Les incertitudes dans les mesures

1. Valeur vraie, valeur mesurée, erreur

La valeur vraie x₀ d'une grandeur est inaccessible : aucun instrument n'est parfait. On obtient une valeur mesurée x. L'erreur est l'écart x - x₀ ; on ne la connaît jamais exactement, mais on peut l'encadrer.

On distingue deux grands types d'erreurs :

• Une erreur systématique décale toutes les mesures dans le même sens : une balance qui affiche 50 g à vide, une erreur de parallaxe toujours du même côté. Répéter la mesure ne sert à rien ; il faut corriger l'appareil ou la méthode (faire la tare, placer l'œil perpendiculairement à la graduation).
• Une erreur aléatoire varie d'une mesure à l'autre, au hasard. On la réduit en répétant la mesure et en prenant la moyenne.

On ajoute l'erreur de l'instrument : sa précision est limitée par sa graduation ou par la classe indiquée par le constructeur.

2. Incertitude absolue et incertitude relative

L'incertitude absolue Δ x est la valeur maximale estimée de l'erreur. Elle est toujours positive et s'exprime dans la même unité que x. On écrit :

x₀ ∈ [x - Δ x ; x + Δ x], ou plus simplement x = (x ± Δ x) unité.

Pour un instrument à graduation (règle, thermomètre, éprouvette), on prend souvent :

Δ x = plus petite graduation2 pour une lecture simple.

Pour une longueur mesurée avec une règle, il y a deux lectures (le zéro et l'autre extrémité), donc on peut prendre Δ x = 2 × 1 mm2 = 1 mm. Pour un appareil à affichage numérique, on prend en général une unité du dernier chiffre affiché (ou la précision donnée par la notice).

L'incertitude relative (ou précision) est le quotient :

Δ xx, sans unité, souvent exprimé en pourcentage.

Elle permet de comparer la qualité de deux mesures. Une incertitude de 1 mm sur 1,842 m est excellente ; la même incertitude de 1 mm sur 5 mm est médiocre.

3. Série de mesures : la moyenne

Quand on répète n fois une mesure (x₁, x₂, …, x_n), la meilleure estimation est la moyenne :

x = x₁ + x₂ + ⋯ + x_nn.

Une estimation simple de l'incertitude, utilisée à ce niveau, est le plus grand écart entre une mesure et la moyenne : Δ x = max |x_i - x|. (On ne la prend jamais plus petite que l'incertitude de l'instrument.)

4. Propagation des incertitudes dans un calcul

Souvent, la grandeur cherchée se calcule à partir de plusieurs mesures. Les incertitudes s'ajoutent (on se place dans le cas le plus défavorable).

Somme ou différence : si S = a + b ou D = a - b, alors

Δ S = Δ a + Δ b et Δ D = Δ a + Δ b.

Attention : pour une différence, les incertitudes absolues s'ajoutent aussi, elles ne se soustraient jamais.

Produit ou quotient : si P = a × b ou Q = ab, alors ce sont les incertitudes relatives qui s'ajoutent :

Δ PP = Δ aa + Δ bb et Δ QQ = Δ aa + Δ bb.

Puissance : si G = aⁿ, alors Δ GG = |n| Δ aa. Par exemple, pour V = a³ (volume d'un cube), Δ VV = 3Δ aa. Une constante exacte (comme π ou 12) n'ajoute pas d'incertitude.

5. Écrire le résultat final

Quelques règles de présentation, appliquées dans toutes tes copies :

• l'incertitude s'écrit avec un seul chiffre significatif (deux si le premier est 1), arrondie par excès ;
• la valeur est arrondie au même rang que l'incertitude : on écrit (12,5 ± 0,4) m/s et non (12,500 ± 0,4) ni (12,5 ± 0,375) ;
• la valeur et l'incertitude ont la même unité, placée après la parenthèse ;
• on peut aussi donner l'incertitude relative : v = 12,5 m/s à 3 % près.

Enfin, deux mesures d'une même grandeur sont compatibles si leurs intervalles [x - Δ x ; x + Δ x] se chevauchent.