Karamö, le prof virtuelLeçon 13 sur 22
Équations et inéquations avec valeur absolue
Je sais résoudre une équation ou une inéquation contenant des valeurs absolues, par la méthode des distances ou par disjonction des cas.
- 1 h
- 6 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Résoudre
- A
- = k et
- A
- =
- B
- Résoudre
- x − a
- ≤ r et
- x − a
- ≥ r et écrire les solutions sous forme d'intervalles
- Résoudre une équation ou une inéquation par disjonction des cas
- Traduire une tolérance ou un encadrement par une valeur absolue
Avant de commencer : La valeur absolue (définition, distance, écriture sans barres), les intervalles et leurs opérations (réunion, intersection), les équations et inéquations du premier degré.
1Je découvre
À la coopérative de riz de Kankan, Mariama remplit des sacs qui doivent peser 50 kg. La balance n'est pas parfaite : on accepte un sac si son poids ne s'écarte pas de 50 kg de plus de 0,5 kg.
Si m est la masse d'un sac en kilogrammes, « l'écart entre m et 50 » est la distance entre m et 50, c'est-à-dire |m - 50|. La règle de la coopérative s'écrit donc :
|m - 50| ≤ 0,5.
Mariama pèse un sac : 49,7 kg. Est-il accepté ? Et un sac de 50,6 kg ? Elle voudrait surtout connaître, une fois pour toutes, toutes les masses acceptables, sous la forme d'un intervalle simple à afficher près de la balance.
Comment résoudre une équation ou une inéquation qui contient une valeur absolue ?
2Je comprends
1. Les équations du type |A| = k
On cherche les nombres dont la valeur absolue vaut k.
- Si k < 0 : aucune solution, car une valeur absolue n'est jamais négative.
- Si k = 0 : |A| = 0 ⇔ A = 0.
- Si k > 0 : |A| = k ⇔ A = k ou A = -k.
Exemple
Résoudre |2x − 3| = 5.
5 > 0, donc 2x − 3 = 5 ou 2x − 3 = −5.
2x = 8 ou 2x = −2
x = 4 ou x = −1.
S = {−1 ; 4}.
Vérification : |2 × 4 − 3| = |5| = 5 et |2 × (−1) − 3| = |−5| = 5. Juste.
Avec les distances : |x - 3| = 2 signifie « x est à la distance 2 de 3 ». Les solutions sont 3 - 2 = 1 et 3 + 2 = 5.
2. Les équations du type |A| = |B|
Deux nombres ont la même valeur absolue si et seulement s'ils sont égaux ou opposés :
|A| = |B| ⇔ A = B ou A = -B.
Exemple
Résoudre |x + 2| = |3x − 4|.
x + 2 = 3x − 4 ou x + 2 = −(3x − 4)
−2x = −6 ou x + 2 = −3x + 4
x = 3 ou 4x = 2, soit x = 1/2.
S = {1/2 ; 3}.
Vérification pour x = 1/2 : |1/2 + 2| = 5/2 et |3/2 − 4| = |−5/2| = 5/2. Juste.
3. Les inéquations du type |x − a| ≤ r
Soit r > 0. Dire que |x - a| ≤ r, c'est dire que la distance entre x et a est au plus r : x est dans l'intervalle de centre a et de rayon r.
|x - a| ≤ r ⇔ a - r ≤ x ≤ a + r ⇔ x ∈ [a - r ; a + r].
De même, |x - a| < r ⇔ x ∈ ]a - r ; a + r[.
Au contraire, |x - a| ≥ r signifie que x est loin de a :
|x - a| ≥ r ⇔ x ≤ a - r ou x ≥ a + r ⇔ x ∈ ]-∞ ; a - r] ∪ [a + r ; +∞[.
Retour à la coopérative : |m - 50| ≤ 0,5 ⇔ 49,5 ≤ m ≤ 50,5. Les masses acceptées forment l'intervalle [49,5 ; 50,5]. Le sac de 49,7 kg est accepté ; celui de 50,6 kg est refusé.
Réciproquement, tout intervalle [α ; β] peut s'écrire avec une valeur absolue : son centre est a = α + β2 et son rayon r = β - α2. Par exemple [2 ; 8] a pour centre 5 et pour rayon 3 : x ∈ [2 ; 8] ⇔ |x - 5| ≤ 3.
Pour une expression A quelconque et k > 0 :
- |A| ≤ k ⇔ -k ≤ A ≤ k ;
- |A| ≥ k ⇔ A ≤ -k ou A ≥ k.
