Karamö, le prof virtuelLeçon 12 sur 23
Dérivée d'une fonction
Je sais calculer la fonction dérivée d'une fonction avec les formules et les règles d'opérations, puis l'utiliser pour trouver le sens de variation, les extremums et la tangente.
- 1 h
- 6 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Connaître les dérivées des fonctions usuelles
- Dériver une somme, un produit, un quotient, une puissance et une racine d'une fonction
- Déduire le sens de variation d'une fonction du signe de sa dérivée et dresser son tableau de variation
- Résoudre un problème d'optimisation
Avant de commencer : Le nombre dérivé et l'équation de la tangente (leçon précédente), les limites, le signe d'un trinôme et les tableaux de signes.
1Je découvre
Dans un atelier de Kankan, Alpha fabrique des bassines carrées sans couvercle pour les vendeuses de poisson. Il part d'une plaque de tôle carrée de 60 cm de côté, découpe un carré de côté x cm à chaque coin, puis relève les bords. Le volume de la bassine est :
V(x) = x(60 - 2x)2, pour 0 < x < 30.
Il fait quelques essais : V(5) = 5 × 502 = 12 500 cm³ ; V(10) = 10 × 402 = 16 000 cm³ ; V(15) = 15 × 302 = 13 500 cm³. Le volume augmente puis diminue. Mais la meilleure découpe est-elle vraiment 10 cm ? Peut-être 9 cm, ou 11 cm ? Il ne peut pas tout essayer.
Dans la leçon précédente, tu as appris à calculer un nombre dérivé en un point, avec une limite. C'est long. Il faudrait une formule qui donne f'(x) pour tous les x d'un coup.
Comment calculer rapidement la dérivée d'une fonction, et comment s'en servir pour trouver où elle croît, où elle décroît et où elle atteint son maximum ?
2Je comprends
1. Fonction dérivée
Si f est dérivable en tout point d'un intervalle I, la fonction qui à chaque x de I associe le nombre dérivé f'(x) s'appelle la fonction dérivée de f ; on la note f'.
2. Dérivées des fonctions usuelles
On les obtient avec la méthode de la leçon précédente (taux d'accroissement et limite).
| f(x) | f'(x) | Intervalle |
|---|---|---|
| k (constante) | 0 | ℝ |
| x | 1 | ℝ |
| xn (n entier, n ≥ 1) | n xn-1 | ℝ |
| 1x | -1x2 | ]-∞ ; 0[ ou ]0 ; +∞[ |
| √x | 12√x | ]0 ; +∞[ |
3. Opérations sur les dérivées
Soient u et v deux fonctions dérivables sur I, et k un réel.
| Fonction | Dérivée | Condition |
|---|---|---|
| u + v | u' + v' | |
| k u | k u' | |
| u v | u'v + uv' | |
| 1v | -v'v2 | v ≠ 0 sur I |
| uv | u'v - uv'v2 | v ≠ 0 sur I |
| un (n ≥ 1) | n u' un-1 | |
| √u | u'2√u | u > 0 sur I |
Conséquence : un polynôme se dérive terme à terme, et sa dérivée est encore un polynôme.
Exemple
Dériver f(x) = 3x⁴ − 5x² + 7x − 2 et g(x) = (2x + 1)(x² − 3).
f'(x) = 3 × 4x³ − 5 × 2x + 7 − 0 = 12x³ − 10x + 7.
Pour g, u = 2x + 1 (u' = 2) et v = x² − 3 (v' = 2x) :
g'(x) = 2(x² − 3) + (2x + 1)(2x) = 2x² − 6 + 4x² + 2x = 6x² + 2x − 6.
Contrôle : g(x) = 2x³ + x² − 6x − 3, donc g'(x) = 6x² + 2x − 6. Juste.
Exemple
Dériver h(x) = (3x − 1)/(x + 2), k(x) = (2x − 5)⁴ et m(x) = √(x² + 1).
h : u = 3x − 1, u' = 3 ; v = x + 2, v' = 1.
h'(x) = (3(x + 2) − (3x − 1) × 1)/(x + 2)² = (3x + 6 − 3x + 1)/(x + 2)² = 7/(x + 2)².
k : u = 2x − 5, u' = 2. k'(x) = 4 × 2 × (2x − 5)³ = 8(2x − 5)³.
m : u = x² + 1, u' = 2x. m'(x) = 2x/(2√(x² + 1)) = x/√(x² + 1).
4. Dérivée et sens de variation
Théorème. Soit f dérivable sur un intervalle I.
