Karamö, le prof virtuelLeçon 22 sur 22
Probabilités
Je sais décrire une expérience aléatoire, calculer la probabilité d'un événement dans une situation d'équiprobabilité et utiliser les règles de calcul (contraire, réunion, intersection).
- 1 h 10
- 6 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Décrire une expérience aléatoire, son univers et ses événements
- Calculer une probabilité dans une situation d'équiprobabilité en dénombrant les issues
- Utiliser un arbre ou un tableau à double entrée pour dénombrer
- Appliquer les formules P(Ā) = 1 − P(A) et P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Avant de commencer : Fractions et pourcentages, ensembles (réunion, intersection), statistiques du collège (fréquences).
1Je découvre
Pour financer la sortie de fin d'année, le club scientifique d'un lycée de N'Zérékoré organise une tombola. On vend 200 billets numérotés de 1 à 200, et on tirera au sort 5 billets gagnants, tous différents.
Kadiatou achète un billet. Son frère Mamadou en achète quatre. Kadiatou demande : « Quelle chance ai-je de gagner ? Et Mamadou a-t-il vraiment quatre fois plus de chances que moi ? »
Leur ami Ibrahima ajoute une autre question : « Au jeu de dés de la récréation, on lance deux dés et on additionne. Pourquoi le 7 sort-il plus souvent que le 12 ? »
On ne peut jamais prévoir le résultat d'un tirage au sort. Pourtant, on peut mesurer la chance qu'un résultat se produise, par un nombre entre 0 et 1.
Comment calculer la probabilité d'un événement, et quelles règles permettent de combiner les probabilités ?
2Je comprends
1. Expérience aléatoire, univers, événements
Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît tous les résultats possibles, mais dont on ne peut pas prévoir le résultat à l'avance (lancer un dé, tirer une boule dans une urne, tirer un billet de tombola).
- Chaque résultat possible est une issue (ou éventualité).
- L'ensemble de toutes les issues est l'univers, noté Ω (lettre grecque « oméga »).
- Un événement est une partie de l'univers. Il est réalisé si l'issue obtenue lui appartient.
- Un événement formé d'une seule issue est un événement élémentaire.
- Ω est l'événement certain ; ∅ est l'événement impossible.
Exemple : on lance un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}. L'événement A « obtenir un nombre pair » est A = {2 ; 4 ; 6}.
2. Opérations sur les événements
| Événement | Notation | Se lit | Réalisé quand… |
|---|---|---|---|
| Contraire de A | A | « non A » | A n'est pas réalisé |
| Intersection | A ∩ B | « A et B » | A et B sont réalisés tous les deux |
| Réunion | A ∪ B | « A ou B » | au moins l'un des deux est réalisé |
Deux événements sont incompatibles s'ils ne peuvent pas être réalisés en même temps : A ∩ B = ∅.
3. Probabilité et équiprobabilité
Une probabilité associe à chaque événement A un nombre P(A) tel que :
- 0 ≤ P(A) ≤ 1 ;
- P(Ω) = 1 et P(∅) = 0 ;
- P(A) est la somme des probabilités des issues qui composent A.
Quand toutes les issues ont la même probabilité (dé bien équilibré, pièce non truquée, tirage « au hasard »), on dit qu'il y a équiprobabilité. Alors :
P(A) = nombre d'issues favorables à Anombre total d'issues = card(A)card(Ω).
Le mot card (cardinal) désigne le nombre d'éléments d'un ensemble.
Retour à la tombola : chaque billet a la même chance d'être tiré, et 5 billets sur 200 gagnent. La probabilité qu'un billet donné soit gagnant est 5200 = 140 = 0,025, soit 2,5 %. Kadiatou a donc une chance sur 40 de gagner. (Pour Mamadou, avec quatre billets, le calcul exact demande des outils de dénombrement que tu verras plus tard ; sa probabilité de gagner au moins un lot est un peu inférieure à 4 fois 2,5 %, car ses billets peuvent sortir ensemble.)
Lien avec les statistiques : si l'on répète une expérience un très grand nombre de fois, la fréquence d'apparition d'un événement se rapproche de sa probabilité.
4. Règles de calcul
Pour tous événements A et B :
- Contraire : P(A) = 1 - P(A).
- Réunion : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B).
- Si A et B sont incompatibles : P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
Dans la formule de la réunion, on soustrait P(A ∩ B) parce que les issues communes ont été comptées deux fois.
