Karamö, le prof virtuelLeçon 16 sur 21
Équilibre d'un solide soumis à des forces concourantes
Je sais écrire et utiliser les conditions d'équilibre d'un solide soumis à deux ou trois forces, pour calculer une force inconnue par la méthode graphique ou par projection.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Énoncer les conditions d'équilibre d'un solide soumis à deux forces, puis à trois forces non parallèles
- Faire le bilan des forces et les représenter
- Résoudre un problème d'équilibre par la méthode graphique (triangle des forces)
- Résoudre un problème d'équilibre par projection sur deux axes
Avant de commencer : La force et la somme vectorielle ; masse et poids ; les forces de contact (réaction, tension) ; le principe de l'inertie ; les relations trigonométriques dans le triangle rectangle.
1Je découvre
Dans la cour de l'école, à Faranah, les élèves préparent la fête de fin d'année. Lansana doit accrocher une grosse lampe au milieu d'une corde tendue entre deux poteaux. Sa camarade Hawa lui conseille : « Tends la corde le plus possible, bien horizontale, ce sera plus joli ! » Lansana tire de toutes ses forces… et la corde finit par casser, alors que la lampe n'est pas si lourde.
Le professeur de physique, qui passait, sourit : « Plus la corde est proche de l'horizontale, plus elle doit tirer fort pour porter la lampe. Il faut savoir calculer la tension avant d'accrocher. »
Un peu plus loin, Sékou retient une brouette chargée de briques sur une pente, à l'aide d'une corde parallèle au sol. Lui aussi se demande quelle force il doit fournir.
À quelles conditions un solide soumis à plusieurs forces reste-t-il en équilibre, et comment calculer une force inconnue à partir de ces conditions ?
2Je comprends
1. Qu'est-ce qu'un solide en équilibre ?
Un solide est en équilibre dans un référentiel (en général le référentiel terrestre) lorsque tous ses points sont immobiles dans ce référentiel. Son centre d'inertie G est donc au repos, et le solide ne tourne pas.
Dans cette leçon, toutes les forces sont concourantes : leurs droites d'action passent par un même point. Elles ne peuvent donc pas faire tourner le solide ; seule compte la condition sur leur somme.
2. Condition d'équilibre : la somme des forces est nulle
D'après la réciproque du principe de l'inertie (leçon précédente), si le centre d'inertie d'un solide est au repos, les forces extérieures se compensent.
Condition d'équilibre. Un solide soumis à des forces extérieures concourantes est en équilibre (s'il est immobile au départ) lorsque :
Σ Fext = 0
3. Solide soumis à deux forces
Un solide soumis à deux forces F1 et F2 est en équilibre si F1 + F2 = 0, c'est-à-dire si les deux forces ont :
- la même droite d'action ;
- des sens contraires ;
- la même intensité : F1 = F2.
Exemple : une lampe suspendue à un seul fil. Le poids P et la tension T ont la même droite d'action (la verticale passant par le point d'attache et par G), des sens contraires et T = P. C'est ce qui permet au fil à plomb d'indiquer la verticale.
4. Solide soumis à trois forces non parallèles
Si un solide soumis à trois forces non parallèles F1, F2, F3 est en équilibre, alors :
- les trois forces sont coplanaires (dans un même plan) ;
- leurs droites d'action sont concourantes (elles se coupent en un même point) ;
- leur somme vectorielle est nulle : F1 + F2 + F3 = 0.
Géométriquement, la dernière condition signifie que, si l'on place les trois vecteurs bout à bout, on obtient un triangle fermé : c'est le triangle des forces (ou dynamique).
5. Deux méthodes de résolution
La méthode graphique. On trace le triangle des forces à l'échelle, en partant de la force entièrement connue (souvent le poids), puis en traçant les directions connues des deux autres. On mesure les côtés à la règle et on les convertit en newtons. Elle est rapide mais peu précise.
La méthode analytique (projection). On choisit un repère de deux axes perpendiculaires (Ox, Oy), on projette la relation vectorielle Σ F = 0 sur chaque axe et on résout le système de deux équations obtenu. Elle est précise ; c'est celle qu'on attend à l'examen.
Méthode
Pour résoudre un problème d'équilibre :
- Je précise le système étudié et le référentiel (terrestre).
- Je fais le bilan des forces extérieures et je les représente sur un schéma (point d'application, direction, sens).
- J'écris la condition d'équilibre : somme vectorielle des forces = vecteur nul.