- Si f'(x) > 0 sur I (sauf peut-être en des points isolés où elle s'annule), f est strictement croissante sur I.
- Si f'(x) < 0 sur I (sauf en des points isolés), f est strictement décroissante sur I.
- Si f'(x) = 0 sur tout I, f est constante sur I.
Extremum. Si f' s'annule en x0 en changeant de signe, f admet un extremum local en x0 : un maximum si f' passe de + à -, un minimum si f' passe de - à +. La tangente y est horizontale.
Méthode
Pour étudier les variations d'une fonction f :
- Je donne l'ensemble de définition Df et je calcule les limites aux bornes.
- Je calcule f'(x) et je l'écris sous forme factorisée.
- J'étudie le signe de f'(x) (tableau de signes, signe d'un trinôme).
- Je dresse le tableau de variation : une flèche montante là où f' > 0, descendante là où f' < 0, et je calcule les extremums.
- Je conclus par une phrase : f est croissante sur …, décroissante sur …, maximum … atteint en …
Exemple
Étudier les variations de f(x) = x³ − 3x + 1 sur ℝ.
Limites : en +∞, x³ → +∞ ; en −∞, x³ → −∞.
f'(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1). f' s'annule en −1 et 1 ; trinôme avec a = 3 > 0 : positif à l'extérieur des racines.
f(−1) = −1 + 3 + 1 = 3 et f(1) = 1 − 3 + 1 = −1.
| x | −∞ | −1 | 1 | +∞ | |||
| f'(x) | + | 0 | − | 0 | + | ||
| f(x) | −∞ | ↗ | 3 | ↘ | −1 | ↗ | +∞ |
f est croissante sur ]−∞ ; −1] et sur [1 ; +∞[, décroissante sur [−1 ; 1].
Maximum local 3 en x = −1 ; minimum local −1 en x = 1.
5. Retour à la bassine d'Alpha
V(x) = x(60 - 2x)2 est le produit de u = x (u' = 1) et v = (60 - 2x)2 (v' = 2 × (-2) × (60 - 2x) = -4(60 - 2x)) :
V'(x) = (60 - 2x)2 - 4x(60 - 2x) = (60 - 2x)(60 - 2x - 4x) = (60 - 2x)(60 - 6x).
Sur ]0 ; 30[, 60 - 2x > 0 ; donc V'(x) a le signe de 60 - 6x : positif pour x < 10, négatif pour x > 10. V est croissante sur ]0 ; 10] et décroissante sur [10 ; 30[ : le volume est maximal pour x = 10 cm, et vaut V(10) = 16 000 cm³, soit 16 litres.
3Je retiens
Je retiens
(xⁿ)' = n xⁿ⁻¹ ; (1/x)' = −1/x² ; (√x)' = 1/(2√x) ; (k)' = 0.
(u + v)' = u' + v' ; (ku)' = k u' ; (uv)' = u'v + uv'.
(1/v)' = −v'/v² ; (u/v)' = (u'v − uv')/v².
(uⁿ)' = n u' uⁿ⁻¹ ; (√u)' = u'/(2√u).
f' > 0 sur I ⟹ f strictement croissante ; f' < 0 ⟹ strictement décroissante.
f' s'annule en changeant de signe en x0 ⟹ extremum local en x0 (tangente horizontale).
Tangente : y = f'(a)(x − a) + f(a).
4Erreurs fréquentes
- Dériver un produit en multipliant les dérivées : (uv)' n'est pas u'v'. Pour x × x, on trouve 2x et non 1.
- Inverser le numérateur de (u/v)' : c'est u'v − uv', dans cet ordre ; l'inverse change le signe du résultat.
- Oublier u' dans (uⁿ)' : la dérivée de (2x − 5)⁴ est 4 × 2 × (2x − 5)³, et non 4(2x − 5)³.
- Conclure à un extremum dès que f'(x0) = 0 : pour x³, la dérivée 3x² s'annule en 0 sans changer de signe, et il n'y a pas d'extremum.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Calcule la dérivée de :
a) f(x) = 5x3 - 2x + 4
b) g(x) = x2 + 1x
c) h(x) = 3√x
d) k(x) = x55 - x
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a) f'(x) = 15x2 - 2.
b) g'(x) = 2x - 1x2 (sur ℝ^*).
c) h'(x) = 3 × 12√x = 32√x (sur ]0 ; +∞[).
d) k'(x) = 5x45 - 1 = x4 - 1.
