Géométrie de l'espace

1. Les règles d'incidence

Dans l'espace, on admet les règles suivantes :

• Par deux points distincts passe une seule droite.
• Par trois points non alignés passe un seul plan. Un plan peut donc être désigné par trois de ses points non alignés : le plan (ABC).
• Si deux points distincts A et B sont dans un plan P, alors toute la droite (AB) est contenue dans P.
• Si deux plans distincts ont un point commun, leur intersection est une droite passant par ce point.
• Dans chaque plan de l'espace, tous les théorèmes de géométrie plane s'appliquent (Pythagore, Thalès…).

Un plan est aussi déterminé par une droite et un point extérieur à cette droite, par deux droites sécantes, ou par deux droites parallèles distinctes.

2. La perspective cavalière

Pour représenter un solide sur une feuille, on utilise la perspective cavalière : les faces de face sont dessinées en vraie grandeur, les arêtes « fuyantes » sont tracées obliquement et raccourcies, les arêtes cachées sont en pointillés. Elle conserve le parallélisme et les milieux, mais pas les angles ni toutes les longueurs : un angle droit peut apparaître aigu sur le dessin.

3. Positions relatives

Deux droites de l'espace sont :

• soit coplanaires (dans un même plan) : elles sont alors sécantes (un point commun) ou parallèles (confondues ou sans point commun) ;
• soit non coplanaires : aucun plan ne les contient, et elles n'ont aucun point commun.

Attention : dans l'espace, deux droites sans point commun ne sont pas forcément parallèles. Dans le cube, (AB) et (CG) ne se coupent pas et ne sont pas parallèles : elles sont non coplanaires.

Une droite et un plan : la droite est contenue dans le plan, ou sécante au plan (un seul point commun), ou strictement parallèle au plan (aucun point commun).

Deux plans : ils sont sécants (leur intersection est une droite) ou parallèles (confondus ou sans point commun).

4. Théorèmes de parallélisme

• T1. Si une droite d est parallèle à une droite d' contenue dans un plan P, alors d est parallèle à P.
• T2. Si un plan P contient deux droites sécantes parallèles à un plan Q, alors P et Q sont parallèles.
• T3. Si deux plans sont parallèles, tout plan qui coupe l'un coupe l'autre, et les deux droites d'intersection sont parallèles.
• T4 (théorème du toit). Si d et d' sont deux droites parallèles, d contenue dans un plan P, d' contenue dans un plan P', et si P et P' sont sécants selon une droite Δ, alors Δ est parallèle à d et à d'.

Le nom vient de l'image d'un toit : les deux pans se coupent selon la ligne de faîte, parallèle aux bords du toit.

5. Orthogonalité

Deux droites sont orthogonales si leurs parallèles menées par un même point sont perpendiculaires. Elles ne sont pas forcément sécantes : dans le cube, (AB) et (CG) sont orthogonales (car (CG) // (BF) et (AB) ⊥ (BF)) sans se couper. Le mot « perpendiculaires » est réservé à deux droites orthogonales et sécantes.

Définition. Une droite d est orthogonale à un plan P si elle est orthogonale à toutes les droites de P.

Théorème (critère pratique). Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.

C'est exactement ce que fait Ousmane : il vérifie l'angle droit dans deux directions différentes du sol. Une seule direction ne suffit pas, car un pilier penché peut rester perpendiculaire à une ligne du sol.

Conséquence très utilisée : si d ⊥ P, alors d est orthogonale à n'importe quelle droite de P.

6. Longueurs et volumes

Dans un cube d'arête a : diagonale d'une face a√2 ; grande diagonale a√3. En effet, dans le triangle ACG rectangle en C (car (CG) ⊥ (ABC)) : AG² = AC² + CG² = 2a² + a² = 3a².