Karamö, le prof virtuelLeçon 7 sur 19
Caractères et modalités statistiques
Je sais classer un caractère (qualitatif nominal ou ordinal, quantitatif discret ou continu) et, pour un caractère continu, regrouper les modalités en classes dont je calcule l'amplitude et le centre.
- 45 min
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Distinguer caractère qualitatif et caractère quantitatif
- Distinguer qualitatif nominal et ordinal, quantitatif discret et continu
- Définir une classe, ses bornes, son amplitude et son centre
- Choisir le bon traitement selon la nature du caractère
Avant de commencer : La leçon « Le caractère et la modalité statistiques » (modalités exhaustives et incompatibles).
1Je découvre
Dans le cahier d'enquête de Mamadou, qui étudie les élèves de son lycée à Kissidougou, on trouve pour chaque élève : son sexe, son quartier, sa mention au BEPC (passable, assez bien, bien, très bien), le nombre de ses frères et sœurs, sa taille en centimètres et son poids en kilogrammes.
Mamadou veut tout résumer par une moyenne. « Taille moyenne, facile. Nombre moyen de frères et sœurs, pas de problème. Mais quartier moyen ? Sexe moyen ? Ça n'a aucun sens ! » Il remarque aussi que les tailles sont presque toutes différentes : 162 cm, 163,5 cm, 171 cm… S'il fait un tableau avec une ligne par taille, son tableau aura presque autant de lignes que d'élèves.
Mamadou comprend que tous les caractères ne se traitent pas de la même manière.
Comment classer les caractères statistiques, et comment regrouper les modalités d'un caractère dont les valeurs sont très nombreuses ?
2Je comprends
1. Deux grandes familles de caractères
Un caractère qualitatif a des modalités qui ne sont pas des nombres mesurables : ce sont des mots, des catégories. On ne peut ni les additionner ni en faire la moyenne. Exemples : sexe, quartier, religion, profession, couleur, série, culture pratiquée.
Un caractère quantitatif a des modalités qui sont des nombres obtenus par comptage ou par mesure, et sur lesquels les calculs ont un sens. Exemples : âge, taille, poids, nombre d'enfants, salaire, récolte en kilogrammes, note.
Attention : un nombre qui sert seulement d'étiquette (numéro de téléphone, numéro de chambre, code d'une modalité) ne rend pas le caractère quantitatif.
2. Les caractères qualitatifs : nominal ou ordinal
- Qualitatif nominal : les modalités ne peuvent pas être rangées dans un ordre naturel. Exemples : la préfecture d'origine (Boké, Labé, Kankan…), la religion, le moyen de transport, la couleur du pagne.
- Qualitatif ordinal : les modalités se rangent dans un ordre naturel, mais l'écart entre elles n'est pas mesurable. Exemples : la mention au BEPC (passable < assez bien < bien < très bien), le niveau d'instruction (aucun < primaire < secondaire < supérieur), la satisfaction (pas satisfait < peu satisfait < satisfait < très satisfait).
3. Les caractères quantitatifs : discret ou continu
- Quantitatif discret : il ne prend que des valeurs isolées, le plus souvent des nombres entiers obtenus en comptant. Entre deux valeurs voisines, il n'y a pas d'autre valeur possible. Exemples : nombre d'enfants, nombre de pièces d'un logement, nombre de chèvres, nombre de passagers d'un taxi-brousse.
- Quantitatif continu : il peut prendre toutes les valeurs d'un intervalle ; on l'obtient en mesurant. Exemples : taille, poids, superficie d'un champ, quantité de pluie, durée d'un trajet, revenu (en pratique traité comme continu, car les valeurs possibles sont très nombreuses).
- 1Les modalités sont-elles des nombres mesurables ? Non : caractère qualitatif ; Oui : caractère quantitatif
- 2Qualitatif : les modalités ont-elles un ordre naturel ? Non : nominal ; Oui : ordinal
- 3Quantitatif : obtient-on les valeurs en comptant (valeurs isolées) ? Oui : discret
- 4Quantitatif : obtient-on les valeurs en mesurant (toutes les valeurs d'un intervalle) ? Oui : continu
4. Le regroupement en classes
Quand un caractère est continu (ou discret avec beaucoup de valeurs), on regroupe les modalités en classes, c'est-à-dire en intervalles [a ;b[ : on y range toutes les valeurs x telles que a ≤ x < b.
- a est la borne inférieure (ou limite inférieure) de la classe, b sa borne supérieure.
- L'amplitude de la classe est l'écart entre ses bornes : amplitude = b - a.