- Je choisis deux axes perpendiculaires bien adaptés (souvent l'un parallèle à une force inconnue).
- Je projette chaque force sur chaque axe, avec le bon signe (cos pour l'angle adjacent, sin pour l'angle opposé).
- Je résous le système et je vérifie le résultat (unité, ordre de grandeur, cas limite).
Exemple
Une lampe de masse m = 2 kg est suspendue au milieu d'une corde. Chaque moitié de corde fait un angle de 30° avec la verticale (g = 9,8 N/kg). Calculer la tension de chaque brin.
Système : la lampe (ou le point O d'accrochage). Forces : le poids P (vertical, vers le bas, P = 2 × 9,8 = 19,6 N), les tensions T1 et T2 des deux brins.
Équilibre : P + T1 + T2 = 0 (vecteurs).
Projection sur l'axe horizontal : − T1 sin 30° + T2 sin 30° = 0, donc T1 = T2 = T.
Projection sur l'axe vertical (vers le haut) : T cos 30° + T cos 30° − P = 0, donc 2T cos 30° = P.
T = P / (2 cos 30°) = 19,6 / (2 × 0,866) = 19,6 / 1,732 ≈ 11,3 N.
Remarque : si chaque brin faisait 80° avec la verticale (corde presque horizontale), on aurait T = 19,6 / (2 × cos 80°) = 19,6 / (2 × 0,174) ≈ 56 N. Voilà pourquoi la corde de Lansana a cassé : plus elle est horizontale, plus la tension est grande.
Exemple
Une caisse de masse m = 4 kg est maintenue immobile sur un plan incliné de 30°, sans frottement, par un fil parallèle au plan (g = 10 N/kg). Calculer la tension du fil et la réaction du plan.
Forces : le poids P (P = 40 N, vertical), la tension T (parallèle au plan, vers le haut de la pente), la réaction R (perpendiculaire au plan, car il n'y a pas de frottement).
On choisit l'axe x parallèle au plan (vers le haut de la pente) et l'axe y perpendiculaire au plan. Le poids fait un angle de 30° avec l'axe y.
Sur x : T − P sin 30° = 0, donc T = 40 × 0,5 = 20 N.
Sur y : R − P cos 30° = 0, donc R = 40 × 0,866 ≈ 34,6 N.
Vérification : T² + R² = 400 + 1 200 = 1 600 = P². Les trois forces forment bien un triangle rectangle fermé.
6. Bien choisir ses axes
Dans le deuxième exemple, choisir l'axe x parallèle au plan incliné a rendu les calculs très simples : chaque équation ne contient qu'une inconnue. Règle pratique : aligne un axe avec une force inconnue, et l'autre axe perpendiculairement.
Pour les angles : l'angle entre le poids (vertical) et la normale au plan incliné est égal à l'angle d'inclinaison α du plan. Les composantes du poids sont donc Psinα (parallèle au plan, vers le bas de la pente) et Pcosα (perpendiculaire au plan).
- 1Système et référentiel.
- 2Bilan des forces extérieures et schéma.
- 3Condition d'équilibre : somme des vecteurs forces égale au vecteur nul.
- 4Choix des axes et projections.
- 5Résolution et vérification.
3Je retiens
Je retiens
Un solide soumis à des forces concourantes est en équilibre si la somme vectorielle des forces extérieures est nulle (et s'il est immobile au départ).
Deux forces : même droite d'action, sens contraires, même intensité.
Trois forces non parallèles : coplanaires, concourantes, et leur somme est nulle (triangle des forces fermé).
Méthode graphique : triangle des forces à l'échelle ; méthode analytique : projection sur deux axes perpendiculaires.
Plan incliné d'angle α : composantes du poids P sin α (le long du plan) et P cos α (perpendiculaire au plan).
Lampe suspendue à deux brins symétriques faisant l'angle θ avec la verticale : T = P / (2 cos θ).
4Erreurs fréquentes
- Écrire T1 + T2 = P avec des nombres alors que les forces n'ont pas la même direction : la relation est vectorielle, il faut projeter.
- Confondre sinus et cosinus : le cosinus va avec l'angle adjacent à l'axe de projection, le sinus avec l'angle opposé. Fais un petit dessin.
- Oublier le signe d'une projection : une composante dirigée dans le sens contraire de l'axe est négative.
