Karamö, le prof virtuelLeçon 17 sur 21
Équilibre d'un solide mobile autour d'un axe fixe
Je sais calculer le moment d'une force par rapport à un axe et utiliser le théorème des moments pour trouver une force ou une distance inconnue dans un levier, une porte, une brouette ou une balance.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Reconnaître les forces qui peuvent faire tourner un solide autour d'un axe fixe
- Calculer le moment d'une force et d'un couple de forces par rapport à un axe
- Énoncer et appliquer le théorème des moments
- Résoudre des problèmes de leviers et de barres en équilibre
Avant de commencer : La force et ses caractéristiques, masse et poids, le centre d'inertie, l'équilibre d'un solide soumis à des forces concourantes, le sinus d'un angle.
1Je découvre
À Boffa, Ousmane veut déplacer un gros bloc de pierre pour construire le muret de la cour. À mains nues, impossible : le bloc est bien trop lourd. Son oncle Ibrahima glisse sous le bloc le bout d'une longue barre de fer, pose une petite pierre sous la barre, tout près du bloc, puis appuie à l'autre extrémité. Le bloc se soulève, presque sans effort !
« Plus tu appuies loin de la petite pierre, moins tu as besoin de forcer », explique l'oncle.
Le soir, en rentrant, Ousmane remarque d'autres objets qui tournent : la porte de la maison qu'on pousse près de la poignée et non près des gonds, le robinet de la borne-fontaine, la brouette dont la roue sert d'axe, la balançoire à bascule où sa petite sœur Mariama, plus légère, s'assoit plus loin du milieu que lui pour faire l'équilibre.
Qu'est-ce qui détermine l'effet de rotation d'une force, et à quelle condition un solide qui peut tourner autour d'un axe reste-t-il en équilibre ?
2Je comprends
1. Solide mobile autour d'un axe fixe
Un solide mobile autour d'un axe fixe ne peut que tourner autour de cet axe, noté Δ. Exemples : une porte (axe : les gonds), une roue, un robinet, une barre de levier posée sur un appui, le fléau d'une balance.
L'expérience montre que l'effet de rotation d'une force dépend :
- de son intensité (on pousse plus fort, ça tourne mieux) ;
- de la distance entre l'axe et la droite d'action de la force (pousser la porte près de la poignée est plus efficace que près des gonds) ;
- de sa direction.
Une force ne fait pas tourner le solide si :
- sa droite d'action passe par l'axe (pousser la porte vers les gonds) ;
- elle est parallèle à l'axe (tirer la porte vers le haut).
2. Le moment d'une force
Le moment d'une force F par rapport à un axe Δ (perpendiculaire au plan de la force) mesure son effet de rotation :
mathcalM_Δ(F) = ± F × d
- F : intensité de la force, en newtons (N) ;
- d : bras de levier, c'est-à-dire la distance entre l'axe et la droite d'action de la force (longueur de la perpendiculaire), en mètres (m) ;
- mathcalM : en newton-mètres (N·m).
Le signe. On choisit un sens de rotation positif (par exemple le sens contraire des aiguilles d'une montre). Le moment est positif si la force tend à faire tourner le solide dans ce sens, négatif sinon.
Attention au bras de levier. Si la force est appliquée en un point A situé à la distance OA = r de l'axe et fait un angle α avec la barre, alors d = r sinα. Si la force est perpendiculaire à la barre, d = r ; si elle est dirigée le long de la barre, d = 0 et le moment est nul.
Exemple
Aïssatou pousse une porte perpendiculairement, avec une force de 20 N, à 0,8 m des gonds. Puis elle tire sur la poignée avec 50 N, mais selon une direction qui fait un angle de 30° avec la porte, à 0,6 m des gonds. Calculer le moment dans chaque cas.
Premier cas : d = 0,8 m (force perpendiculaire). M = 20 × 0,8 = 16 N·m.
Second cas : d = 0,6 × sin 30° = 0,6 × 0,5 = 0,3 m. M = 50 × 0,3 = 15 N·m.
Malgré une force plus grande, l'effet de rotation est un peu plus faible, car la force est mal orientée.
3. Le couple de forces
Un couple de forces est un ensemble de deux forces parallèles, de sens contraires, de même intensité F, mais de droites d'action différentes. Leur somme est nulle, mais elles font tourner le solide. Exemples : les deux mains sur le volant d'un camion, les doigts qui ouvrent un robinet ou qui tournent une clé.
Le moment d'un couple ne dépend pas de la position de l'axe :
mathcalM = ± F × d, où d est la distance entre les deux droites d'action.
