Karamö, le prof virtuelLeçon 11 sur 23
Le nombre dérivé
Je sais calculer le nombre dérivé d'une fonction en un point à l'aide du taux d'accroissement, et m'en servir pour écrire l'équation d'une tangente, faire une approximation ou calculer une vitesse instantanée.
- 55 min
- 6 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Calculer un taux d'accroissement et sa limite pour obtenir le nombre dérivé f'(a)
- Interpréter f'(a) comme le coefficient directeur de la tangente et écrire son équation
- Utiliser l'approximation affine f(a + h) ≈ f(a) + f'(a)h
- Reconnaître une fonction non dérivable en un point
Avant de commencer : Les limites (formes indéterminées 0/0, factorisation, expression conjuguée), l'équation d'une droite et son coefficient directeur.
1Je découvre
Sur la route nationale entre Coyah et Kindia, Lansana voyage en taxi-brousse. Le trajet dure longtemps, avec des montées, des virages et des arrêts. En divisant la distance parcourue par la durée, il obtient une vitesse moyenne. Pourtant, à chaque instant, l'aiguille du compteur du chauffeur indique une vitesse différente : c'est la vitesse instantanée.
Pour comprendre, son professeur propose une expérience plus simple. On lâche un caillou du haut d'une falaise ; la distance parcourue après t secondes vaut environ d(t) = 5t2 mètres.
Entre t = 1 et t = 2, la vitesse moyenne vaut d(2) - d(1)2 - 1 = 20 - 51 = 15 m/s. Entre t = 1 et t = 1,1 : 6,05 - 50,1 = 10,5 m/s. Entre t = 1 et t = 1,01 : 5,1005 - 50,01 = 10,05 m/s.
Plus l'intervalle est petit, plus la vitesse moyenne se rapproche de 10 m/s.
Comment calculer exactement cette « vitesse à l'instant t = 1 », et plus généralement la pente d'une courbe en un point ?
2Je comprends
1. Taux d'accroissement
Soit f une fonction définie sur un intervalle contenant a, et h un réel non nul tel que a + h soit dans cet intervalle. Le taux d'accroissement de f entre a et a + h est :
tau(h) = f(a + h) - f(a)h.
C'est le coefficient directeur de la droite qui passe par les points A(a ; f(a)) et M(a + h ; f(a + h)) de la courbe : on l'appelle une sécante.
2. Nombre dérivé
On dit que f est dérivable en a si le taux d'accroissement a une limite finie quand h tend vers 0. Cette limite est le nombre dérivé de f en a, noté f'(a) :
f'(a) = limh → 0 f(a + h) - f(a)h.
On peut aussi écrire, en posant x = a + h : f'(a) = limx → a f(x) - f(a)x - a.
Remplacer directement h par 0 donne toujours la forme indéterminée 00 : il faut d'abord simplifier le taux.
Méthode
Pour calculer le nombre dérivé de f en a :
- Je calcule f(a) et f(a + h).
- Je forme la différence f(a + h) − f(a) et je la simplifie (développer, réduire au même dénominateur, expression conjuguée).
- Je divise par h et je simplifie par h (h ≠ 0).
- Je calcule la limite quand h tend vers 0. Si elle est finie, c'est f'(a).
Exemple
Calculer le nombre dérivé de f(x) = x² en a = 3.
f(3 + h) − f(3) = (3 + h)² − 9 = 9 + 6h + h² − 9 = 6h + h².
τ(h) = (6h + h²)/h = 6 + h.
lim (h → 0) (6 + h) = 6. Donc f est dérivable en 3 et f'(3) = 6.
Exemple
Calculer le nombre dérivé de f(x) = 1/x en a = 2.
f(2 + h) − f(2) = 1/(2 + h) − 1/2 = (2 − (2 + h))/(2(2 + h)) = −h/(2(2 + h)).
τ(h) = −1/(2(2 + h)). Quand h → 0 : τ(h) → −1/4. Donc f'(2) = −1/4.
Pour le caillou : d(1 + h) - d(1) = 5(1 + h)2 - 5 = 10h + 5h2, donc tau(h) = 10 + 5h → 10. La vitesse instantanée à t = 1 s est d'(1) = 10 m/s. Le nombre dérivé d'une position par rapport au temps est une vitesse instantanée.
3. Interprétation graphique : la tangente
Quand h tend vers 0, le point M se rapproche de A et la sécante (AM) tend vers une droite limite : la tangente à la courbe au point A.
Le nombre dérivé f'(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a. L'équation de cette tangente est :
y = f'(a)(x - a) + f(a).
Si f'(a) = 0, la tangente est horizontale.
Exemple
Équation de la tangente à la courbe de f(x) = x² au point d'abscisse 3.
f(3) = 9 et f'(3) = 6. T : y = 6(x − 3) + 9 = 6x − 18 + 9, soit y = 6x − 9.
Contrôle : le point (3 ; 9) vérifie 9 = 6 × 3 − 9.
4. Approximation affine
Près de a, la courbe et sa tangente sont très proches. Pour h petit :
f(a + h) ≈ f(a) + f'(a) h.
Exemple
Donner une valeur approchée de √4,02.
Soit f(x) = √x et a = 4. Nombre dérivé : (√(4 + h) − 2)/h = ((4 + h) − 4)/(h(√(4 + h) + 2)) = 1/(√(4 + h) + 2), qui tend vers 1/4. Donc f'(4) = 1/4.