- Oublier une force dans le bilan, en particulier la réaction du support ou le poids.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Une calebasse de 1,5 kg est suspendue à un crochet par un fil (g = 9,8 N/kg).
a) Fais le bilan des forces qui s'exercent sur la calebasse.
b) Écris la condition d'équilibre et calcule la tension du fil.
c) Donne les caractéristiques de la tension.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Le poids P (exercé par la Terre) et la tension T du fil.
b) Équilibre : P + T = 0, donc T = P = 1,5 × 9,8 = 14,7 N.
c) Point d'application : le point d'attache du fil sur la calebasse ; direction : verticale (celle du fil) ; sens : vers le haut ; intensité : 14,7 N.
2Exercice 2
Une petite boule de masse 0,5 kg, suspendue à un fil, est écartée de la verticale par une force horizontale F. À l'équilibre, le fil fait un angle de 30° avec la verticale (g = 10 N/kg). Calcule l'intensité de F et la tension du fil. (On donne tan 30° ≈ 0,577 et cos 30° ≈ 0,866.)
Voir le corrigéCacher le corrigé
Forces : P (vertical, P = 0,5 × 10 = 5 N), F (horizontale), T (suivant le fil, à 30° de la verticale).
Sur l'axe vertical : Tcos 30° - P = 0, donc T = 50,866 ≈ 5,77 N.
Sur l'axe horizontal : F - Tsin 30° = 0, donc F = Tsin 30° = Ptan 30° = 5 × 0,577 ≈ 2,89 N.
3Exercice 3
Une boule de masse 3 kg est suspendue par un fil contre un mur vertical parfaitement lisse. Le fil fait un angle de 30° avec le mur (g = 10 N/kg).
a) Fais le bilan des forces. Quelle est la direction de la réaction du mur ?
b) Calcule la tension du fil et la réaction du mur.
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a) Le poids P (P = 30 N), la tension T du fil, la réaction R du mur. Le mur est lisse (sans frottement) : R est perpendiculaire au mur, donc horizontale, dirigée du mur vers la boule.
b) Sur la verticale : Tcos 30° - P = 0, donc T = 300,866 ≈ 34,6 N.
Sur l'horizontale : R - Tsin 30° = 0, donc R = 34,6 × 0,5 ≈ 17,3 N.
4Exercice 4
Un solide de masse 6 kg est maintenu immobile sur un plan incliné sans frottement d'angle α = 20° par un fil parallèle au plan (g = 9,8 N/kg ; sin 20° ≈ 0,342 ; cos 20° ≈ 0,940). Calcule la tension du fil et la réaction du plan.
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P = 6 × 9,8 = 58,8 N. Axe x parallèle au plan, axe y perpendiculaire.
Sur x : T - Psin 20° = 0, donc T = 58,8 × 0,342 ≈ 20,1 N.
Sur y : R - Pcos 20° = 0, donc R = 58,8 × 0,940 ≈ 55,3 N.
5Exercice 5
(Type examen) Un panneau de poids P = 100 N est suspendu en un point O à deux câbles OA et OB attachés au plafond. Le câble OA fait un angle de 30° avec l'horizontale et le câble OB un angle de 60° avec l'horizontale, de l'autre côté.
a) Représente les trois forces qui s'exercent au point O.
b) Écris la condition d'équilibre et projette-la sur un axe horizontal et sur un axe vertical.
c) Calcule les tensions TA et TB des deux câbles.
d) Vérifie ton résultat en remarquant que les deux câbles sont perpendiculaires.
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a) Au point O : P vertical vers le bas ; TA dirigée de O vers A (à 30° au-dessus de l'horizontale, d'un côté) ; TB dirigée de O vers B (à 60° au-dessus de l'horizontale, de l'autre côté).
b) Équilibre : P + TA + TB = 0.
Axe horizontal (vers B) : -TAcos 30° + TBcos 60° = 0.
Axe vertical (vers le haut) : TAsin 30° + TBsin 60° - P = 0.
c) De la première équation : TB = TA cos 30°cos 60° = TA 0,8660,5 = 1,732 TA.
Dans la deuxième : 0,5 TA + 1,732 × 0,866 TA = 100, soit 0,5 TA + 1,5 TA = 100, donc 2 TA = 100 et TA = 50 N.
TB = 1,732 × 50 ≈ 86,6 N.
d) L'angle entre les câbles vaut 180° - 30° - 60° = 90° : ils sont perpendiculaires. Le triangle des forces est rectangle, d'hypoténuse P : TA = Psin 30° = 50 N et TB = Pcos 30° ≈ 86,6 N. De plus 502 + 86,62 ≈ 2 500 + 7 500 = 10 000 = 1002. Les résultats concordent.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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