Exemple
On lance un dé équilibré. A : « obtenir un nombre pair » ; B : « obtenir au moins 5 ». Calculer P(A), P(B), P(A ∩ B), P(A ∪ B) et P(Ā).
A = {2 ; 4 ; 6}, donc P(A) = 3/6 = 1/2.
B = {5 ; 6}, donc P(B) = 2/6 = 1/3.
A ∩ B = {6}, donc P(A ∩ B) = 1/6.
P(A ∪ B) = 1/2 + 1/3 − 1/6 = 3/6 + 2/6 − 1/6 = 4/6 = 2/3.
Contrôle : A ∪ B = {2 ; 4 ; 5 ; 6}, soit 4 issues sur 6. Juste.
P(Ā) = 1 − 1/2 = 1/2 (Ā = {1 ; 3 ; 5}).
5. Dénombrer avec un tableau ou un arbre
Pour deux dés, on utilise un tableau à double entrée : la ligne donne le premier dé, la colonne le second, chaque case la somme. Il y a 6 × 6 = 36 issues équiprobables (on distingue les deux dés, par exemple par leur couleur).
| + | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
La somme 7 apparaît 6 fois : P(somme = 7) = 636 = 16. La somme 12 n'apparaît qu'une fois : P(somme = 12) = 136. Voilà la réponse à Ibrahima.
Pour des expériences successives, on utilise un arbre : chaque chemin est une issue.
Exemple
Une urne contient 3 boules rouges (R) et 2 boules vertes (V). On tire une boule, on ne la remet pas, puis on en tire une seconde. Quelle est la probabilité d'obtenir deux boules rouges ?
On numérote les boules R1, R2, R3, V1, V2 pour que toutes les issues soient équiprobables.
Premier tirage : 5 possibilités. Second tirage : il reste 4 boules, donc 4 possibilités.
Nombre total d'issues (tirages ordonnés) : 5 × 4 = 20.
Issues favorables : 3 choix pour la 1re rouge, puis 2 choix pour la 2e rouge : 3 × 2 = 6.
P(deux rouges) = 6/20 = 3/10.
- 1Je décris l'expérience et je vérifie que les issues sont équiprobables (numéroter les objets si besoin).
- 2Je dénombre toutes les issues : liste, tableau à double entrée ou arbre.
- 3J'écris l'événement A en français, puis la liste (ou le nombre) de ses issues.
- 4Je calcule P(A) = card(A) / card(Ω) et je simplifie la fraction.
- 5Si « au moins un » ou « aucun » apparaît, je pense à l'événement contraire : P(A) = 1 − P(Ā).
Méthode
Pour réussir un exercice de probabilités :
- J'écris clairement l'univers Ω et son nombre d'issues.
- Je nomme chaque événement par une lettre et je le décris par ses issues.
- J'utilise P(A) = card(A)/card(Ω) en situation d'équiprobabilité.
- Pour « A ou B », j'utilise P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) ; pour « non A », P(Ā) = 1 − P(A).
- Je vérifie que chaque probabilité est entre 0 et 1.
3Je retiens
Je retiens
Univers Ω : ensemble des issues ; événement : partie de Ω.
0 ≤ P(A) ≤ 1 ; P(Ω) = 1 ; P(∅) = 0.
Équiprobabilité : P(A) = card(A)/card(Ω) = issues favorables / issues possibles.
P(Ā) = 1 − P(A).
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) ; si A et B sont incompatibles, P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
Deux dés : 36 issues ; tirages successifs sans remise de 2 objets parmi n : n × (n − 1) issues ordonnées.
4Erreurs fréquentes
- Croire que les sommes de deux dés (2, 3, …, 12) sont équiprobables : il y a 11 sommes mais 36 issues équiprobables, et le 7 est six fois plus probable que le 12.
- Oublier de soustraire P(A ∩ B) dans P(A ∪ B) : les issues communes seraient comptées deux fois.
- Trouver une probabilité supérieure à 1 ou négative : c'est le signe d'une erreur de calcul.
- Dans un tirage sans remise, garder le même nombre de boules au second tirage : il y en a une de moins.
5Je m’exerce
1Exercice 1
On lance un dé équilibré à six faces.
a) Donne l'univers et son nombre d'issues.
b) Calcule la probabilité des événements A : « obtenir un multiple de 3 » et B : « obtenir un nombre premier ».
c) Décris B et calcule sa probabilité.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}, 6 issues équiprobables.
b) A = {3 ; 6}, P(A) = 26 = 13. B = {2 ; 3 ; 5} (1 n'est pas premier), P(B) = 36 = 12.
c) B : « obtenir un nombre qui n'est pas premier » = {1 ; 4 ; 6}. P(B) = 1 - 12 = 12.
