenue dans chaque cas :
a) un cube coupé par un plan parallèle à une face ;
b) un cylindre de hauteur 20 cm coupé par un plan parallèle à son axe ;
c) une pyramide à base carrée coupée par un plan parallèle à sa base.
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a) Un carré identique à une face du cube.
b) Un rectangle dont une dimension est la hauteur du cylindre (20 cm).
c) Un carré, réduction de la base.
5Exercice 5
(Type BEPC) SABCD est une pyramide régulière à base carrée de côté AB = 12 cm et de hauteur SO = 15 cm. On coupe cette pyramide par un plan parallèle à la base qui coupe [SO] en O' tel que SO' = 5 cm. La section est le carré A'B'C'D'.
a) Calcule le volume V de la pyramide SABCD.
b) Calcule le coefficient de réduction k.
c) Calcule la longueur A'B' et l'aire du carré A'B'C'D'.
d) Calcule le volume V' de la pyramide SA'B'C'D' de deux façons.
e) Déduis-en le volume du tronc de pyramide.
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a) V = 13 × 122 × 15 = 13 × 144 × 15 = 720 cm³.
b) k = SO'SO = 515 = 13.
c) A'B' = 13 × 12 = 4 cm. Aire du carré A'B'C'D' : 42 = 16 cm² (et on vérifie : 144 × 19 = 16).
d) Première façon : V' = 13 × 16 × 5 = 803 cm³ ≈ 26,67 cm³.
Deuxième façon : V' = k3 × V = 127 × 720 = 72027 = 803 cm³. Les deux résultats concordent.
e) Volume du tronc : 720 - 803 = 2 160 - 803 = 2 0803 cm³ ≈ 693,33 cm³.
6Exercice 6
Revenons au verre conique de Kadiatou. Il a une contenance de 24 cL. Jusqu'à quelle fraction de la hauteur faut-il le remplir pour y verser 3 cL ?
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On veut un volume 324 = 18 du verre. Le petit cône de liquide est une réduction du verre de rapport k avec k3 = 18, donc k = 12 (car 12 × 12 × 12 = 18). Il faut le remplir jusqu'à la moitié de sa hauteur.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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Toutes les leçons de Mathématiques · 10e
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