4. Le théorème des moments
Théorème des moments. Lorsqu'un solide mobile autour d'un axe fixe est en équilibre, la somme algébrique des moments, par rapport à cet axe, de toutes les forces extérieures qui s'exercent sur lui est nulle :
Σ mathcalM_Δ(Fext) = 0
De plus, comme le centre d'inertie est immobile, la somme vectorielle des forces est nulle : Σ Fext = 0. Cette seconde condition permet de calculer la réaction de l'axe (la force exercée par l'axe ou l'appui sur le solide). Le moment de cette réaction est nul, car sa droite d'action passe par l'axe : c'est pourquoi on choisit toujours d'écrire les moments par rapport à l'axe de rotation.
Méthode
Pour appliquer le théorème des moments :
- Je précise le système et l'axe de rotation Δ ; je choisis un sens positif de rotation.
- Je fais le bilan des forces extérieures, sans oublier le poids (appliqué en G) et la réaction de l'axe.
- Pour chaque force, je trouve le bras de levier d (distance de l'axe à la droite d'action).
- Je calcule chaque moment avec son signe ; le moment de la réaction de l'axe est nul.
- J'écris que la somme des moments est nulle et je résous.
- Si on me demande la réaction de l'axe, j'écris en plus que la somme vectorielle des forces est nulle.
Exemple
L'oncle d'Ousmane soulève un bloc de poids 600 N avec une barre de fer. La petite pierre (l'appui O) est à 0,2 m du point où le bloc appuie sur la barre, et il appuie verticalement à 1,5 m de O, de l'autre côté. Quelle force minimale doit-il exercer ? (On néglige le poids de la barre.)
Axe : l'appui O. Forces sur la barre : la force exercée par le bloc (600 N, vers le bas, bras de levier 0,2 m), la force F de l'oncle (vers le bas, bras de levier 1,5 m), la réaction de l'appui (moment nul).
Sens positif choisi : celui dans lequel tourne la force de l'oncle.
Théorème des moments : F × 1,5 − 600 × 0,2 = 0, donc F = 120 / 1,5 = 80 N.
Il suffit d'une force de 80 N, soit 7,5 fois moins que le poids du bloc : c'est le rapport des bras de levier (1,5 / 0,2 = 7,5).
Exemple
Une brouette chargée a un poids total de 800 N. Son centre de gravité est à 0,4 m (horizontalement) de l'axe de la roue, et les mains de Sékou tiennent les poignées à 1,6 m de cet axe. Quelle force verticale Sékou doit-il exercer pour la maintenir en équilibre ? Quelle est la force exercée par le sol sur la roue ?
Moments par rapport à l'axe de la roue : F × 1,6 − 800 × 0,4 = 0, donc F = 320 / 1,6 = 200 N (vers le haut).
Somme des forces nulle (toutes verticales) : R + F − P = 0, donc R = 800 − 200 = 600 N.
Plus la charge est placée près de la roue, moins Sékou doit forcer.
5. Les trois types de leviers
Selon la position de l'appui O entre la force motrice (celle qu'on exerce) et la force résistante (la charge) :
| Type | Position de l'appui | Exemples |
|---|---|---|
| inter-appui | l'appui est entre les deux forces | barre à mine, balançoire, ciseaux, balance |
| inter-résistant | la charge est entre l'appui et la force motrice | brouette, casse-noix |
| inter-moteur | la force motrice est entre l'appui et la charge | pince à épiler, avant-bras qui soulève un objet |
Le levier ne crée pas d'énergie : ce qu'on gagne en force, on le perd en déplacement (l'oncle doit abaisser la barre de 7,5 cm pour soulever le bloc de 1 cm).
3Je retiens
Je retiens
Une force n'a pas d'effet de rotation si sa droite d'action passe par l'axe ou lui est parallèle.
Moment d'une force par rapport à un axe : M = ± F × d, d = distance de l'axe à la droite d'action (en m) ; unité : N·m.
Si la force, appliquée à la distance r de l'axe, fait l'angle α avec la barre : d = r sin α.
Couple de forces : M = ± F × d, d = distance entre les deux droites d'action.
Théorème des moments : à l'équilibre, la somme algébrique des moments des forces extérieures est nulle.
À l'équilibre, la somme vectorielle des forces est aussi nulle : elle donne la réaction de l'axe (dont le moment est nul).
4Erreurs fréquentes
- Prendre pour bras de levier la distance entre l'axe et le point d'application, alors que la force est inclinée : il faut la distance de l'axe à la droite d'action (d = r sin α).
- Oublier les signes : deux forces qui font tourner en sens contraires ont des moments de signes opposés.
- Oublier le poids de la barre : s'il n'est pas négligeable, il s'applique au centre de gravité (au milieu pour une barre homogène).