- Le centre de la classe est le milieu de l'intervalle : c = a+b2. Il sert à représenter toute la classe dans les calculs (moyenne).
Les classes doivent respecter les règles vues à la leçon précédente : elles sont exhaustives (elles couvrent toutes les valeurs) et incompatibles (elles ne se chevauchent pas). La notation [a ;b[ (fermé à gauche, ouvert à droite) garantit l'incompatibilité : la valeur b appartient à la classe suivante.
On choisit si possible des classes de même amplitude, ce qui facilite les comparaisons et les graphiques.
Exemple
Situation : les tailles (en cm) des élèves ont été regroupées dans les classes [150 ; 160[, [160 ; 170[, [170 ; 180[, [180 ; 190[.
Questions : a) Dans quelle classe range-t-on un élève de 170 cm ? de 169,5 cm ? b) Calcule l'amplitude et le centre de chaque classe.
Réponses :
a) 170 cm : 170 n'appartient pas à [160 ; 170[ (170 est exclu) ; il appartient à [170 ; 180[. 169,5 cm : 160 ≤ 169,5 < 170, donc classe [160 ; 170[.
b) Amplitude : 160 − 150 = 10 cm pour chaque classe (toutes ont la même amplitude).
Centres : (150 + 160)/2 = 155 ; (160 + 170)/2 = 165 ; (170 + 180)/2 = 175 ; (180 + 190)/2 = 185 (en cm).
Exemple
Situation : on classe les superficies des champs de riz d'une plaine de la préfecture de Kankan (en hectares) : [0 ; 0,5[ ; [0,5 ; 1[ ; [1 ; 2[ ; [2 ; 4[.
Question : calcule l'amplitude et le centre de chaque classe. Que remarques-tu ?
Réponse :
[0 ; 0,5[ : amplitude 0,5 ha, centre 0,25 ha.
[0,5 ; 1[ : amplitude 0,5 ha, centre 0,75 ha.
[1 ; 2[ : amplitude 1 ha, centre 1,5 ha.
[2 ; 4[ : amplitude 2 ha, centre 3 ha.
Les amplitudes sont inégales : on a choisi des classes étroites pour les petits champs (très nombreux) et larges pour les grands (rares). Il faudra en tenir compte pour le graphique (histogramme).
5. Tableau de synthèse
| Nature du caractère | Modalités | Exemples | Calcul d'une moyenne ? |
|---|---|---|---|
| Qualitatif nominal | Mots, sans ordre | Préfecture, religion, transport | Non |
| Qualitatif ordinal | Mots, avec un ordre | Mention, niveau d'instruction | Non (mais on peut ranger) |
| Quantitatif discret | Nombres isolés, comptés | Nombre d'enfants, de pièces | Oui |
| Quantitatif continu | Toutes les valeurs d'un intervalle, mesurées ; souvent en classes | Taille, poids, pluie, revenu | Oui (avec les centres des classes) |
Méthode
Pour étudier un caractère et ses modalités :
- Je nomme le caractère et je liste quelques modalités.
- Je dis s'il est qualitatif ou quantitatif (les modalités sont-elles des nombres mesurables ?).
- Qualitatif : je précise nominal ou ordinal. Quantitatif : je précise discret (je compte) ou continu (je mesure).
- Si le caractère est continu, je forme des classes [a ; b[ exhaustives et incompatibles, de même amplitude si possible.
- Je calcule pour chaque classe l'amplitude b − a et le centre (a + b)/2.
3Je retiens
Je retiens
Caractère qualitatif : modalités non mesurables (mots). Nominal : sans ordre ; ordinal : avec un ordre naturel.
Caractère quantitatif : modalités numériques obtenues par comptage ou mesure.
Discret : valeurs isolées (souvent entières), obtenues en comptant. Continu : toutes les valeurs d'un intervalle, obtenues en mesurant.
Un caractère continu se regroupe en classes [a ; b[ : a ≤ x < b.
Amplitude = b − a ; centre = (a + b) / 2.
Un nombre qui n'est qu'une étiquette (code, numéro) ne rend pas le caractère quantitatif.
4Erreurs fréquentes
- Croire qu'un caractère est quantitatif dès qu'il s'écrit avec des chiffres : un numéro de chambre ou un code postal est qualitatif.
- Confondre ordinal et quantitatif : les mentions se rangent, mais « bien » n'est pas « deux fois assez bien ».
- Classer l'âge ou la taille comme discret parce qu'on les arrondit : ce sont des mesures, donc des caractères continus.
