Karamö, le prof virtuelLeçon 12 sur 22
La valeur absolue
Je sais calculer la valeur absolue d'un nombre, l'interpréter comme une distance et écrire une expression sans barres de valeur absolue.
- 50 min
- 5 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir la valeur absolue d'un réel et la calculer
- Interpréter
- a − b
- comme la distance entre deux points d'une droite graduée
- Utiliser les propriétés de la valeur absolue
- Écrire une expression contenant des valeurs absolues sans les barres, selon les valeurs de x
Avant de commencer : Les nombres réels et la droite graduée, les inégalités dans R, les intervalles, le signe de ax + b.
1Je découvre
Sur la route nationale qui traverse Mamou, on place une borne de repère au carrefour principal : c'est le point 0. Les villages situés vers Dalaba reçoivent des numéros positifs (en kilomètres), ceux situés vers Kindia des numéros négatifs.
Sékou habite au point -7 et son cousin Ibrahima au point 5. Sékou dit : « J'habite à -7 km du carrefour. » Ibrahima rit : « Une distance n'est jamais négative ! Tu habites à 7 km du carrefour, du côté de Kindia. »
Pour aller de chez Sékou à chez Ibrahima, on parcourt 7 + 5 = 12 km. Mais si les deux cousins habitaient tous les deux du même côté, par exemple aux points 3 et 10, la distance serait 10 - 3 = 7 km. On a besoin d'un outil qui donne toujours une distance positive, sans se soucier du signe des nombres.
Comment mesurer, avec un seul calcul, la distance d'un nombre à zéro et la distance entre deux nombres ?
2Je comprends
1. Définition de la valeur absolue
Définition. La valeur absolue d'un nombre réel x, notée |x|, est :
- |x| = x si x ≥ 0 ;
- |x| = -x si x < 0.
Attention : quand x est négatif, -x est positif. Par exemple, |-7| = -(-7) = 7.
Ainsi la valeur absolue « enlève le signe moins » d'un nombre écrit simplement, mais pour une expression, il faut toujours chercher le signe de ce qui est entre les barres.
Exemple
Calculer |12|, |−3,5|, |0|, |3 − π| et |√2 − 1,5|.
|12| = 12 car 12 ≥ 0.
|−3,5| = 3,5 car −3,5 < 0, donc |−3,5| = −(−3,5).
|0| = 0.
π ≈ 3,14 > 3, donc 3 − π < 0 et |3 − π| = −(3 − π) = π − 3.
√2 ≈ 1,414 < 1,5, donc √2 − 1,5 < 0 et |√2 − 1,5| = 1,5 − √2.
2. Interprétation : une distance
Sur une droite graduée d'origine O, si le point M a pour abscisse x, alors |x| est la distance OM.
Plus généralement, si A et B ont pour abscisses a et b, la distance entre A et B est :
AB = |b - a| = |a - b|.
Retour à la route de Mamou : la distance entre Sékou (-7) et Ibrahima (5) est |5 - (-7)| = |12| = 12 km. Entre les points 3 et 10 : |10 - 3| = 7 km. Une seule formule marche dans tous les cas.
Conséquence utile : |x - 3| est la distance entre x et 3, et |x + 2| = |x - (-2)| est la distance entre x et -2. Cette lecture « distance » te servira beaucoup dans la leçon suivante sur les équations et inéquations.
3. Propriétés
Pour tous réels a et b :
| Propriété | Exemple |
|---|---|
| lvert arvert ≥ 0, et lvert arvert = 0 ⇔ a = 0 | lvert -4rvert = 4 ≥ 0 |
| lvert -arvert = lvert arvert | lvert -9rvert = lvert 9rvert = 9 |
| lvert abrvert = lvert arvert × lvert brvert | lvert (-2) × 5rvert = 10 = 2 × 5 |
| lvert abrvert = lvert arvertlvert brvert (si b ≠ 0) | lvert -63rvert = 2 |
| lvert arvert2 = a2 | lvert -3rvert2 = 9 = (-3)2 |
| √a2 = lvert arvert | √(-5)2 = √25 = 5 |
| lvert a + brvert ≤ lvert arvert + lvert brvert (inégalité triangulaire) | lvert 3 + (-8)rvert = 5 ≤ 3 + 8 |
La propriété √a2 = |a| est très importante : on n'écrit jamais √a2 = a sans savoir que a est positif. Par exemple √(-5)2 = 5 et non -5.
