Karamö, le prof virtuelLeçon 6 sur 17
Systèmes d'équations du premier degré à deux inconnues
Je sais résoudre un système de deux équations du premier degré à deux inconnues par substitution, par combinaison ou par la méthode des déterminants, et l'utiliser pour résoudre un problème.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Vérifier qu'un couple est solution d'un système
- Résoudre un système par substitution et par combinaison
- Utiliser le déterminant pour savoir combien de solutions a un système et les calculer
- Mettre un problème en système, le résoudre et interpréter la solution
Avant de commencer : Les équations du premier degré (leçon « Équations ») et, pour l'interprétation graphique, la notion de droite dans un repère vue en 10e.
1Je découvre
Au marché de Faranah, Mamadou achète 2 kg de riz et 3 kg d'oignons ; il paie 34 000 GNF. Un peu plus tard, Fanta achète au même vendeur 4 kg de riz et 1 kg d'oignons ; elle paie 38 000 GNF. Ni l'un ni l'autre n'a noté le prix du kilogramme de chaque produit.
On appelle x le prix d'un kilogramme de riz et y celui d'un kilogramme d'oignons, en GNF. Les deux achats donnent deux égalités qui doivent être vraies en même temps :
begincases 2x + 3y = 34 000
4x + y = 38 000 endcases
Une seule équation ne suffit pas : 2x + 3y = 34 000 est vraie pour beaucoup de couples de prix. C'est la réunion des deux informations qui permet de trouver les vrais prix.
Comment trouver le couple (x ; y) qui vérifie à la fois les deux équations ?
2Je comprends
1. Vocabulaire
Un système de deux équations du premier degré à deux inconnues s'écrit :
begincases ax + by = c
a'x + b'y = c' endcases
où a, b, c, a', b', c' sont des réels donnés. Une solution est un couple (x ; y) qui vérifie les deux équations. Résoudre le système, c'est trouver tous ces couples.
Pour vérifier qu'un couple est solution, on le remplace dans chacune des deux équations. Par exemple, (3 ; 2) est solution de begincases x + 2y = 7
3x - y = 7 endcases car 3 + 4 = 7 et 9 - 2 = 7.
2. La méthode par substitution
On exprime une inconnue en fonction de l'autre dans une équation, puis on la remplace dans l'autre équation. Elle est pratique quand un coefficient vaut 1 ou -1.
Exemple
Résoudre { x + 2y = 7 ; 3x − y = 7 } par substitution.
Dans la première équation : x = 7 − 2y.
On remplace dans la seconde : 3(7 − 2y) − y = 7, soit 21 − 6y − y = 7, donc −7y = −14 et y = 2.
Puis x = 7 − 2 × 2 = 3.
S = {(3 ; 2)}. Vérification : 3 + 4 = 7 et 9 − 2 = 7.
3. La méthode par combinaison (ou par addition)
On multiplie les équations par des nombres bien choisis pour que les coefficients d'une inconnue deviennent opposés, puis on additionne membre à membre : cette inconnue disparaît.
Exemple
Résoudre { 3x + 2y = 12 ; 5x − 2y = 4 }.
Les coefficients de y sont déjà opposés (2 et −2). On additionne :
8x = 16, donc x = 2.
On remplace dans la première : 3 × 2 + 2y = 12, soit 2y = 6 et y = 3.
S = {(2 ; 3)}. Vérification dans la seconde : 10 − 6 = 4.
Méthode
Pour résoudre un système par combinaison :
- Je choisis l'inconnue à éliminer.
- Je multiplie chaque équation par un nombre pour rendre ses coefficients opposés.
- J'additionne membre à membre et je résous l'équation à une inconnue obtenue.
- Je remplace la valeur trouvée dans une équation de départ pour trouver l'autre inconnue.
- Je vérifie le couple dans les DEUX équations et j'écris S = {(x ; y)}.
4. La méthode des déterminants (méthode de Cramer)
Pour le système begincases ax + by = c
a'x + b'y = c' endcases, on calcule le déterminant :
D = beginvmatrix a & b
a' & b' endvmatrix = ab' - a'b.
- Si D ≠ 0, le système a une solution unique :
x = DxD et y = DyD, avec Dx = beginvmatrix c & b
c' & b' endvmatrix = cb' - c'b et Dy = beginvmatrix a & c
a' & c' endvmatrix = ac' - a'c.
- Si D = 0, le système a soit aucune solution, soit une infinité de solutions.
Pour Dx, on remplace la colonne des coefficients de x par la colonne des seconds membres ; pour Dy, celle des coefficients de y.
Exemple
Retour au marché de Faranah. On compte en milliers de GNF : { 2x + 3y = 34 ; 4x + y = 38 }.
D = 2 × 1 − 4 × 3 = 2 − 12 = −10 ≠ 0 : une solution unique.
Dx = 34 × 1 − 38 × 3 = 34 − 114 = −80, donc x = −80 / (−10) = 8.
Dy = 2 × 38 − 4 × 34 = 76 − 136 = −60, donc y = −60 / (−10) = 6.
Le riz coûte 8 000 GNF le kilogramme et les oignons 6 000 GNF le kilogramme.
Vérification : 2 × 8 000 + 3 × 6 000 = 34 000 et 4 × 8 000 + 6 000 = 38 000.
