Karamö, le prof virtuelLeçon 25 sur 27
Pyramides et cônes
Je sais décrire une pyramide et un cône de révolution, calculer leurs dimensions avec Pythagore, leur volume et leur aire latérale.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Connaître le vocabulaire de la pyramide (régulière) et du cône de révolution
- Calculer une hauteur, une apothème ou une génératrice avec la propriété de Pythagore
- Calculer le volume d'une pyramide et d'un cône
- Calculer l'aire latérale d'une pyramide régulière et d'un cône, et l'angle du patron d'un cône
Avant de commencer : Les aires usuelles (carré, rectangle, triangle, disque), la propriété de Pythagore, les polygones réguliers, les conversions d'unités de volume et de capacité.
1Je découvre
Dans un village de Haute-Guinée, Lansana et son père refont le toit de paille de leur case ronde. Le toit a la forme d'un chapeau pointu : sa base est un cercle de 3 m de rayon, posé sur le mur rond, et son sommet se trouve 2 m au-dessus de ce cercle.
Pour savoir combien de bottes de paille acheter, le père doit connaître la surface du toit. Lansana se demande aussi quel volume d'air se trouve sous le toit, car il voudrait y stocker des sacs de maïs sur une étagère.
Il connaît l'aire d'un disque et le volume d'un cylindre, mais ce toit n'est ni l'un ni l'autre : c'est un cône. Et le grenier de son oncle, à Kankan, a un toit en forme de pyramide à base carrée.
Comment calculer le volume et la surface d'une pyramide et d'un cône ?
2Je comprends
1. La pyramide
Une pyramide est un solide formé :
- d'une base qui est un polygone (triangle, carré, rectangle, hexagone…) ;
- de faces latérales qui sont des triangles ayant un sommet commun S, appelé sommet de la pyramide.
Les segments qui joignent S aux sommets de la base sont les arêtes latérales. La hauteur est le segment [SH] perpendiculaire au plan de la base (H est le pied de la hauteur) ; on appelle aussi hauteur sa longueur h = SH.
Une pyramide est régulière si :
- sa base est un polygone régulier (triangle équilatéral, carré, hexagone régulier…) ;
- le pied de la hauteur est le centre de ce polygone.
Alors toutes les arêtes latérales ont la même longueur, et les faces latérales sont des triangles isocèles superposables. La hauteur d'une face latérale, issue de S, s'appelle l'apothème de la pyramide.
2. Le cône de révolution
Un cône de révolution est le solide obtenu en faisant tourner un triangle rectangle SOA autour d'un côté de l'angle droit [SO].
- La base est un disque de centre O et de rayon r = OA.
- Le point S est le sommet ; la hauteur est h = SO, perpendiculaire à la base.
- Tout segment [SM] avec M sur le cercle de base est une génératrice ; sa longueur est g = SA.
Dans le triangle SOA rectangle en O, la propriété de Pythagore donne :
g2 = h2 + r2.
- Base : un polygone
- Faces latérales : des triangles
- Hauteur h
- Apothème (pyramide régulière)
- V = (1/3) × aire de la base × h
- Base : un disque
- Surface latérale courbe
- Hauteur h
- Génératrice g, avec g² = h² + r²
- V = (1/3) × π r² × h
3. Le volume
Le volume d'une pyramide ou d'un cône est égal au tiers du produit de l'aire de la base par la hauteur :
V = 13 × mathcalB × h.
Pour un cône de rayon r : mathcalB = π r2, donc V = 13π r2 h.
On peut le retenir ainsi : une pyramide (ou un cône) a un volume trois fois plus petit que le prisme (ou le cylindre) de même base et de même hauteur. On peut le vérifier en remplissant d'eau un cône en papier et en le vidant dans un cylindre de même base et de même hauteur : il faut trois cônes pour remplir le cylindre.
4. Les aires
Pyramide régulière. L'aire latérale est la somme des aires des faces triangulaires. Si la base a pour périmètre P et si a est l'apothème :
mathcalAlat = P × a2.
Cône de révolution. Quand on découpe la surface latérale le long d'une génératrice et qu'on la met à plat, on obtient un secteur de disque de rayon g. Son arc a pour longueur le périmètre de la base, 2π r. On montre que :
mathcalAlat = π r g, et l'angle du secteur (patron) vaut α = 360° × rg.
L'aire totale s'obtient en ajoutant l'aire de la base.
Méthode
Pour calculer le volume et l'aire d'une pyramide ou d'un cône :
- Je fais un croquis et je repère le triangle rectangle utile (hauteur, rayon ou demi-côté, génératrice ou apothème).
- Si une longueur manque, je la calcule avec la propriété de Pythagore.
- Je calcule l'aire de la base.
- Volume : V = (1/3) × aire de la base × hauteur.
- Aire latérale : (périmètre × apothème) ÷ 2 pour une pyramide régulière ; π r g pour un cône.
- Je vérifie les unités (cm, cm², cm³) et je donne la valeur exacte puis une valeur approchée.
Exemple
Une pyramide régulière a pour base un carré de 6 cm de côté et pour hauteur 4 cm. Calculer son volume, son apothème et son aire latérale.
Aire de la base : 6² = 36 cm².
Volume : V = (1/3) × 36 × 4 = 48 cm³.
Apothème : le pied H de la hauteur est le centre du carré ; I est le milieu d'un côté, donc HI = 6 ÷ 2 = 3 cm. Dans le triangle SHI rectangle en H : SI² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25, donc SI = 5 cm.
Aire latérale : (périmètre × apothème) ÷ 2 = (24 × 5) ÷ 2 = 60 cm².
Aire totale : 60 + 36 = 96 cm².
