Karamö, le prof virtuelLeçon 20 sur 22
Formulaire de trigonométrie circulaire
Je connais et sais utiliser les formules de trigonométrie circulaire : valeurs remarquables, angles associés, formules d'addition et de duplication.
- 1 h
- 6 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Passer des degrés aux radians et placer un point sur le cercle trigonométrique
- Connaître les valeurs remarquables de cos, sin et tan
- Utiliser cos² x + sin² x = 1 et les formules des angles associés
- Appliquer les formules d'addition, de duplication et de linéarisation
Avant de commencer : Cosinus, sinus et tangente d'un angle aigu dans un triangle rectangle, théorème de Pythagore, produit scalaire (définition avec le cosinus).
1Je découvre
Sékou fait réparer son vélo dans un atelier du quartier, à Kankan. Le réparateur, Ibrahima, fait tourner la roue pour vérifier la valve. Sékou remarque que la valve monte, redescend, remonte… Sa hauteur par rapport à l'axe de la roue dépend de l'angle dont la roue a tourné.
Au départ, la valve est à la hauteur de l'axe, à l'avant de la roue. Quand la roue a tourné d'un quart de tour, la valve est tout en haut ; d'un demi-tour, elle est à la hauteur de l'axe, de l'autre côté ; de trois quarts de tour, tout en bas. Et après un tour complet, tout recommence.
Dans le triangle rectangle, le sinus et le cosinus n'étaient définis que pour des angles aigus (entre 0° et 90°). Ici, l'angle dépasse 90°, 180°, et même 360°. Il faut donc étendre ces notions à tous les angles, et disposer de formules pour calculer vite, sans calculatrice.
Quelles sont les formules essentielles de la trigonométrie, et comment les utiliser ?
2Je comprends
1. Le radian et le cercle trigonométrique
Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1, orienté dans le sens direct (contraire des aiguilles d'une montre). À tout réel x, on associe le point M du cercle obtenu en parcourant un arc de longueur |x| depuis I(1 ; 0), dans le sens direct si x > 0, dans l'autre sens sinon. x est une mesure en radians de l'angle orienté (OI, OM).
Un tour complet mesure 2π radians, soit 360°. D'où la conversion :
xrad = π180 × xdeg et xdeg = 180π × xrad.
Deux réels qui diffèrent d'un multiple de 2π donnent le même point du cercle : x et x + 2kπ (k entier).
Définition. Si M est le point associé à x, alors cos x est l'abscisse de M et sin x est son ordonnée. Si cos x ≠ 0, tan x = sin xcos x.
Conséquences immédiates, pour tout réel x :
- -1 ≤ cos x ≤ 1 et -1 ≤ sin x ≤ 1 ;
- cos2 x + sin2 x = 1 (Pythagore dans le cercle de rayon 1) ;
- cos(x + 2π) = cos x et sin(x + 2π) = sin x (périodicité).
2. Valeurs remarquables
| x | 0 | π6 (30°) | π4 (45°) | π3 (60°) | π2 (90°) | π (180°) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| cos x | 1 | √32 | √22 | 12 | 0 | -1 |
| sin x | 0 | 12 | √22 | √32 | 1 | 0 |
| tan x | 0 | √33 | 1 | √3 | non définie | 0 |
Astuce de mémoire : de 0 à π2, le sinus vaut √02, √12, √22, √32, √42 ; le cosinus suit le même ordre à l'envers.
3. Les angles associés
Par des symétries du cercle, on obtient :
| Angle | cos | sin | Symétrie utilisée |
|---|---|---|---|
| -x | cos x | -sin x | par rapport à l'axe des abscisses |
| π - x | -cos x | sin x | par rapport à l'axe des ordonnées |
| π + x | -cos x | -sin x | par rapport à l'origine |
| π2 - x | sin x | cos x | par rapport à la droite y = x |
| π2 + x | -sin x | cos x | quart de tour |
Ainsi la fonction cosinus est paire et la fonction sinus est impaire.
Exemple
Calculer cos(2π/3), sin(5π/6), cos(−π/4) et sin(7π/6).
