Karamö, le prof virtuelLeçon 5 sur 17
Les inéquations
Je sais résoudre une inéquation du premier degré, étudier le signe d'une expression avec un tableau de signes et résoudre une inéquation produit ou quotient.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Utiliser correctement les règles de calcul sur les inégalités
- Résoudre une inéquation du premier degré et écrire les solutions sous forme d'intervalle
- Dresser le tableau de signes d'un produit ou d'un quotient
- Résoudre un problème concret qui conduit à une inéquation
Avant de commencer : Les intervalles (leçon « Les nombres réels »), la factorisation et la résolution des équations (leçons « Calcul littéral » et « Équations »).
1Je découvre
Sékou, commerçant à Nzérékoré, doit faire transporter des sacs de café. Deux transporteurs lui font une offre :
- le transporteur A demande 150 000 GNF de frais fixes, plus 2 000 GNF par kilomètre ;
- le transporteur B ne demande pas de frais fixes, mais 5 000 GNF par kilomètre.
Pour 20 km, A coûte 150 000 + 40 000 = 190 000 GNF et B coûte 100 000 GNF : B est moins cher. Pour 100 km, A coûte 350 000 GNF et B coûte 500 000 GNF : c'est A qui est avantageux.
Sékou ne veut pas refaire le calcul pour chaque trajet. Il appelle x la distance en kilomètres et cherche toutes les distances pour lesquelles A est moins cher que B, c'est-à-dire les x tels que :
150 000 + 2 000x < 5 000x.
Ce n'est plus une égalité, mais une inégalité qui contient une inconnue.
Comment résoudre une inéquation et présenter l'ensemble de ses solutions ?
2Je comprends
1. Les règles de calcul sur les inégalités
Une inéquation d'inconnue x est une inégalité (avec <, >, ≤ ou ≥ ) qui contient x. En général, elle a une infinité de solutions, que l'on écrit sous forme d'intervalle ou de réunion d'intervalles.
On obtient une inéquation équivalente en :
- ajoutant ou retranchant le même nombre aux deux membres : le sens ne change pas ;
- multipliant ou divisant les deux membres par un même nombre strictement positif : le sens ne change pas ;
- multipliant ou divisant les deux membres par un même nombre strictement négatif : le sens change.
Par exemple, 2 < 5 ; en multipliant par -3, on obtient -6 > -15 : le sens s'inverse.
Exemple
Résoudre 3x − 5 ≤ 7x + 3.
3x − 7x ≤ 3 + 5
−4x ≤ 8
On divise par −4, qui est négatif : le sens change.
x ≥ −2. S = [−2 ; +∞[.
Retour au transport de Sékou : 150 000 + 2 000x < 5 000x donne 150 000 < 3 000x, puis (on divise par 3 000 > 0) x > 50. Le transporteur A est moins cher dès que le trajet dépasse 50 km ; pour exactement 50 km, les deux coûtent 250 000 GNF.
2. Le signe de ax + b
Pour a ≠ 0, l'expression ax + b s'annule en x0 = -ba. Elle est :
- du signe de a à droite de x0 ;
- du signe contraire de a à gauche de x0.
On le résume dans un tableau de signes. Par exemple, pour -2x + 6 (a = -2 < 0, zéro en x0 = 3) :
| x | -∞ … 3 … +∞ |
|---|---|
| -2x + 6 | + 0 - |
Vérification rapide : pour x = 0, -2 × 0 + 6 = 6 > 0. Juste.
3. Inéquations produits et quotients
Pour résoudre A(x) × B(x) > 0, ou A(x)B(x) ≥ 0, on ne peut pas « résoudre facteur par facteur ». On étudie le signe de chaque facteur, puis on applique la règle des signes : le produit (ou le quotient) de deux nombres de même signe est positif ; de signes contraires, il est négatif.
Méthode
Pour résoudre une inéquation produit ou quotient :
- Je me ramène à « expression … 0 » (tout dans un membre, puis je factorise).
- Je cherche la valeur qui annule chaque facteur et je les range dans l'ordre croissant.
- Je dresse le tableau de signes : une ligne par facteur, puis la ligne du produit (ou du quotient) avec la règle des signes.
- Pour un quotient, je marque d'une double barre la valeur interdite.
- Je lis la réponse : crochets fermés aux zéros si l'inégalité est large (≤, ≥), toujours ouverts aux valeurs interdites.
Exemple
Résoudre (x − 3)(2x + 4) > 0.
Zéros : x − 3 = 0 pour x = 3 ; 2x + 4 = 0 pour x = −2.
| x | −∞ −2 3 +∞ | |
| x − 3 | − | − 0 + |
| 2x + 4 | − 0 + | + |
| produit | + 0 − 0 + |
Le produit est strictement positif sur ]−∞ ; −2[ et sur ]3 ; +∞[.
S = ]−∞ ; −2[ ∪ ]3 ; +∞[.
Exemple
Résoudre (x + 1)/(2 − x) ≥ 0.
Zéro du numérateur : −1. Zéro du dénominateur (valeur interdite) : 2.
| x | −∞ −1 2 +∞ | ||
| x + 1 | − 0 + | + | |
| 2 − x | + | + 0 − | |
| quotient | − 0 + | − |
Le quotient est positif ou nul pour −1 ≤ x < 2 (2 est interdit).