Exemple
Un cône de révolution a pour rayon 3 cm et pour hauteur 4 cm. Calculer sa génératrice, son volume, son aire latérale et l'angle de son patron.
g² = 4² + 3² = 25, donc g = 5 cm.
V = (1/3) × π × 3² × 4 = 12π cm³ ≈ 37,70 cm³.
Aire latérale : π × 3 × 5 = 15π cm² ≈ 47,12 cm².
Angle du patron : 360° × 3 ÷ 5 = 216°.
Exemple
Retour au toit de Lansana : cône de rayon 3 m et de hauteur 2 m.
g² = 2² + 3² = 4 + 9 = 13, donc g = √13 m ≈ 3,61 m.
Surface du toit (aire latérale) : π × 3 × √13 ≈ 33,98 m², soit environ 34 m² de paille.
Volume sous le toit : (1/3) × π × 3² × 2 = 6π m³ ≈ 18,85 m³.
3Je retiens
Je retiens
Pyramide : base polygonale, faces latérales triangulaires ; régulière si la base est un polygone régulier et le pied de la hauteur son centre.
Cône de révolution : base disque de rayon r, hauteur h, génératrice g avec g² = h² + r².
Volume d'une pyramide ou d'un cône : V = (1/3) × aire de la base × h ; cône : V = (1/3) π r² h.
Aire latérale d'une pyramide régulière : (périmètre de la base × apothème) ÷ 2.
Aire latérale d'un cône : π r g ; angle du patron : 360° × r ÷ g.
1 dm³ = 1 L ; 1 m³ = 1 000 L.
4Erreurs fréquentes
- Oublier le 1/3 dans le volume : sans lui, on calcule le volume du prisme ou du cylindre, trois fois trop grand.
- Confondre la hauteur h et la génératrice g (ou l'apothème) : la hauteur est perpendiculaire à la base ; g et l'apothème sont « penchées » et plus longues.
- Utiliser le diamètre au lieu du rayon dans π r² : un cône de 10 cm de diamètre a un rayon de 5 cm.
- Mélanger les unités : si r est en cm et h en m, il faut tout convertir avant de calculer.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Calcule le volume :
a) d'une pyramide de base rectangulaire 8 cm × 5 cm et de hauteur 9 cm ;
b) d'un cône de rayon 6 cm et de hauteur 10 cm (valeur exacte, puis arrondie au cm³).
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Aire de la base : 8 × 5 = 40 cm². V = 13 × 40 × 9 = 120 cm³.
b) V = 13 × π × 62 × 10 = 13 × 360π = 120π cm³ ≈ 377 cm³.
2Exercice 2
Un cône de révolution a pour génératrice 13 cm et pour rayon 5 cm.
a) Calcule sa hauteur.
b) Calcule son volume en fonction de π.
c) Calcule l'angle du secteur de son patron (arrondi au degré).
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) g2 = h2 + r2, donc h2 = 132 - 52 = 169 - 25 = 144 et h = 12 cm.
b) V = 13 × π × 52 × 12 = 13 × 300π = 100π cm³.
c) α = 360° × 513 = 1 800°13 ≈ 138°.
3Exercice 3
Un entonnoir a la forme d'un cône de rayon 6 cm et de hauteur 8 cm.
a) Calcule sa génératrice.
b) Calcule sa contenance en cm³, puis en litres (arrondie au centième).
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) g2 = 82 + 62 = 64 + 36 = 100, donc g = 10 cm.
b) V = 13 × π × 36 × 8 = 96π cm³ ≈ 301,59 cm³. Comme 1 L = 1 000 cm³, la contenance est d'environ 0,30 L.
4Exercice 4
Le grenier de l'oncle de Lansana a un toit en forme de pyramide régulière à base carrée de 4 m de côté ; l'apothème mesure 2,5 m.
a) Calcule la surface de tôle nécessaire pour couvrir les quatre faces du toit.
b) Calcule la hauteur du toit, puis le volume sous le toit.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Périmètre de la base : 4 × 4 = 16 m. Aire latérale : 16 × 2,52 = 20 m². Il faut 20 m² de tôle (sans compter les recouvrements).
b) Le pied H de la hauteur est le centre du carré ; I est le milieu d'un côté : HI = 2 m. Dans le triangle SHI rectangle en H : SH2 = SI2 - HI2 = 2,52 - 22 = 6,25 - 4 = 2,25, donc SH = 1,5 m.
Volume : V = 13 × 42 × 1,5 = 13 × 24 = 8 m³.
5Exercice 5
(Type BEPC) SABCD est une pyramide régulière de sommet S, de base le carré ABCD de centre O, avec AB = 8 cm et SO = 3 cm.
a) Calcule le volume de la pyramide.
b) I est le milieu de [AB]. Calcule OI, puis l'apothème SI.
c) Calcule l'aire latérale de la pyramide.
d) Calcule la longueur OA, puis l'arête SA (valeur exacte et valeur arrondie au millimètre).
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) V = 13 × 82 × 3 = 13 × 192 = 64 cm³.
b) O est le centre du carré et I le milieu de [AB], donc OI = 82 = 4 cm. Le triangle SOI est rectangle en O : SI2 = SO2 + OI2 = 9 + 16 = 25, donc SI = 5 cm.
c) Aire latérale : périmètre × apothème2 = 32 × 52 = 80 cm².
d) OA est la moitié de la diagonale du carré. La diagonale vaut 8√2 cm, donc OA = 4√2 cm et OA2 = 32. Le triangle SOA est rectangle en O : SA2 = SO2 + OA2 = 9 + 32 = 41, donc SA = √41 cm ≈ 6,4 cm.
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6Je vérifie
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