- Calculer le centre d'une classe en faisant b − a au lieu de (a + b) / 2.
5Je m’exerce
1Exercice 1
(Questions de cours)
a) Quelle est la différence entre un caractère qualitatif et un caractère quantitatif ?
b) Définis caractère quantitatif discret et caractère quantitatif continu.
c) Que signifie la notation [20 ; 30[ ?
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a) Les modalités d'un caractère qualitatif sont des catégories (des mots) non mesurables ; celles d'un caractère quantitatif sont des nombres obtenus par comptage ou par mesure, sur lesquels les calculs ont un sens.
b) Discret : il ne prend que des valeurs isolées, généralement entières, obtenues en comptant. Continu : il peut prendre toutes les valeurs d'un intervalle ; il est obtenu par mesure.
c) La classe des valeurs x telles que 20 ≤ x < 30 : 20 est inclus, 30 est exclu.
2Exercice 2
Classe chaque caractère (qualitatif nominal, qualitatif ordinal, quantitatif discret, quantitatif continu) : a) la langue parlée à la maison ; b) le nombre de sacs de riz récoltés ; c) le temps de trajet domicile-lycée ; d) le niveau de classe (7e, 8e, 9e, 10e) ; e) le numéro de table au BAC ; f) la masse d'un régime de bananes ; g) la note d'appréciation « insuffisant, moyen, bon, excellent ».
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Qualitatif nominal. b) Quantitatif discret. c) Quantitatif continu. d) Qualitatif ordinal (les niveaux se rangent, mais ce ne sont pas des mesures). e) Qualitatif nominal (c'est une étiquette). f) Quantitatif continu. g) Qualitatif ordinal.
3Exercice 3
Calcule l'amplitude et le centre des classes suivantes (durées de trajet en minutes) : [0 ; 15[ ; [15 ; 30[ ; [30 ; 60[ ; [60 ; 120[.
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[0 ; 15[ : amplitude 15 min, centre 7,5 min.
[15 ; 30[ : amplitude 15 min, centre 22,5 min.
[30 ; 60[ : amplitude 30 min, centre 45 min.
[60 ; 120[ : amplitude 60 min, centre 90 min.
4Exercice 4
On a mesuré la masse (en kg) de 12 sacs de fonio : 24,5 ; 25 ; 26,2 ; 27,8 ; 28 ; 29,9 ; 30 ; 30,4 ; 31,7 ; 33 ; 34,6 ; 35.
a) Quelle est la nature du caractère ?
b) Range ces valeurs dans les classes [24 ; 27[, [27 ; 30[, [30 ; 33[, [33 ; 36[ et donne l'effectif de chaque classe.
c) Vérifie que la somme des effectifs est 12.
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a) Quantitatif continu (on mesure une masse).
b) [24 ; 27[ : 24,5 ; 25 ; 26,2 : effectif 3.
[27 ; 30[ : 27,8 ; 28 ; 29,9 : effectif 3.
[30 ; 33[ : 30 ; 30,4 ; 31,7 : effectif 3 (30 appartient à cette classe, pas à la précédente).
[33 ; 36[ : 33 ; 34,6 ; 35 : effectif 3.
c) 3 + 3 + 3 + 3 = 12.
5Exercice 5
(Type examen) Une enquête auprès de 60 ménages de Dinguiraye relève : la taille du ménage (nombre de personnes), le revenu mensuel en GNF, le type de logement (case ronde, maison rectangulaire, autre) et l'appréciation de l'accès à l'eau (difficile, moyen, facile).
a) Donne la nature de chacun des quatre caractères.
b) Pour lequel faut-il former des classes ? Propose quatre classes de même amplitude entre 0 et 4 000 000 GNF.
c) Calcule le centre de chacune de tes classes.
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a) Taille du ménage : quantitatif discret. Revenu mensuel : quantitatif continu (valeurs très nombreuses). Type de logement : qualitatif nominal. Appréciation de l'accès à l'eau : qualitatif ordinal.
b) Le revenu mensuel. Amplitude : 4 000 000 / 4 = 1 000 000 GNF. Classes : [0 ; 1 000 000[ ; [1 000 000 ; 2 000 000[ ; [2 000 000 ; 3 000 000[ ; [3 000 000 ; 4 000 000[. (Pour être exhaustif, on peut transformer la dernière en « 3 000 000 et plus » si certains ménages dépassent 4 000 000 GNF.)
c) Centres : 500 000 ; 1 500 000 ; 2 500 000 ; 3 500 000 GNF.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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