Exemple
Résoudre |2x + 1| ≥ 3.
2x + 1 ≤ −3 ou 2x + 1 ≥ 3
2x ≤ −4 ou 2x ≥ 2
x ≤ −2 ou x ≥ 1.
S = ]−∞ ; −2] ∪ [1 ; +∞[.
Exemple
Résoudre |2x − 1| < 5.
−5 < 2x − 1 < 5
−4 < 2x < 6 (on ajoute 1 aux trois membres)
−2 < x < 3 (on divise par 2 > 0).
S = ]−2 ; 3[.
4. La disjonction des cas
Quand l'équation mélange une valeur absolue et une expression sans barres, comme |x - 1| = 2x + 3, les formules précédentes ne suffisent pas. On écrit la valeur absolue sans barres sur chaque intervalle (leçon précédente), puis on résout sur chaque intervalle, en gardant seulement les solutions qui appartiennent à l'intervalle étudié.
Méthode
Pour résoudre par disjonction des cas :
- Je cherche où s'annule chaque expression entre les barres et je découpe R en intervalles.
- Sur chaque intervalle, j'écris l'équation (ou l'inéquation) sans barres.
- Je la résous sur cet intervalle.
- Je garde uniquement les solutions qui sont dans l'intervalle (pour une inéquation : j'intersecte avec l'intervalle).
- L'ensemble S est la réunion des solutions trouvées sur tous les intervalles. Je vérifie.
Exemple
Résoudre |x − 1| = 2x + 3.
x − 1 s'annule en 1.
Cas 1 : x ≥ 1. Alors |x − 1| = x − 1 et l'équation devient x − 1 = 2x + 3, soit x = −4. Or −4 n'est pas ≥ 1 : on rejette.
Cas 2 : x < 1. Alors |x − 1| = −x + 1 et l'équation devient −x + 1 = 2x + 3, soit −3x = 2, x = −2/3. Or −2/3 < 1 : on garde.
S = {−2/3}.
Vérification : |−2/3 − 1| = |−5/3| = 5/3 et 2 × (−2/3) + 3 = −4/3 + 9/3 = 5/3. Juste.
Remarque : on pouvait aussi remarquer qu'il faut 2x + 3 ≥ 0 (une valeur absolue est positive), puis résoudre x - 1 = 2x + 3 ou x - 1 = -(2x + 3) et garder les solutions telles que 2x + 3 ≥ 0. On retrouve x = -23.
5. Résumé des cas
| Forme | Solutions (avec k > 0 ou r > 0) |
|---|---|
| lvert Arvert = k | A = k ou A = -k |
| lvert Arvert = lvert Brvert | A = B ou A = -B |
| lvert x - arvert ≤ r | x ∈ [a - r ; a + r] |
| lvert x - arvert ≥ r | x ∈ ]-∞ ; a - r] ∪ [a + r ; +∞[ |
| lvert Arvert = k avec k < 0 | aucune solution |
| lvert Arvert = B avec B dépendant de x | disjonction des cas |
3Je retiens
Je retiens
|A| = k (k > 0) équivaut à A = k ou A = −k ; si k < 0 il n'y a aucune solution ; |A| = 0 équivaut à A = 0.
|A| = |B| équivaut à A = B ou A = −B.
|x − a| ≤ r équivaut à a − r ≤ x ≤ a + r : intervalle de centre a et de rayon r.
|x − a| ≥ r équivaut à x ≤ a − r ou x ≥ a + r.
Intervalle [α ; β] : centre (α + β)/2, rayon (β − α)/2.
Disjonction des cas : sur chaque intervalle j'enlève les barres, je résous, je ne garde que les solutions de l'intervalle.
4Erreurs fréquentes
- Oublier la deuxième solution : |x − 4| = 7 a deux solutions, 11 et −3, pas seulement 11.
- Chercher des solutions à |A| = −2 : il n'y en a aucune, une valeur absolue est positive ou nulle.
- Écrire |x − 3| ≥ 2 ⇔ 1 ≤ x ≤ 5 : c'est l'inverse. « ≥ » donne l'extérieur de l'intervalle, « ≤ » donne l'intérieur.
- Dans une disjonction des cas, garder une solution qui n'est pas dans l'intervalle étudié : il faut toujours contrôler.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Résous dans ℝ :
a) |x - 4| = 7 b) |3x + 2| = 0 c) |5 - x| = -1
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 7 > 0 : x - 4 = 7 ou x - 4 = -7, soit x = 11 ou x = -3. S = {-3 ; 11}.
b) |3x + 2| = 0 ⇔ 3x + 2 = 0 ⇔ x = -23. S = {-23}.
c) Une valeur absolue ne peut pas valoir -1 : S = ∅.