Avec h = 0,02 : √4,02 ≈ 2 + 0,02 × 1/4 = 2,005.
La calculatrice donne 2,004 99… : l'approximation est excellente.
5. Une fonction peut ne pas être dérivable
Pour f(x) = |x| en a = 0 : tau(h) = |h|h vaut 1 si h > 0 et -1 si h < 0. Le taux n'a pas de limite unique : f n'est pas dérivable en 0. La courbe a un « point anguleux » avec deux demi-tangentes de pentes -1 et 1. On dit que f est dérivable à droite en 0 (nombre dérivé à droite 1) et à gauche (nombre dérivé à gauche -1). Les nombres dérivés à gauche et à droite sont surtout travaillés en SM.
De même, x mapsto √x n'est pas dérivable en 0 : √hh = 1√h → +∞ ; la courbe a une tangente verticale.
3Je retiens
Je retiens
Taux d'accroissement : τ(h) = (f(a + h) − f(a))/h.
f est dérivable en a si τ(h) a une limite finie quand h → 0 ; cette limite est f'(a).
f'(a) est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse a.
Équation de la tangente : y = f'(a)(x − a) + f(a).
Approximation affine : f(a + h) ≈ f(a) + f'(a) h pour h proche de 0.
En physique : le nombre dérivé de la position par rapport au temps est la vitesse instantanée.
|x| n'est pas dérivable en 0 (point anguleux) ; √x n'est pas dérivable en 0 (tangente verticale).
4Erreurs fréquentes
- Remplacer h par 0 avant d'avoir simplifié : on obtient 0/0, qui n'est pas une réponse.
- Oublier f(a) dans l'équation de la tangente : y = f'(a)(x − a) + f(a), et non y = f'(a)(x − a).
- Mal développer (a + h)² : (3 + h)² = 9 + 6h + h², et non 9 + h².
- Confondre le nombre dérivé f'(a), qui est une pente, avec l'image f(a), qui est une ordonnée.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Soit f(x) = 3x2 - x. Calcule le taux d'accroissement de f entre 1 et 1 + h, puis f'(1).
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f(1) = 3 - 1 = 2 et f(1 + h) = 3(1 + 2h + h2) - 1 - h = 2 + 5h + 3h2.
tau(h) = 5h + 3h2h = 5 + 3h. Quand h → 0 : f'(1) = 5.
2Exercice 2
Soit g(x) = x3. Montre que g est dérivable en -1 et calcule g'(-1).
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g(-1 + h) = (-1 + h)3 = -1 + 3h - 3h2 + h3 et g(-1) = -1.
tau(h) = 3h - 3h2 + h3h = 3 - 3h + h2 → 3. La limite est finie : g est dérivable en -1 et g'(-1) = 3.
3Exercice 3
Soit f(x) = x2 - 4x + 1.
a) Calcule f'(1) et écris l'équation de la tangente au point d'abscisse 1.
b) Calcule f'(2). Que peux-tu dire de la tangente au point d'abscisse 2 ?
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a) f(1) = -2. f(1 + h) = 1 + 2h + h2 - 4 - 4h + 1 = h2 - 2h - 2. tau(h) = h2 - 2hh = h - 2 → -2. Donc f'(1) = -2.
Tangente : y = -2(x - 1) - 2 = -2x. (Elle passe par l'origine.)
b) f(2) = -3. f(2 + h) = 4 + 4h + h2 - 8 - 4h + 1 = h2 - 3. tau(h) = h2h = h → 0. Donc f'(2) = 0 : la tangente est horizontale, d'équation y = -3.
4Exercice 4
Soit f(x) = 1x + 1.
a) Calcule f'(0) et écris l'équation de la tangente au point d'abscisse 0.
b) Déduis-en une valeur approchée de 11,03.
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a) f(0) = 1. f(h) - f(0) = 11 + h - 1 = -h1 + h, donc tau(h) = -11 + h → -1. f'(0) = -1.
Tangente : y = -1(x - 0) + 1, soit y = -x + 1.
b) 11,03 = f(0,03) ≈ 1 - 0,03 = 0,97. (La valeur exacte est environ 0,9709.)
5Exercice 5
Soit f(x) = |x - 2|. Étudie la dérivabilité de f en 2.
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f(2) = 0 et tau(h) = |2 + h - 2|h = |h|h.
Si h > 0 : tau(h) = 1 ; si h < 0 : tau(h) = -1. Les limites à droite (1) et à gauche (-1) sont différentes : f n'est pas dérivable en 2. Sa courbe présente un point anguleux au point (2 ; 0).
6Exercice 6
(Type BAC) Une moto démarre sur la route de Labé. Sa position, en mètres, t secondes après le départ, est d(t) = t2 + 2t.
a) Calcule la vitesse moyenne entre t = 2 et t = 4.
b) Calcule la vitesse instantanée à t = 2 s.
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a) d(4) = 16 + 8 = 24 m et d(2) = 4 + 4 = 8 m. Vitesse moyenne : 24 - 84 - 2 = 8 m/s.
b) d(2 + h) = 4 + 4h + h2 + 4 + 2h = 8 + 6h + h2. tau(h) = 6h + h2h = 6 + h → 6.
La vitesse instantanée à t = 2 s est d'(2) = 6 m/s.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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