2Exercice 2
Calcule la dérivée de :
a) f(x) = (x2 + 1)(3x - 2)
b) g(x) = x2 - 1x + 3
c) h(x) = (1 - 2x)3
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a) f'(x) = 2x(3x - 2) + (x2 + 1) × 3 = 6x2 - 4x + 3x2 + 3 = 9x2 - 4x + 3.
b) u = x2 - 1, u' = 2x ; v = x + 3, v' = 1.
g'(x) = 2x(x + 3) - (x2 - 1)(x + 3)2 = 2x2 + 6x - x2 + 1(x + 3)2 = x2 + 6x + 1(x + 3)2.
c) u = 1 - 2x, u' = -2 : h'(x) = 3 × (-2) × (1 - 2x)2 = -6(1 - 2x)2.
3Exercice 3
Soit f(x) = x + 1x - 1. Calcule f'(x), puis écris l'équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 2.
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f'(x) = 1 × (x - 1) - (x + 1) × 1(x - 1)2 = -2(x - 1)2.
f(2) = 3 et f'(2) = -21 = -2. Tangente : y = -2(x - 2) + 3, soit y = -2x + 7.
4Exercice 4
Étudie les variations de f(x) = -x3 + 3x2 sur ℝ (limites, dérivée, tableau de variation, extremums).
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Limites : terme de plus haut degré -x3 : en -∞, +∞ ; en +∞, -∞.
f'(x) = -3x2 + 6x = -3x(x - 2). Racines 0 et 2 ; a = -3 < 0 : f' est négative à l'extérieur de [0 ; 2] et positive entre 0 et 2.
f(0) = 0 et f(2) = -8 + 12 = 4.
| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f'(x) | - | 0 | + | 0 | - | ||
| f(x) | +∞ | searrow | 0 | nearrow | 4 | searrow | -∞ |
f est décroissante sur ]-∞ ; 0] et sur [2 ; +∞[, croissante sur [0 ; 2]. Minimum local 0 en x = 0 ; maximum local 4 en x = 2.
5Exercice 5
(Type BAC) Soit g(x) = x2 + 3x - 1 sur ℝ setminus {1}.
a) Calcule les limites de g en -∞, en +∞, et à gauche et à droite de 1.
b) Montre que g'(x) = (x - 3)(x + 1)(x - 1)2.
c) Dresse le tableau de variation de g et donne ses extremums locaux.
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a) En ± ∞ : x2x = x, donc limx → -∞ g(x) = -∞ et limx → +∞ g(x) = +∞.
En 1 : le numérateur tend vers 4 > 0. Si x → 1^+ : +∞ ; si x → 1^- : -∞.
b) g'(x) = 2x(x - 1) - (x2 + 3)(x - 1)2 = 2x2 - 2x - x2 - 3(x - 1)2 = x2 - 2x - 3(x - 1)2. Or x2 - 2x - 3 a pour racines -1 et 3 (Δ = 16), donc x2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1).
c) (x - 1)2 > 0 : g' a le signe de (x - 3)(x + 1), positif à l'extérieur de [-1 ; 3], négatif entre. g(-1) = 4-2 = -2 et g(3) = 122 = 6.
| x | -∞ | -1 | 1 | 3 | +∞ | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| g'(x) | + | 0 | - | ‖ | - | 0 | + | ||
| g(x) | -∞ | nearrow | -2 | searrow | -∞ ‖ +∞ | searrow | 6 | nearrow | +∞ |
Maximum local -2 en x = -1 ; minimum local 6 en x = 3. (Le maximum local est plus petit que le minimum local : ce n'est pas une erreur, ils sont sur deux branches séparées par l'asymptote x = 1.)
6Exercice 6
(Problème) Reprends la bassine d'Alpha, mais avec une plaque de tôle carrée de 36 cm de côté : V(x) = x(36 - 2x)2 pour 0 < x < 18. Trouve la découpe qui donne le plus grand volume et calcule ce volume.
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V'(x) = (36 - 2x)2 + x × 2 × (-2)(36 - 2x) = (36 - 2x)(36 - 2x - 4x) = (36 - 2x)(36 - 6x).
Sur ]0 ; 18[, 36 - 2x > 0 ; V'(x) a le signe de 36 - 6x : positif pour x < 6, négatif pour x > 6. V est croissante sur ]0 ; 6] et décroissante sur [6 ; 18[.
Le volume est maximal pour x = 6 cm : V(6) = 6 × 242 = 6 × 576 = 3 456 cm³.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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