S = [−1 ; 2[.
4. Résoudre un problème avec une inéquation
La démarche est celle des équations : choisir l'inconnue, traduire l'énoncé, résoudre, puis interpréter l'intervalle obtenu dans la situation (une quantité est souvent un entier positif, une capacité impose une borne supérieure…).
| Équation | Inéquation | |
|---|---|---|
| Signe | = | <, >, ≤ , ≥ |
| Solutions | en général quelques valeurs | en général un intervalle |
| Multiplier par un négatif | rien ne change | le sens de l'inégalité change |
3Je retiens
Je retiens
On ajoute ou retranche un même nombre : le sens ne change pas.
On multiplie ou divise par un nombre positif : le sens ne change pas ; par un nombre négatif : le sens change.
ax + b (a ≠ 0) s'annule en −b/a ; il a le signe de a à droite de ce zéro, le signe contraire à gauche.
Produit ou quotient : tableau de signes et règle des signes.
Valeur interdite : double barre dans le tableau, crochet toujours ouvert.
Inégalité large (≤, ≥) : les zéros du numérateur sont inclus.
4Erreurs fréquentes
- Oublier de changer le sens en divisant par un négatif : −3x < 6 donne x > −2, et non x < −2.
- Résoudre (x − 1)(x + 2) > 0 en écrivant « x > 1 ou x > −2 » : il faut un tableau de signes.
- Fermer le crochet sur une valeur interdite : dans (x + 1)/(2 − x) ≥ 0, 2 est toujours exclu.
- Écrire la réponse avec des inégalités mélangées au lieu d'intervalles clairs.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Résous et donne les solutions sous forme d'intervalle.
a) 2x + 5 < 11 b) -3x + 4 ≥ 10 c) 5(x - 1) > 2(x + 4) d) x2 - 1 ≤ x3
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 2x < 6, soit x < 3. S = ]-∞ ; 3[.
b) -3x ≥ 6 ; on divise par -3, le sens change : x ≤ -2. S = ]-∞ ; -2].
c) 5x - 5 > 2x + 8, soit 3x > 13 et x > 133. S = ]133 ; +∞[.
d) On multiplie par 6 (positif) : 3x - 6 ≤ 2x, soit x ≤ 6. S = ]-∞ ; 6].
2Exercice 2
Dresse le tableau de signes de -2x + 6, puis de 4x + 1.
Voir le corrigéCacher le corrigé
-2x + 6 s'annule en 3 ; a = -2 < 0 : positif avant 3, négatif après.
4x + 1 s'annule en -14 ; a = 4 > 0 : négatif avant -14, positif après.
| x | -∞ … -14 … 3 … +∞ |
|---|---|
| -2x + 6 | + … + … 0 … - |
| 4x + 1 | - … 0 … + … + |
3Exercice 3
Résous à l'aide d'un tableau de signes.
a) (x + 5)(3 - x) ≤ 0 b) x2 - 9 > 0
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a) Zéros : -5 et 3. x + 5 : négatif puis positif. 3 - x : positif puis négatif.
Sur ]-∞ ; -5[ : (-)(+) = - ; sur ]-5 ; 3[ : (+)(+) = + ; sur ]3 ; +∞[ : (+)(-) = -.
Produit négatif ou nul : S = ]-∞ ; -5] ∪ [3 ; +∞[.
b) x2 - 9 = (x - 3)(x + 3). Zéros : -3 et 3. Produit : + avant -3, - entre -3 et 3, + après 3. S = ]-∞ ; -3[ ∪ ]3 ; +∞[.
4Exercice 4
Résous 2x - 1x + 3 < 0.
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Zéro du numérateur : 12. Valeur interdite : -3.
Sur ]-∞ ; -3[ : -- = + ; sur ]-3 ; 12[ : -+ = - ; sur ]12 ; +∞[ : ++ = +.
S = ]-3 ; 12[.
5Exercice 5
(Type examen) Une coopérative de femmes de Boké fabrique du savon. Pour x savons, le coût de fabrication est C = 500 000 + 1 500x (en GNF), et chaque savon est vendu 4 000 GNF.
a) Exprime la recette R puis le bénéfice B = R - C en fonction de x.
b) À partir de combien de savons la coopérative fait-elle un bénéfice ?
c) Combien de savons doit-elle vendre pour gagner au moins 1 000 000 GNF ?
d) Elle ne peut pas fabriquer plus de 800 savons par mois. Donne l'ensemble des quantités qui lui permettent de gagner au moins 1 000 000 GNF.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) R = 4 000x et B = 4 000x - 500 000 - 1 500x = 2 500x - 500 000.
b) B > 0 ⇔ 2 500x > 500 000 ⇔ x > 200. Il faut vendre au moins 201 savons.
c) 2 500x - 500 000 ≥ 1 000 000 ⇔ 2 500x ≥ 1 500 000 ⇔ x ≥ 600. Il faut au moins 600 savons.
d) Il faut x ≥ 600 et x ≤ 800, avec x entier : la coopérative doit fabriquer et vendre entre 600 et 800 savons, soit x ∈ [600 ; 800] (nombres entiers).
Contrôle : pour x = 600, B = 1 500 000 - 500 000 = 1 000 000 GNF.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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