2Exercice 2
Résous et donne les solutions sous forme d'intervalle ou de réunion d'intervalles :
a) |x - 1| ≤ 3 b) |x + 5| > 2 c) |2x - 1| < 5
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) -3 ≤ x - 1 ≤ 3 ⇔ -2 ≤ x ≤ 4. S = [-2 ; 4].
b) |x + 5| = |x - (-5)|. x + 5 < -2 ou x + 5 > 2, soit x < -7 ou x > -3. S = ]-∞ ; -7[ ∪ ]-3 ; +∞[.
c) -5 < 2x - 1 < 5 ⇔ -4 < 2x < 6 ⇔ -2 < x < 3. S = ]-2 ; 3[.
3Exercice 3
Résous |2x - 1| = |x + 4|.
Voir le corrigéCacher le corrigé
2x - 1 = x + 4 ou 2x - 1 = -(x + 4).
Première équation : x = 5. Seconde : 2x - 1 = -x - 4 ⇔ 3x = -3 ⇔ x = -1.
Vérification : pour x = 5, |9| = 9 et |9| = 9 ; pour x = -1, |-3| = 3 et |3| = 3. S = {-1 ; 5}.
4Exercice 4
Résous |x + 3| = 2x par disjonction des cas.
Voir le corrigéCacher le corrigé
x + 3 s'annule en -3.
Cas 1 : x ≥ -3. L'équation devient x + 3 = 2x, soit x = 3. Or 3 ≥ -3 : on garde.
Cas 2 : x < -3. L'équation devient -x - 3 = 2x, soit -3x = 3, x = -1. Or -1 n'est pas < -3 : on rejette.
S = {3}. Vérification : |3 + 3| = 6 et 2 × 3 = 6.
5Exercice 5
(Tolérance) Une usine de Coyah remplit des bouteilles d'eau de 1,5 L. Une bouteille est acceptée si son volume V (en litres) vérifie |V - 1,5| ≤ 0,02.
a) Donne l'intervalle des volumes acceptés.
b) Écris la condition « x ∈ [2 ; 8] » à l'aide d'une valeur absolue.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) |V - 1,5| ≤ 0,02 ⇔ 1,5 - 0,02 ≤ V ≤ 1,5 + 0,02 ⇔ 1,48 ≤ V ≤ 1,52. Les volumes acceptés forment [1,48 ; 1,52] (en litres).
b) Centre : 2 + 82 = 5 ; rayon : 8 - 22 = 3. Donc x ∈ [2 ; 8] ⇔ |x - 5| ≤ 3.
6Exercice 6
(Type examen) On pose f(x) = |x - 2| + |x + 1|.
a) Écris f(x) sans valeur absolue sur ]-∞ ; -1[, [-1 ; 2[ et [2 ; +∞[.
b) Résous l'inéquation f(x) ≤ 5.
c) Interprète le résultat en termes de distances.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Si x < -1 : f(x) = -(x - 2) - (x + 1) = -2x + 1.
Si -1 ≤ x < 2 : f(x) = -(x - 2) + (x + 1) = 3.
Si x ≥ 2 : f(x) = (x - 2) + (x + 1) = 2x - 1.
b) Sur ]-∞ ; -1[ : -2x + 1 ≤ 5 ⇔ -2x ≤ 4 ⇔ x ≥ -2. Solutions : [-2 ; -1[.
Sur [-1 ; 2[ : 3 ≤ 5 est toujours vrai. Solutions : [-1 ; 2[.
Sur [2 ; +∞[ : 2x - 1 ≤ 5 ⇔ x ≤ 3. Solutions : [2 ; 3].
Réunion : S = [-2 ; 3].
c) f(x) est la somme des distances de x à 2 et à -1. Ces deux points sont à distance 3 l'un de l'autre. Si x est entre -1 et 2, la somme vaut 3. Si x est en dehors, à la distance d de l'extrémité la plus proche, la somme vaut 3 + 2d, et 3 + 2d ≤ 5 ⇔ d ≤ 1. On peut donc s'éloigner d'au plus 1 de chaque côté : de -2 à 3.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
Crée ton compte élève gratuit pour cocher les leçons terminées, suivre ta progression et gagner des points au QCM.
