Karamö, le prof virtuelLeçon 12 sur 17
Généralités sur les suites numériques
Je sais ce qu'est une suite numérique, je calcule ses termes qu'elle soit donnée par une formule explicite ou par une relation de récurrence, je la représente et j'étudie son sens de variation.
- 55 min
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Utiliser le vocabulaire et les notations des suites (terme, indice, u indice n)
- Calculer des termes d'une suite définie de façon explicite ou par récurrence
- Représenter graphiquement les premiers termes d'une suite
- Étudier le sens de variation d'une suite avec le signe de u(n+1) − u(n)
Avant de commencer : Les généralités sur les fonctions (leçon 7), le calcul littéral et les fractions (leçons 1 et 3).
1Je découvre
Le club de lecture du lycée de Faranah possède 120 livres à la rentrée 2026. Chaque année, grâce aux dons des anciens élèves, il en reçoit 15 nouveaux, et on suppose qu'aucun livre n'est perdu.
Le responsable, Sékou, note les nombres de livres année après année : 120 ; 135 ; 150 ; 165 ; … Il numérote les années : l'année 0 est la rentrée 2026, l'année 1 est la rentrée 2027, et ainsi de suite. Il appelle un le nombre de livres l'année n.
Il remarque deux façons de trouver ces nombres :
- de proche en proche : chaque nombre s'obtient en ajoutant 15 au précédent ;
- directement : l'année n, il y a 120 + 15n livres. Pour la rentrée 2035 (n = 9), il y aura 120 + 135 = 255 livres.
Une liste de nombres numérotés comme celle-ci s'appelle une suite.
Comment définir une suite, calculer ses termes et savoir si elle augmente ou diminue ?
2Je comprends
1. Définition et notations
Une suite numérique u est une fonction qui, à chaque entier naturel n (à partir d'un certain rang), associe un réel noté un.
- n est l'indice (ou le rang) ;
- un est le terme de rang n, ou terme général ;
- la suite se note (un) ou (un)n ∈ ℕ.
Le premier terme est souvent u0, parfois u1 : il faut toujours regarder l'énoncé.
Attention aux notations : un+1 est le terme qui suit un, alors que un + 1 est le terme un auquel on ajoute 1. Ce ne sont pas du tout les mêmes nombres.
2. Suite définie de façon explicite
On dit que (un) est définie de façon explicite quand on a une formule un = f(n) : on calcule directement n'importe quel terme.
Exemple
Soit u_n = 2n² − 3 pour tout entier naturel n. Calculer u₀, u₁, u₂ et u₁₀.
u₀ = 2 × 0 − 3 = −3.
u₁ = 2 × 1 − 3 = −1.
u₂ = 2 × 4 − 3 = 5.
u₁₀ = 2 × 100 − 3 = 197.
On n'a pas eu besoin de calculer u₃, …, u₉ pour trouver u₁₀.
3. Suite définie par récurrence
Une suite est définie par récurrence quand on donne :
- son premier terme ;
- une relation qui permet de calculer chaque terme à partir du précédent : un+1 = f(un).
Pour calculer un terme, il faut calculer tous les précédents, de proche en proche.
Exemple
Soit u₀ = 2 et, pour tout n, u(n+1) = 3u(n) − 1. Calculer u₁, u₂ et u₃.
u₁ = 3u₀ − 1 = 3 × 2 − 1 = 5.
u₂ = 3u₁ − 1 = 3 × 5 − 1 = 14.
u₃ = 3u₂ − 1 = 3 × 14 − 1 = 41.
| Explicite un = f(n) | Récurrence un+1 = f(un) | |
|---|---|---|
| Donnée de départ | la formule suffit | premier terme + relation |
| Calcul de u100 | direct | il faut u1, u2, …, u99 |
| Exemple | un = 120 + 15n | u0 = 120, un+1 = un + 15 |
La suite des livres de Sékou peut s'écrire des deux façons.
4. Représentation graphique
Dans un repère, on représente une suite par les points isolés de coordonnées (n ; un). On ne les relie pas : entre n = 1 et n = 2, il n'y a pas de terme.
5. Sens de variation
Soit (un) une suite.
- (un) est croissante si, pour tout n, un+1 ≥ un ;
- (un) est décroissante si, pour tout n, un+1 ≤ un ;
- (un) est constante si, pour tout n, un+1 = un.
On parle de suite strictement croissante ou décroissante avec des inégalités strictes. Une suite qui est croissante ou décroissante est dite monotone.
Méthode
Pour étudier le sens de variation d'une suite :
- J'écris u(n+1) : dans une formule explicite, je remplace n par (n + 1), avec des parenthèses.
- Je calcule la différence u(n+1) − u(n) et je la simplifie.
- J'étudie le signe de cette différence pour tout entier naturel n.
- Si elle est positive, la suite est croissante ; négative, décroissante ; nulle, constante.
Exemple
Étudier le sens de variation de u(n) = 3n + 4, puis de v(n) = 1/(n + 1).
u(n+1) − u(n) = 3(n + 1) + 4 − (3n + 4) = 3n + 3 + 4 − 3n − 4 = 3.
3 > 0, donc (u(n)) est strictement croissante.
v(n+1) − v(n) = 1/(n + 2) − 1/(n + 1) = [(n + 1) − (n + 2)] / [(n + 1)(n + 2)] = −1 / [(n + 1)(n + 2)].