5. Interprétation graphique
Chaque équation ax + by = c (avec b ≠ 0) peut s'écrire y = -abx + cb : c'est l'équation d'une droite. Résoudre le système, c'est chercher les points communs aux deux droites.
| Déterminant | Position des droites | Solutions |
|---|---|---|
| D ≠ 0 | sécantes | un seul couple |
| D = 0, équations non proportionnelles | parallèles distinctes | aucune |
| D = 0, équations proportionnelles | confondues | une infinité |
Exemples : begincases x + 2y = 3
2x + 4y = 5 endcases n'a aucune solution (en doublant la première, on trouve 2x + 4y = 6, ce qui contredit 2x + 4y = 5) ; begincases x + 2y = 3
2x + 4y = 6 endcases en a une infinité (la seconde est la première multipliée par 2).
6. Mettre un problème en système
- Choisir deux inconnues et dire ce qu'elles représentent.
- Traduire les deux informations de l'énoncé par deux équations.
- Résoudre par la méthode la plus simple.
- Vérifier avec l'énoncé et conclure par une phrase.
3Je retiens
Je retiens
Solution d'un système : un couple (x ; y) qui vérifie les deux équations.
Substitution : isoler une inconnue et la remplacer dans l'autre équation.
Combinaison : rendre des coefficients opposés, puis additionner.
Déterminant : D = ab′ − a′b ; si D ≠ 0, x = Dx/D et y = Dy/D (solution unique).
Si D = 0 : aucune solution (droites parallèles) ou une infinité (droites confondues).
Toujours vérifier la solution dans les deux équations.
4Erreurs fréquentes
- Vérifier le couple dans une seule équation : il doit vérifier les deux.
- Oublier de multiplier le second membre quand on multiplie une équation : 2 × (x + y = 5) donne 2x + 2y = 10.
- Se tromper de signe dans le déterminant : D = ab′ − a′b (produit de la diagonale descendante moins produit de la diagonale montante).
- Écrire la solution sous la forme « x = 3, y = 2 » sans conclure : on écrit S = {(3 ; 2)}, x en premier.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Résous par substitution : begincases x - y = 1
2x + 3y = 17 endcases
Voir le corrigéCacher le corrigé
De la première équation : x = 1 + y. Dans la seconde : 2(1 + y) + 3y = 17, soit 2 + 5y = 17, 5y = 15 et y = 3. Puis x = 1 + 3 = 4. S = {(4 ; 3)}. Vérification : 4 - 3 = 1 et 8 + 9 = 17.
2Exercice 2
Résous par combinaison : begincases 2x + 5y = 1
3x - 2y = 11 endcases
Voir le corrigéCacher le corrigé
On élimine y : on multiplie la première par 2 et la seconde par 5.
4x + 10y = 2 et 15x - 10y = 55. En additionnant : 19x = 57, donc x = 3.
Dans la première : 6 + 5y = 1, donc 5y = -5 et y = -1. S = {(3 ; -1)}. Vérification : 9 + 2 = 11.
3Exercice 3
Résous par la méthode des déterminants : begincases 4x - 3y = 5
2x + y = 5 endcases
Voir le corrigéCacher le corrigé
D = 4 × 1 - 2 × (-3) = 4 + 6 = 10 ≠ 0.
Dx = 5 × 1 - 5 × (-3) = 5 + 15 = 20, donc x = 2010 = 2.
Dy = 4 × 5 - 2 × 5 = 20 - 10 = 10, donc y = 1010 = 1.
S = {(2 ; 1)}. Vérification : 8 - 3 = 5 et 4 + 1 = 5.
4Exercice 4
Sans résoudre complètement, dis combien de solutions a chaque système. Justifie.
a) begincases x + 3y = 2
2x + 6y = 4 endcases b) begincases 2x - y = 1
-4x + 2y = 3 endcases c) begincases x + y = 5
x - y = 1 endcases
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) D = 1 × 6 - 2 × 3 = 0. La seconde équation est la première multipliée par 2 : une infinité de solutions.
b) D = 2 × 2 - (-4) × (-1) = 4 - 4 = 0. En multipliant la première par -2, on obtient -4x + 2y = -2, qui contredit -4x + 2y = 3 : aucune solution.
c) D = 1 × (-1) - 1 × 1 = -2 ≠ 0 : une seule solution (c'est (3 ; 2)).
5Exercice 5
(Type examen) Pour une soirée culturelle au centre des jeunes de Kankan, un billet adulte coûte 10 000 GNF et un billet enfant 5 000 GNF. On a vendu 250 billets pour une recette totale de 1 900 000 GNF.
a) On note x le nombre d'adultes et y le nombre d'enfants. Écris un système qui traduit l'énoncé.
b) Résous ce système.
c) Rédige une phrase de conclusion et vérifie.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) begincases x + y = 250
10 000x + 5 000y = 1 900 000 endcases ; en divisant la seconde par 5 000 : 2x + y = 380.
b) On soustrait la première de la seconde : (2x + y) - (x + y) = 380 - 250, soit x = 130. Puis y = 250 - 130 = 120. S = {(130 ; 120)}.
c) Il y avait 130 adultes et 120 enfants. Vérification : 130 + 120 = 250 et 1 300 000 + 600 000 = 1 900 000 GNF.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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