2π/3 = π − π/3, donc cos(2π/3) = −cos(π/3) = −1/2.
5π/6 = π − π/6, donc sin(5π/6) = sin(π/6) = 1/2.
cos(−π/4) = cos(π/4) = √2/2 (le cosinus est pair).
7π/6 = π + π/6, donc sin(7π/6) = −sin(π/6) = −1/2.
Exemple
Simplifier A = sin(π − x) + cos(π/2 − x) − 2 sin(π + x).
sin(π − x) = sin x ; cos(π/2 − x) = sin x ; sin(π + x) = −sin x.
A = sin x + sin x − 2(−sin x) = sin x + sin x + 2 sin x = 4 sin x.
4. Les formules d'addition
Pour tous réels a et b :
cos(a + b) = cos acos b - sin asin b ; cos(a - b) = cos acos b + sin asin b ;
sin(a + b) = sin acos b + cos asin b ; sin(a - b) = sin acos b - cos asin b.
La formule de cos(a - b) se démontre avec le produit scalaire : si u et v sont les vecteurs unitaires d'angles a et b, alors u(cos a ; sin a), v(cos b ; sin b) et u · v = cos(a - b) d'une part, cos acos b + sin asin b d'autre part. Les trois autres s'en déduisent avec les angles associés.
Pour la tangente (quand elle existe) : tan(a + b) = tan a + tan b1 - tan atan b.
Exemple
Calculer la valeur exacte de cos(π/12).
π/12 = π/3 − π/4 (car 4π/12 − 3π/12 = π/12).
cos(π/12) = cos(π/3)cos(π/4) + sin(π/3)sin(π/4)
= (1/2)(√2/2) + (√3/2)(√2/2)
= √2/4 + √6/4 = (√6 + √2)/4.
Contrôle : (2,449 + 1,414)/4 ≈ 0,966, et cos 15° ≈ 0,966. Juste.
5. Duplication et linéarisation
Avec a = b = x dans les formules d'addition :
sin 2x = 2sin xcos x ;
cos 2x = cos2 x - sin2 x = 2cos2 x - 1 = 1 - 2sin2 x.
On en déduit les formules de linéarisation (qui transforment un carré en expression du premier degré en cosinus) :
cos2 x = 1 + cos 2x2 et sin2 x = 1 - cos 2x2.
Exemple
On sait que sin x = 3/5 et que x est dans [π/2 ; π]. Calculer cos x, tan x, sin 2x et cos 2x.
cos² x = 1 − sin² x = 1 − 9/25 = 16/25. Dans [π/2 ; π], le cosinus est négatif : cos x = −4/5.
tan x = (3/5)/(−4/5) = −3/4.
sin 2x = 2 sin x cos x = 2 × 3/5 × (−4/5) = −24/25.
cos 2x = 1 − 2 sin² x = 1 − 18/25 = 7/25.
Contrôle : cos² x − sin² x = 16/25 − 9/25 = 7/25. Juste.
Méthode
Pour calculer une valeur exacte ou simplifier une expression trigonométrique :
- Je ramène l'angle à un angle remarquable avec les angles associés (π − x, π + x, −x, π/2 − x…).
- Si l'angle n'est pas remarquable, je l'écris comme somme ou différence d'angles remarquables (π/12 = π/3 − π/4).
- Si je connais sin x (ou cos x), je trouve l'autre avec cos² x + sin² x = 1, en choisissant le signe selon le quadrant.
- J'applique la formule d'addition ou de duplication adaptée.
- Je contrôle avec une valeur approchée.
3Je retiens
Je retiens
π rad = 180° ; cos x est l'abscisse et sin x l'ordonnée du point M associé à x sur le cercle trigonométrique.
cos² x + sin² x = 1 ; tan x = sin x / cos x.
cos(−x) = cos x ; sin(−x) = −sin x ; cos(π − x) = −cos x ; sin(π − x) = sin x ; cos(π + x) = −cos x ; sin(π + x) = −sin x ; cos(π/2 − x) = sin x ; sin(π/2 − x) = cos x.
cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b ; sin(a ± b) = sin a cos b ± cos a sin b.
sin 2x = 2 sin x cos x ; cos 2x = cos² x − sin² x = 2cos² x − 1 = 1 − 2sin² x.
cos² x = (1 + cos 2x)/2 ; sin² x = (1 − cos 2x)/2.