Le dénominateur est positif, donc la différence est négative : (v(n)) est strictement décroissante.
Pour une suite définie par récurrence du type un+1 = un + g(n), on a directement un+1 - un = g(n) : il suffit d'étudier le signe de g(n).
Enfin, une suite peut n'être ni croissante ni décroissante : la suite wn = (-1)n vaut 1 ; -1 ; 1 ; -1 ; … Elle monte et descend sans cesse.
3Je retiens
Je retiens
Une suite associe à chaque entier n un réel u(n), appelé terme de rang n.
u(n+1) est le terme suivant de u(n) ; ne pas confondre avec u(n) + 1.
Explicite : u(n) = f(n), on calcule directement n'importe quel terme.
Récurrence : premier terme + relation u(n+1) = f(u(n)), on calcule de proche en proche.
Graphique : points isolés (n ; u(n)), jamais reliés.
Croissante : u(n+1) − u(n) ≥ 0 pour tout n ; décroissante : u(n+1) − u(n) ≤ 0.
4Erreurs fréquentes
- Écrire u(n+1) = u(n) + 1 pour une suite explicite : avec u(n) = n², u(n+1) = (n + 1)² = n² + 2n + 1.
- Oublier les parenthèses en remplaçant n par n + 1 : pour u(n) = 3n + 4, u(n+1) = 3(n + 1) + 4 = 3n + 7.
- Conclure qu'une suite est croissante en regardant seulement u₀ et u₁ : il faut étudier u(n+1) − u(n) pour TOUT n.
- Relier les points de la représentation graphique comme pour une fonction.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Soit un = n2 - 4n + 1 pour tout n ∈ ℕ.
a) Calcule u0, u1, u2, u3 et u5.
b) Exprime un+1 en fonction de n et simplifie.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) u0 = 1 ; u1 = 1 - 4 + 1 = -2 ; u2 = 4 - 8 + 1 = -3 ; u3 = 9 - 12 + 1 = -2 ; u5 = 25 - 20 + 1 = 6.
b) un+1 = (n + 1)2 - 4(n + 1) + 1 = n2 + 2n + 1 - 4n - 4 + 1 = n2 - 2n - 2.
2Exercice 2
Soit (un) définie par u0 = 4 et un+1 = 12un + 3. Calcule u1, u2 et u3.
Voir le corrigéCacher le corrigé
u1 = 12 × 4 + 3 = 5 ; u2 = 12 × 5 + 3 = 5,5 ; u3 = 12 × 5,5 + 3 = 5,75.
3Exercice 3
Étudie le sens de variation de chaque suite.
a) un = 5 - 2n b) vn = n2 + n c) wn = nn + 1 d) t0 = 0 et tn+1 = tn + n2 + 1
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a) un+1 - un = 5 - 2(n + 1) - (5 - 2n) = -2 < 0 : strictement décroissante.
b) vn+1 - vn = (n + 1)2 + (n + 1) - n2 - n = 2n + 2 > 0 : strictement croissante.
c) wn+1 - wn = n + 1n + 2 - nn + 1 = (n + 1)2 - n(n + 2)(n + 1)(n + 2) = n2 + 2n + 1 - n2 - 2n(n + 1)(n + 2) = 1(n + 1)(n + 2) > 0 : strictement croissante.
d) tn+1 - tn = n2 + 1 > 0 : strictement croissante.
4Exercice 4
Soit un = 3n + 2.
a) Calcule u0 et montre que, pour tout n, un+1 = un + 3.
b) Représente graphiquement les termes u0 à u3 dans un repère (unité 1 sur l'axe des abscisses, 1 pour 2 sur l'axe des ordonnées).
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a) u0 = 2. un+1 = 3(n + 1) + 2 = 3n + 5 = (3n + 2) + 3 = un + 3.
b) Les points à placer sont (0 ; 2), (1 ; 5), (2 ; 8) et (3 ; 11) ; ils sont alignés, mais on ne les relie pas.
5Exercice 5
(Type examen) Une coopérative agricole de la région de Labé utilise un modèle pour prévoir sa production de fonio : l'année 2026 + n, elle produirait un = 500 + 40n - n2 tonnes.
a) Calcule u0, u1 et u10.
b) Montre que un+1 - un = 39 - 2n.
c) Pour quelles valeurs de n la production augmente-t-elle d'une année à la suivante ? À partir de quand diminue-t-elle ?
d) Déduis-en l'année de production maximale selon ce modèle, et cette production.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) u0 = 500 ; u1 = 500 + 40 - 1 = 539 ; u10 = 500 + 400 - 100 = 800.
b) un+1 - un = 40(n + 1) - (n + 1)2 - 40n + n2 = 40 - (n2 + 2n + 1) + n2 = 40 - 2n - 1 = 39 - 2n.
c) 39 - 2n > 0 ⇔ n < 19,5 ⇔ n ≤ 19 (n entier). La production augmente de un à un+1 tant que n ≤ 19 ; pour n ≥ 20, 39 - 2n < 0 et elle diminue.
d) La suite croît jusqu'à u20 puis décroît : le maximum est u20 = 500 + 800 - 400 = 900 tonnes, l'année 2026 + 20 = 2046. Contrôle : u19 = 500 + 760 - 361 = 899 et u21 = 500 + 840 - 441 = 899.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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