L'inégalité triangulaire porte ce nom parce qu'elle ressemble à la règle des triangles : un côté est toujours plus court que la somme des deux autres. On a l'égalité |a + b| = |a| + |b| exactement quand a et b ont le même signe (ou que l'un est nul).
Attention : en général |a + b| ≠ |a| + |b| et |a - b| ≠ |a| - |b|. Par exemple |2 - 5| = 3 mais |2| - |5| = -3.
Exemple
Simplifier E = √((1 − √3)²) + √((2 − √3)²).
On utilise √(a²) = |a|.
√3 ≈ 1,732 > 1, donc 1 − √3 < 0 et |1 − √3| = √3 − 1.
√3 < 2, donc 2 − √3 > 0 et |2 − √3| = 2 − √3.
E = (√3 − 1) + (2 − √3) = 1.
4. Écrire une expression sans valeur absolue
Pour écrire |A| sans barres, où A dépend de x, on étudie le signe de A :
- là où A ≥ 0, on remplace |A| par A ;
- là où A < 0, on remplace |A| par -A.
Méthode
Pour écrire une expression sans barres de valeur absolue :
- Je cherche la valeur de x qui annule chaque expression entre les barres.
- J'étudie le signe de chaque expression (tableau de signes si besoin).
- Je découpe R en intervalles à l'aide de ces valeurs.
- Sur chaque intervalle, je remplace |A| par A ou par −A, puis je réduis.
- Je vérifie avec une valeur de x prise dans un intervalle.
Exemple
Écrire A(x) = |2x − 6| sans valeur absolue.
2x − 6 = 0 pour x = 3, et 2x − 6 ≥ 0 équivaut à x ≥ 3.
Si x ≥ 3 : A(x) = 2x − 6.
Si x < 3 : A(x) = −(2x − 6) = −2x + 6.
Vérification : pour x = 0, |2 × 0 − 6| = 6 et −2 × 0 + 6 = 6. Juste.
Exemple
Écrire f(x) = |x − 2| + |x + 1| sans valeur absolue.
x − 2 s'annule en 2 ; x + 1 s'annule en −1. On découpe R en trois intervalles.
Si x < −1 : x − 2 < 0 et x + 1 < 0, donc
f(x) = −(x − 2) − (x + 1) = −x + 2 − x − 1 = −2x + 1.
Si −1 ≤ x < 2 : x − 2 < 0 et x + 1 ≥ 0, donc
f(x) = −(x − 2) + (x + 1) = −x + 2 + x + 1 = 3.
Si x ≥ 2 : les deux expressions sont positives, donc
f(x) = (x − 2) + (x + 1) = 2x − 1.
Contrôle aux points de raccord : en x = −1, −2 × (−1) + 1 = 3 ; en x = 2, 2 × 2 − 1 = 3. Les morceaux se raccordent bien.
Ce résultat a un sens géométrique : f(x) est la somme des distances de x à 2 et à -1. Entre -1 et 2, cette somme vaut toujours la longueur du segment, c'est-à-dire 3.
5. La courbe de la fonction valeur absolue
La fonction x mapsto |x| est définie sur ℝ. Sa courbe est formée de deux demi-droites : y = -x pour x < 0 et y = x pour x ≥ 0. Elle a la forme d'un « V » de sommet l'origine, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
3Je retiens
Je retiens
|x| = x si x ≥ 0 ; |x| = −x si x < 0. Une valeur absolue est toujours positive ou nulle.
|x| est la distance de x à 0 ; |a − b| est la distance entre a et b sur la droite graduée.
|−a| = |a| ; |ab| = |a| × |b| ; |a/b| = |a|/|b| (b ≠ 0) ; |a|² = a².
√(a²) = |a| (et non a).
Inégalité triangulaire : |a + b| ≤ |a| + |b|.
Pour enlever les barres de |A| : étudier le signe de A, puis remplacer |A| par A (si A ≥ 0) ou par −A (si A < 0).