- Laisser les distances en centimètres dans un résultat en N·m : 30 cm = 0,3 m.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Une clé de 25 cm sert à serrer un écrou. Calcule le moment de la force par rapport à l'axe de l'écrou dans chaque cas :
a) force de 40 N perpendiculaire à la clé, appliquée à son extrémité ;
b) force de 40 N appliquée à l'extrémité, faisant un angle de 30° avec la clé ;
c) force de 40 N appliquée à l'extrémité, dirigée le long de la clé vers l'écrou.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) d = 0,25 m : mathcalM = 40 × 0,25 = 10 N·m.
b) d = 0,25 × sin 30° = 0,125 m : mathcalM = 40 × 0,125 = 5 N·m.
c) La droite d'action passe par l'axe : d = 0, donc mathcalM = 0. La force ne fait pas tourner l'écrou.
2Exercice 2
Sur une balançoire à bascule, Fanta (30 kg) est assise à 1,5 m de l'axe. À quelle distance de l'axe, de l'autre côté, doit s'asseoir Ousmane (45 kg) pour que la bascule soit en équilibre horizontal ? (On néglige le poids de la planche, qui est d'ailleurs appliqué sur l'axe.)
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Poids : PF = 30g et PO = 45g. Théorème des moments par rapport à l'axe :
30g × 1,5 - 45g × d = 0, donc d = 30 × 1,545 = 4545 = 1 m.
Ousmane doit s'asseoir à 1 m de l'axe (g se simplifie : sa valeur n'intervient pas).
3Exercice 3
Un chauffeur tourne le volant de son camion, de diamètre 40 cm, en exerçant avec chaque main une force de 15 N, tangente au volant, aux deux extrémités d'un même diamètre.
a) Pourquoi s'agit-il d'un couple de forces ?
b) Calcule son moment.
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a) Les deux forces sont parallèles (tangentes aux deux bouts d'un diamètre), de sens contraires, de même intensité et de droites d'action différentes : c'est un couple.
b) La distance entre les deux droites d'action est le diamètre : d = 0,40 m. mathcalM = F × d = 15 × 0,40 = 6 N·m.
4Exercice 4
Une barre homogène AB de longueur 2 m et de masse 4 kg repose sur un appui O situé à 0,5 m de A. On prend g = 10 N/kg.
a) Où s'applique le poids de la barre ? À quelle distance de O ?
b) Quelle masse faut-il suspendre en A pour que la barre soit en équilibre horizontal ?
c) Quelle est alors l'intensité de la réaction de l'appui ?
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a) Au milieu G de la barre, à 1 m de A, donc à 1 - 0,5 = 0,5 m de O, du côté de B. P = 4 × 10 = 40 N.
b) La masse m en A est à 0,5 m de O, de l'autre côté. Moments par rapport à O : m × 10 × 0,5 - 40 × 0,5 = 0, donc m × 5 = 20 et m = 4 kg.
c) Toutes les forces sont verticales : R = 40 + 40 = 80 N, vers le haut.
5Exercice 5
(Type examen) Une barre homogène OA de longueur 1 m et de masse 2 kg est fixée à un mur par une articulation en O, autour de laquelle elle peut tourner. Elle est maintenue horizontale par un câble attaché en A, qui fait un angle de 30° avec la barre et est fixé au mur au-dessus de O. Une charge de 5 kg est suspendue en A. On prend g = 10 N/kg.
a) Fais le bilan des forces qui s'exercent sur la barre.
b) Calcule le bras de levier de la tension du câble par rapport à O.
c) Applique le théorème des moments pour calculer la tension T du câble.
d) Calcule les composantes horizontale et verticale de la réaction de l'articulation, puis son intensité.
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a) Forces sur la barre : son poids P (P = 20 N, appliqué au milieu, à 0,5 m de O) ; la force exercée par la charge en A, égale à son poids (Pc = 50 N, verticale vers le bas) ; la tension T du câble (appliquée en A, dirigée vers le point d'attache sur le mur) ; la réaction R de l'articulation en O.
b) Le câble fait 30° avec la barre et OA = 1 m : d = OA × sin 30° = 1 × 0,5 = 0,5 m.
c) Sens positif : celui dans lequel la tension fait tourner la barre (vers le haut). Moments par rapport à O :
T × 0,5 - 20 × 0,5 - 50 × 1 = 0, soit 0,5 T = 10 + 50 = 60, donc T = 120 N.
d) Composantes de T : horizontale Tcos 30° = 120 × 0,866 ≈ 103,9 N (vers le mur) ; verticale Tsin 30° = 60 N (vers le haut).
Somme des forces nulle :
horizontalement, Rx = 103,9 N, dirigée du mur vers la barre ;
verticalement, Ry + 60 - 20 - 50 = 0, donc Ry = 10 N, vers le haut.
R = √103,92 + 102 ≈ √10 800 + 100 = √10 900 ≈ 104 N.
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6Je vérifie
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