Karamö, le prof virtuelLeçon 4 sur 17
Équations
Je sais résoudre les équations du premier degré, les équations produits et les équations quotients, et mettre un problème en équation.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Résoudre une équation du premier degré, même avec des parenthèses ou des fractions
- Résoudre une équation produit et une équation de la forme x² = a
- Résoudre une équation quotient en tenant compte des valeurs interdites
- Mettre en équation un problème concret et vérifier la solution
Avant de commencer : Le calcul littéral : développer, factoriser, identités remarquables, valeurs interdites (leçon « Calcul littéral »).
1Je découvre
À la rentrée, Lansana achète à Mamou 5 cahiers et 3 stylos. Il paie en tout 45 000 GNF. Il se souvient seulement qu'un stylo coûte 3 000 GNF de moins qu'un cahier. Sa sœur Hawa, qui doit faire les mêmes achats, lui demande le prix d'un cahier.
Lansana appelle x le prix d'un cahier, en GNF. Un stylo coûte alors x - 3 000. La dépense totale s'écrit :
5x + 3(x - 3 000) = 45 000.
Cette égalité, qui contient une inconnue, est une équation. Trouver le prix du cahier, c'est trouver la valeur de x qui rend l'égalité vraie.
Quelles sont les méthodes pour résoudre les principales équations, et comment passer d'un problème de la vie courante à une équation ?
2Je comprends
1. Vocabulaire
Une équation d'inconnue x est une égalité qui contient x. Une solution est une valeur de x qui rend l'égalité vraie. Résoudre l'équation, c'est trouver toutes ses solutions ; on les regroupe dans l'ensemble S.
On transforme une équation en une équation équivalente (qui a les mêmes solutions) en :
- ajoutant ou retranchant un même nombre (ou une même expression) aux deux membres ;
- multipliant ou divisant les deux membres par un même nombre non nul.
2. Les équations du premier degré
Une équation du premier degré se ramène à ax + b = 0. Si a ≠ 0, elle a une seule solution : x = -ba.
Deux cas particuliers, quand les x disparaissent :
- on obtient une égalité fausse, comme 0x = 5 : aucune solution, S = ∅ ;
- on obtient une égalité toujours vraie, comme 0x = 0 : tout réel est solution, S = ℝ.
Méthode
Pour résoudre une équation du premier degré :
- S'il y a des fractions, je multiplie les deux membres par le dénominateur commun.
- Je développe et je réduis chaque membre.
- Je regroupe les termes en x dans un membre et les nombres dans l'autre.
- Je divise par le coefficient de x (s'il n'est pas nul).
- J'écris S et je vérifie en remplaçant dans l'équation de départ.
Exemple
Résoudre 3(x − 2) − 5 = x + 7.
3x − 6 − 5 = x + 7
3x − 11 = x + 7
3x − x = 7 + 11
2x = 18, donc x = 9. S = {9}.
Vérification : 3(9 − 2) − 5 = 21 − 5 = 16 et 9 + 7 = 16. Juste.
Exemple
Résoudre x/2 + x/3 = 10.
On multiplie les deux membres par 6 : 3x + 2x = 60, soit 5x = 60, donc x = 12. S = {12}.
Vérification : 12/2 + 12/3 = 6 + 4 = 10.
Retour aux cahiers de Lansana : 5x + 3x - 9 000 = 45 000, donc 8x = 54 000 et x = 6 750. Un cahier coûte 6 750 GNF et un stylo 3 750 GNF. Vérification : 5 × 6 750 + 3 × 3 750 = 33 750 + 11 250 = 45 000.
3. Les équations produits
Propriété du produit nul : A × B = 0 ⇔ A = 0 ou B = 0.
Quand une équation contient x2, on passe tout dans un membre pour obtenir « … = 0 », on factorise, puis on applique cette propriété.
Cas particulier x2 = a :
- si a > 0 : deux solutions, -√a et √a ;
- si a = 0 : une solution, 0 ;
- si a < 0 : aucune solution.
Exemple
Résoudre (x − 1)² = 9.
On passe tout dans un membre : (x − 1)² − 3² = 0.
On factorise avec a² − b² : (x − 1 − 3)(x − 1 + 3) = 0, soit (x − 4)(x + 2) = 0.
x − 4 = 0 ou x + 2 = 0, donc x = 4 ou x = −2. S = {−2 ; 4}.
4. Les équations quotients
Un quotient est nul quand son numérateur est nul et que son dénominateur ne l'est pas :
AB = 0 ⇔ A = 0 et B ≠ 0.
On commence donc toujours par chercher les valeurs interdites, et on les exclut à la fin.
- 1Je cherche les valeurs interdites : je résous « dénominateur = 0 ».
- 2Je me ramène à « un seul quotient = 0 » (ou à une égalité de produits en croix).
- 3Je résous « numérateur = 0 ».
- 4J'élimine les solutions qui sont des valeurs interdites.
- 5J'écris S et je vérifie.
Exemple
Résoudre (x² − 1)/(x + 1) = 0.
Valeur interdite : x + 1 = 0, soit x = −1.
Numérateur nul : x² − 1 = (x − 1)(x + 1) = 0, donc x = 1 ou x = −1.
Or −1 est interdite : on la rejette. S = {1}.
Exemple
Résoudre (2x − 3)/(x − 2) = 1.
Valeur interdite : 2.
Pour x ≠ 2, on multiplie les deux membres par (x − 2) : 2x − 3 = x − 2, donc x = 1.
1 n'est pas interdite. S = {1}.
Vérification : (2 − 3)/(1 − 2) = (−1)/(−1) = 1.
5. Mettre un problème en équation
- Choisir l'inconnue et écrire clairement ce qu'elle représente, avec son unité.
