Karamö, le prof virtuelLeçon 13 sur 17
Les suites arithmétiques
Je sais reconnaître une suite arithmétique, calculer n'importe quel terme avec sa formule, étudier son sens de variation et calculer la somme de termes consécutifs.
- 55 min
- 5 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Reconnaître et définir une suite arithmétique par son premier terme et sa raison
- Utiliser la formule du terme général u(n) = u(0) + nr ou u(n) = u(p) + (n − p)r
- Donner le sens de variation d'une suite arithmétique selon le signe de sa raison
- Calculer la somme de termes consécutifs et résoudre un problème d'épargne ou de salaire
Avant de commencer : Les généralités sur les suites numériques (leçon précédente) et les fonctions affines (leçon 10).
1Je découvre
Ousmane vient d'être embauché comme gardien dans une entreprise de Boké. Son contrat prévoit un salaire mensuel de 1 800 000 GNF la première année, puis une augmentation de 60 000 GNF du salaire mensuel chaque nouvelle année.
- Année 1 : 1 800 000 GNF par mois ;
- Année 2 : 1 860 000 GNF par mois ;
- Année 3 : 1 920 000 GNF par mois ; …
Ousmane se demande combien il gagnera par mois la dixième année. Il pourrait ajouter 60 000 GNF neuf fois de suite, mais il comprend vite qu'entre l'année 1 et l'année 10, il y a 9 augmentations : 1 800 000 + 9 × 60 000 = 2 340 000 GNF.
Son ami Lansana, qui a un autre contrat avec une augmentation de 5 % par an, se pose la même question ; mais son cas est différent : on ajoute chaque année un montant qui change. Le cas d'Ousmane, où l'on ajoute toujours le même nombre, est celui des suites arithmétiques ; celui de Lansana sera étudié dans la leçon suivante.
Comment calculer rapidement un terme lointain d'une suite arithmétique, et la somme de plusieurs de ses termes ?
2Je comprends
1. Définition
Une suite (un) est arithmétique s'il existe un réel r tel que, pour tout entier naturel n :
un+1 = un + r.
Le nombre r s'appelle la raison de la suite. On passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre.
Pour démontrer qu'une suite est arithmétique, on calcule un+1 - un : si le résultat est un nombre constant (qui ne dépend pas de n), la suite est arithmétique et ce nombre est sa raison.
Exemple
Les suites u(n) = 4n − 7 et v(n) = n² sont-elles arithmétiques ?
u(n+1) − u(n) = 4(n + 1) − 7 − (4n − 7) = 4. C'est une constante :
(u(n)) est arithmétique de raison 4 et de premier terme u₀ = −7.
v(n+1) − v(n) = (n + 1)² − n² = 2n + 1 : cela dépend de n.
(v(n)) n'est pas arithmétique (v₀ = 0, v₁ = 1, v₂ = 4 : on ajoute 1, puis 3).
2. Le terme général
Si (un) est arithmétique de raison r :
- un = u0 + nr ;
- plus généralement, pour tous entiers n et p : un = up + (n - p)r ;
- si le premier terme est u1 : un = u1 + (n - 1)r.
En effet, pour aller de u0 à un, on ajoute n fois la raison.
- 1u₀ = 5
- 2u₁ = 5 + r
- 3u₂ = 5 + 2r
- 4u₃ = 5 + 3r
- 5…
- 6u(n) = 5 + n × r
Exemple
(u(n)) est arithmétique avec u₀ = 5 et r = −3. Calculer u₂₀.
u₂₀ = u₀ + 20r = 5 + 20 × (−3) = 5 − 60 = −55.
Exemple
(u(n)) est arithmétique avec u₃ = 11 et u₈ = 26. Trouver r et u₀.
u₈ = u₃ + (8 − 3)r, soit 26 = 11 + 5r, donc 5r = 15 et r = 3.
u₃ = u₀ + 3r donne 11 = u₀ + 9, donc u₀ = 2.
Contrôle : u₈ = 2 + 8 × 3 = 26.
Retour à Ousmane : avec u1 = 1 800 000 et r = 60 000, u10 = u1 + 9r = 2 340 000 GNF.
3. Sens de variation et représentation
Comme un+1 - un = r :
- si r > 0, la suite est strictement croissante ;
- si r < 0, elle est strictement décroissante ;
- si r = 0, elle est constante.
La formule un = u0 + rn ressemble à celle d'une fonction affine f(x) = rx + u0. Les points (n ; un) sont donc alignés : c'est une croissance (ou une décroissance) linéaire.
4. Somme de termes consécutifs
Le mathématicien Carl Friedrich Gauss, enfant, aurait calculé très vite 1 + 2 + … + 100 en regroupant les termes deux à deux : 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, … ; il y a 50 paires, donc la somme vaut 50 × 101 = 5 050.
Cette idée donne la formule générale. Pour une suite arithmétique, la somme de termes consécutifs vaut :
S = (nombre de termes) × premier terme + dernier terme2.
En particulier : 1 + 2 + … + n = n(n + 1)2.
Nombre de termes : de up à un, il y a n - p + 1 termes. De u0 à u20, il y en a 21 (et non 20).
Méthode
Pour calculer la somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique :
- Je vérifie que la suite est arithmétique.
- Je repère le premier et le dernier terme de la somme, et je les calcule.
- Je compte le nombre de termes : de u(p) à u(n), il y en a n − p + 1.