4Erreurs fréquentes
- Croire que |x| = x pour tout x : c'est faux si x est négatif. Par exemple, si x = −4, |x| = 4 = −x.
- Écrire |3 − π| = 3 − π : ce nombre est négatif, donc sa valeur absolue vaut π − 3.
- Écrire √((x − 5)²) = x − 5 sans condition : la bonne écriture est |x − 5|.
- Écrire |a + b| = |a| + |b| ou |a − b| = |a| − |b| : ces égalités sont fausses en général (|2 − 5| = 3 alors que |2| − |5| = −3).
5Je m’exerce
1Exercice 1
Calcule sans calculatrice :
a) |-12| b) |5 - 8| c) |π - 4| d) |1 - √3| e) |-2| × |3 - 7|
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) |-12| = 12.
b) |5 - 8| = |-3| = 3.
c) π ≈ 3,14 < 4, donc π - 4 < 0 et |π - 4| = 4 - π.
d) √3 ≈ 1,73 > 1, donc 1 - √3 < 0 et |1 - √3| = √3 - 1.
e) |-2| × |3 - 7| = 2 × |-4| = 2 × 4 = 8.
2Exercice 2
Sur une droite graduée, on place A(-4), B(5) et C(-1,5).
a) Calcule les distances AB, AC et BC.
b) Traduis par une phrase : « |x + 2| est … ».
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a) AB = |5 - (-4)| = |9| = 9 ; AC = |-1,5 - (-4)| = |2,5| = 2,5 ; BC = |-1,5 - 5| = |-6,5| = 6,5.
On vérifie : C est entre A et B, et AC + CB = 2,5 + 6,5 = 9 = AB.
b) |x + 2| = |x - (-2)| est la distance entre le point d'abscisse x et le point d'abscisse -2.
3Exercice 3
Écris sans valeur absolue, selon les valeurs de x :
a) A(x) = |x - 5| b) B(x) = |-3x + 9|
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a) x - 5 ≥ 0 ⇔ x ≥ 5. Si x ≥ 5 : A(x) = x - 5. Si x < 5 : A(x) = -x + 5.
b) -3x + 9 ≥ 0 ⇔ -3x ≥ -9 ⇔ x ≤ 3 (on divise par -3, on change le sens). Si x ≤ 3 : B(x) = -3x + 9. Si x > 3 : B(x) = 3x - 9.
4Exercice 4
On considère f(x) = |x + 1| - |x - 3|.
a) Écris f(x) sans valeur absolue sur chacun des intervalles ]-∞ ; -1[, [-1 ; 3[ et [3 ; +∞[.
b) Calcule f(0) de deux façons et vérifie que les résultats concordent.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) x + 1 s'annule en -1 et x - 3 s'annule en 3.
- Si x < -1 : x + 1 < 0 et x - 3 < 0, donc f(x) = -(x + 1) - [-(x - 3)] = -x - 1 + x - 3 = -4.
- Si -1 ≤ x < 3 : x + 1 ≥ 0 et x - 3 < 0, donc f(x) = (x + 1) + (x - 3) = 2x - 2.
- Si x ≥ 3 : f(x) = (x + 1) - (x - 3) = 4.
b) Directement : f(0) = |1| - |-3| = 1 - 3 = -2. Avec la formule sur [-1 ; 3[ : f(0) = 2 × 0 - 2 = -2. Les résultats concordent.
5Exercice 5
(Type examen)
a) Montre que √(1 - √2)2 = √2 - 1.
b) Simplifie E = √(√5 - 3)2 + √(√5 - 2)2.
c) Pour x réel, simplifie √x2 - 6x + 9, puis donne son expression lorsque x < 3.
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a) √(1 - √2)2 = |1 - √2|. Or √2 ≈ 1,41 > 1, donc 1 - √2 < 0 et |1 - √2| = √2 - 1.
b) √5 ≈ 2,24. Donc √5 - 3 < 0 et √5 - 2 > 0.
E = |√5 - 3| + |√5 - 2| = (3 - √5) + (√5 - 2) = 1.
c) x2 - 6x + 9 = (x - 3)2, donc √x2 - 6x + 9 = √(x - 3)2 = |x - 3|. Si x < 3, x - 3 < 0 et l'expression vaut 3 - x.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
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