- Traduire chaque phrase de l'énoncé par une expression en x.
- Écrire l'équation qui exprime la condition de l'énoncé.
- Résoudre.
- Vérifier avec l'énoncé et garder seulement les solutions qui ont un sens (un nombre de personnes est entier et positif, une longueur est positive…).
- Conclure par une phrase.
3Je retiens
Je retiens
ax + b = 0 avec a ≠ 0 : une seule solution x = −b/a.
0x = c (c ≠ 0) : aucune solution ; 0x = 0 : tout réel est solution.
A × B = 0 si et seulement si A = 0 ou B = 0.
x² = a : ±√a si a > 0 ; 0 si a = 0 ; aucune solution si a < 0.
A/B = 0 si et seulement si A = 0 et B ≠ 0 : on exclut toujours les valeurs interdites.
Un problème : inconnue, équation, résolution, vérification, phrase de conclusion.
4Erreurs fréquentes
- Oublier de multiplier TOUS les termes par le dénominateur commun : dans x/2 + 1 = x/3, le 1 devient 6.
- Garder une valeur interdite comme solution d'une équation quotient.
- Diviser les deux membres par x : on perd la solution x = 0 (dans x² = 4x, les solutions sont 0 et 4).
- Oublier la solution négative de x² = a : x² = 25 a deux solutions, −5 et 5.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Résous.
a) 5x - 7 = 2x + 8
b) 4(x + 1) - 3(2x - 1) = 9
c) x - 13 - x + 24 = 1
d) 2(x + 3) = 2x + 1
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 5x - 2x = 8 + 7, soit 3x = 15 et x = 5. S = {5}.
b) 4x + 4 - 6x + 3 = 9, soit -2x + 7 = 9, -2x = 2 et x = -1. S = {-1}.
c) On multiplie par 12 : 4(x - 1) - 3(x + 2) = 12, soit 4x - 4 - 3x - 6 = 12, donc x - 10 = 12 et x = 22. S = {22}. Vérification : 213 - 244 = 7 - 6 = 1.
d) 2x + 6 = 2x + 1, soit 0x = -5 : égalité impossible. S = ∅.
2Exercice 2
Résous.
a) (3x - 6)(x + 5) = 0 b) x2 - 7x = 0 c) (2x + 1)2 - 16 = 0 d) x2 = 7
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 3x - 6 = 0 ou x + 5 = 0 : x = 2 ou x = -5. S = {-5 ; 2}.
b) x(x - 7) = 0 : x = 0 ou x = 7. S = {0 ; 7}.
c) (2x + 1)2 - 42 = (2x + 1 - 4)(2x + 1 + 4) = (2x - 3)(2x + 5) = 0 : x = 32 ou x = -52. S = {-52 ; 32}.
d) 7 > 0 : S = {-√7 ; √7}.
3Exercice 3
Résous en précisant les valeurs interdites.
a) x - 3x + 2 = 0 b) x2 - 4x - 2 = 0 c) 3x - 1 = 2x + 1
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Valeur interdite : -2. Numérateur nul : x = 3, qui n'est pas interdit. S = {3}.
b) Valeur interdite : 2. x2 - 4 = 0 donne x = 2 ou x = -2 ; on rejette 2. S = {-2}.
c) Valeurs interdites : 1 et -1. Produits en croix : 3(x + 1) = 2(x - 1), soit 3x + 3 = 2x - 2 et x = -5, qui n'est pas interdit. S = {-5}. Vérification : 3-6 = -12 et 2-4 = -12.
4Exercice 4
Aïssatou a trois fois l'âge de sa fille. Dans 12 ans, elle n'aura plus que le double de l'âge de sa fille. Quel est l'âge de chacune aujourd'hui ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
Soit x l'âge de la fille, en années. La mère a 3x ans. Dans 12 ans : 3x + 12 = 2(x + 12), soit 3x + 12 = 2x + 24 et x = 12. La fille a 12 ans et Aïssatou 36 ans. Vérification : dans 12 ans, elles auront 24 et 48 ans, et 48 = 2 × 24.
5Exercice 5
(Type examen) Un groupe d'élèves de Labé loue un minibus pour une excursion à Kindia. La location coûte 600 000 GNF, partagés à parts égales. Si 5 élèves de plus étaient venus, chacun aurait payé 20 000 GNF de moins. On note x le nombre d'élèves.
a) Exprime en fonction de x la part de chaque élève, puis la part s'il y avait 5 élèves de plus.
b) Montre que x vérifie 600 000x - 600 000x + 5 = 20 000, puis que cette équation équivaut à x2 + 5x - 150 = 0.
c) Vérifie que x2 + 5x - 150 = (x + 15)(x - 10).
d) Déduis-en le nombre d'élèves et la part de chacun.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Part de chacun : 600 000x. Avec 5 élèves de plus : 600 000x + 5.
b) La différence des parts vaut 20 000 GNF, d'où l'équation. Pour x > 0, on multiplie par x(x + 5) :
600 000(x + 5) - 600 000x = 20 000x(x + 5), soit 3 000 000 = 20 000x2 + 100 000x.
On divise par 20 000 : 150 = x2 + 5x, soit x2 + 5x - 150 = 0.
c) (x + 15)(x - 10) = x2 - 10x + 15x - 150 = x2 + 5x - 150.
d) (x + 15)(x - 10) = 0 donne x = -15 (rejeté : un nombre d'élèves est positif) ou x = 10. Il y a 10 élèves ; chacun paie 600 00010 = 60 000 GNF. Vérification : à 15 élèves, chacun paierait 40 000 GNF, soit 20 000 GNF de moins.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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