- J'applique S = nombre de termes × (premier + dernier) / 2.
- Je donne le résultat avec l'unité s'il y a un contexte.
Exemple
Soit u(n) = 5 − 3n. Calculer S = u₀ + u₁ + … + u₂₀.
(u(n)) est arithmétique de raison −3 (u(n+1) − u(n) = −3).
Premier terme : u₀ = 5. Dernier terme : u₂₀ = 5 − 60 = −55.
Nombre de termes : 20 − 0 + 1 = 21.
S = 21 × (5 + (−55))/2 = 21 × (−25) = −525.
3Je retiens
Je retiens
Suite arithmétique : u(n+1) = u(n) + r (on ajoute toujours la raison r).
Pour le démontrer : u(n+1) − u(n) est une constante.
Terme général : u(n) = u₀ + nr ; u(n) = u(p) + (n − p)r ; u(n) = u₁ + (n − 1)r.
r > 0 : croissante ; r < 0 : décroissante ; r = 0 : constante. Points alignés.
Somme de termes consécutifs : nombre de termes × (premier + dernier)/2.
1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2. De u(p) à u(n) : n − p + 1 termes.
4Erreurs fréquentes
- Mal compter les termes : de u₀ à u₂₀, il y a 21 termes ; de u₁ à u₁₀, il y en a 10.
- Utiliser u(n) = u₀ + nr quand la suite commence à u₁ : il faut alors u(n) = u₁ + (n − 1)r.
- Conclure qu'une suite est arithmétique parce que les trois premiers termes le sont : il faut démontrer que u(n+1) − u(n) est constant pour tout n.
- Confondre le terme u(n) (ce que l'on gagne une année) et la somme S (ce que l'on a gagné en tout).
5Je m’exerce
1Exercice 1
Dis si chaque suite est arithmétique. Si oui, donne sa raison et son premier terme.
a) un = 7 - 2n b) vn = 3n2 + 1 c) w0 = -1 et wn+1 = wn + 0,5 d) tn = n + 12
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a) un+1 - un = 7 - 2(n + 1) - 7 + 2n = -2 : arithmétique, r = -2, u0 = 7.
b) v0 = 1, v1 = 4, v2 = 13 : v1 - v0 = 3 mais v2 - v1 = 9. Pas arithmétique.
c) Arithmétique par définition : r = 0,5, w0 = -1.
d) tn+1 - tn = n + 22 - n + 12 = 12 : arithmétique, r = 12, t0 = 12.
2Exercice 2
(un) est arithmétique de premier terme u0 = -4 et de raison 2,5.
a) Exprime un en fonction de n et calcule u10.
b) Quel est le rang n du terme égal à 46 ?
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a) un = -4 + 2,5n. u10 = -4 + 25 = 21.
b) -4 + 2,5n = 46 ⇔ 2,5n = 50 ⇔ n = 20. C'est u20.
3Exercice 3
(un) est arithmétique avec u5 = 17 et u12 = 38. Calcule la raison, u0, puis u30.
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u12 = u5 + 7r, soit 38 = 17 + 7r, donc 7r = 21 et r = 3. u5 = u0 + 5r donne u0 = 17 - 15 = 2. Donc un = 2 + 3n et u30 = 2 + 90 = 92.
4Exercice 4
Calcule :
a) 1 + 2 + 3 + … + 50
b) 2 + 4 + 6 + … + 100
c) S = u0 + u1 + … + u30 pour la suite de l'exercice 3.
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a) 50 × 512 = 1 275.
b) 2 + 4 + … + 100 = 2(1 + 2 + … + 50) = 2 × 1 275 = 2 550. (Autre méthode : 50 termes, 50 × 2 + 1002 = 2 550.)
c) 31 termes, premier terme u0 = 2, dernier terme u30 = 92 : S = 31 × 2 + 922 = 31 × 47 = 1 457.
5Exercice 5
(Type examen) Aïssatou, commerçante à Nzérékoré, décide d'épargner : 50 000 GNF le premier mois, puis chaque mois 10 000 GNF de plus que le mois précédent. On note un la somme épargnée le n-ième mois (u1 = 50 000).
a) Calcule u2 et u3. Quelle est la nature de la suite (un) ?
b) Exprime un en fonction de n et calcule u12.
c) Quelle somme totale aura-t-elle épargnée au bout de 12 mois ?
d) Vérifie qu'au bout de 15 mois elle a moins de 2 000 000 GNF, et qu'au bout de 16 mois elle a exactement 2 000 000 GNF.
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a) u2 = 60 000 GNF et u3 = 70 000 GNF. On ajoute chaque mois 10 000 GNF : (un) est arithmétique de raison r = 10 000 et de premier terme u1 = 50 000.
b) un = u1 + (n - 1)r = 50 000 + 10 000(n - 1) = 40 000 + 10 000n. u12 = 40 000 + 120 000 = 160 000 GNF.
c) 12 termes : S12 = 12 × 50 000 + 160 0002 = 12 × 105 000 = 1 260 000 GNF.
d) u15 = 190 000 et S15 = 15 × 50 000 + 190 0002 = 15 × 120 000 = 1 800 000 GNF, qui est inférieur à 2 000 000 GNF.
u16 = 200 000 et S16 = 16 × 50 000 + 200 0002 = 16 × 125 000 = 2 000 000 GNF. Il lui faut donc 16 mois pour atteindre 2 000 000 GNF.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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