2Exercice 2
Une urne contient 4 boules rouges, 6 boules noires et 5 boules blanches, indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard. Calcule la probabilité d'obtenir :
a) une boule rouge ; b) une boule qui n'est pas noire ; c) une boule jaune.
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Il y a 4 + 6 + 5 = 15 boules, donc 15 issues équiprobables.
a) P(rouge) = 415.
b) P(non noire) = 1 - 615 = 915 = 35.
c) Il n'y a pas de boule jaune : événement impossible, probabilité 0.
3Exercice 3
On lance trois fois de suite une pièce équilibrée et on note la suite des résultats (P pour pile, F pour face).
a) À l'aide d'un arbre, donne toutes les issues. Combien y en a-t-il ?
b) Calcule la probabilité d'obtenir exactement deux fois face.
c) Calcule la probabilité d'obtenir au moins une fois pile.
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a) À chaque lancer, 2 branches : 2 × 2 × 2 = 8 issues : PPP, PPF, PFP, PFF, FPP, FPF, FFP, FFF.
b) Exactement deux faces : PFF, FPF, FFP, soit 3 issues. Probabilité 38.
c) Le contraire de « au moins un pile » est « aucun pile », c'est-à-dire FFF, de probabilité 18. Donc P = 1 - 18 = 78.
4Exercice 4
Dans une classe de 11e de 40 élèves à Boké, 25 élèves jouent au football, 15 au basket-ball, et 8 pratiquent les deux sports. On choisit un élève au hasard. On note F : « l'élève joue au football » et B : « l'élève joue au basket-ball ».
a) Calcule P(F), P(B) et P(F ∩ B).
b) Calcule la probabilité que l'élève pratique au moins un des deux sports.
c) Calcule la probabilité qu'il ne pratique aucun des deux sports.
d) Calcule la probabilité qu'il joue au football mais pas au basket-ball.
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a) P(F) = 2540 = 58 ; P(B) = 1540 = 38 ; P(F ∩ B) = 840 = 15.
b) P(F ∪ B) = 2540 + 1540 - 840 = 3240 = 45.
c) P(F ∪ B) = 1 - 45 = 15 (8 élèves ne pratiquent aucun des deux sports).
d) Élèves qui jouent au football sans jouer au basket : 25 - 8 = 17. Probabilité 1740.
5Exercice 5
(Type examen) On lance deux dés équilibrés, un rouge et un vert, et on s'intéresse à la somme des deux faces.
a) Combien y a-t-il d'issues ? Sont-elles équiprobables ?
b) Calcule la probabilité des événements A : « la somme vaut 8 », B : « la somme est au moins égale à 10 », C : « obtenir un double ».
c) Calcule P(A ∩ C) puis P(A ∪ C).
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a) 6 × 6 = 36 issues (couples (dé rouge ; dé vert)), équiprobables car les dés sont équilibrés.
b) Somme 8 : (2 ; 6), (3 ; 5), (4 ; 4), (5 ; 3), (6 ; 2), soit 5 issues : P(A) = 536.
Somme au moins 10 : somme 10 (3 issues), 11 (2 issues), 12 (1 issue), soit 6 issues : P(B) = 636 = 16.
Doubles : (1 ; 1), (2 ; 2), …, (6 ; 6), soit 6 issues : P(C) = 16.
c) A ∩ C : double de somme 8, c'est (4 ; 4). P(A ∩ C) = 136.
P(A ∪ C) = 536 + 636 - 136 = 1036 = 518.
6Exercice 6
Une urne contient 3 boules rouges et 2 boules vertes. On tire successivement et sans remise deux boules.
a) Calcule la probabilité que les deux boules soient de la même couleur.
b) Déduis-en la probabilité d'obtenir deux boules de couleurs différentes.
Voir le corrigéCacher le corrigé
On numérote les boules. Tirages ordonnés sans remise : 5 × 4 = 20 issues équiprobables.
a) Deux rouges : 3 × 2 = 6 issues ; deux vertes : 2 × 1 = 2 issues. Même couleur : 6 + 2 = 8 issues. P = 820 = 25.
b) C'est l'événement contraire : P = 1 - 25 = 35.
Contrôle direct : rouge puis verte 3 × 2 = 6, verte puis rouge 2 × 3 = 6, soit 1220 = 35.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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