4Erreurs fréquentes
- Écrire cos(a + b) = cos a + cos b : c'est faux. Par exemple cos(π/2) = 0 alors que 2cos(π/4) = √2.
- Se tromper de signe dans cos(a + b) : c'est « cos cos MOINS sin sin » ; pour cos(a − b), c'est « plus ».
- Choisir le mauvais signe après cos² x + sin² x = 1 : il faut regarder dans quel quart du cercle se trouve x.
- Confondre degrés et radians sur la calculatrice : vérifie le mode avant tout calcul.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Convertis en radians : 30°, 135°, 270°. Convertis en degrés : 5π6, 7π4.
Voir le corrigéCacher le corrigé
30° = π6 ; 135° = 135π180 = 3π4 ; 270° = 3π2. 5π6 = 5 × 180°6 = 150° ; 7π4 = 7 × 180°4 = 315°.
2Exercice 2
Donne la valeur exacte de :
a) cos5π6 b) sin(-π3) c) cos4π3 d) tan3π4
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) cos5π6 = cos(π - π6) = -cosπ6 = -√32.
b) sin(-π3) = -sinπ3 = -√32.
c) cos4π3 = cos(π + π3) = -cosπ3 = -12.
d) cos3π4 = -√22 et sin3π4 = √22, donc tan3π4 = -1.
3Exercice 3
On sait que cos x = 513 et que x ∈ [-π2 ; 0]. Calcule sin x, tan x, sin 2x et cos 2x.
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sin2 x = 1 - 25169 = 144169. Sur [-π2 ; 0], le sinus est négatif : sin x = -1213.
tan x = -12/135/13 = -125.
sin 2x = 2 × (-1213) × 513 = -120169.
cos 2x = 2cos2 x - 1 = 50169 - 1 = -119169.
Contrôle : 1192 + 1202 = 14 161 + 14 400 = 28 561 = 1692, donc cos2 2x + sin2 2x = 1.
4Exercice 4
Calcule la valeur exacte de sinπ12 et de cos7π12.
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sinπ12 = sin(π3 - π4) = √32 × √22 - 12 × √22 = √6 - √24 (≈ 0,259).
cos7π12 = cos(π3 + π4) = 12 × √22 - √32 × √22 = √2 - √64 (≈ −0,259).
5Exercice 5
a) Simplifie B = cos(π - x) + cos(π + x) + sin(π2 + x) - sin(π2 - x).
b) Démontre que, pour tout réel x, (cos x + sin x)2 = 1 + sin 2x.
c) Démontre que cos4 x - sin4 x = cos 2x.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) cos(π - x) = -cos x ; cos(π + x) = -cos x ; sin(π2 + x) = cos x ; sin(π2 - x) = cos x.
B = -cos x - cos x + cos x - cos x = -2cos x.
b) (cos x + sin x)2 = cos2 x + 2sin xcos x + sin2 x = 1 + sin 2x.
c) cos4 x - sin4 x = (cos2 x - sin2 x)(cos2 x + sin2 x) = (cos2 x - sin2 x) × 1 = cos 2x.
6Exercice 6
(Type examen)
a) À l'aide d'une formule de linéarisation, calcule cos2π8.
b) Déduis-en la valeur exacte de cosπ8.
c) Calcule de même sinπ8.
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a) cos2π8 = 1 + cosπ42 = 1 + √222 = 2 + √24.
b) π8 ∈ [0 ; π2], donc cosπ8 > 0 et cosπ8 = √2 + √22 (≈ 0,924).
c) sin2π8 = 1 - √222 = 2 - √24 et sinπ8 > 0, donc sinπ8 = √2 - √22 (≈ 0,383).
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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