Karamö, le prof virtuelLeçon 3 sur 33
Notions de cinématique
Je sais décrire le mouvement d'un point dans un référentiel choisi, calculer une vitesse moyenne et estimer une vitesse instantanée à partir d'un enregistrement.
- 55 min
- 5 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir référentiel, repère d'espace et repère de temps
- Montrer que le mouvement et la trajectoire dépendent du référentiel
- Repérer un point par son abscisse curviligne et calculer une vitesse moyenne
- Déterminer une vitesse instantanée sur un enregistrement et classer un mouvement
Avant de commencer : La leçon « Mesure des grandeurs » ; la vitesse moyenne v = d/t vue au collège ; la lecture d'un repère.
1Je découvre
Fatoumata prend un taxi-brousse de Kindia à Mamou. Assise à l'arrière, elle tient sur ses genoux le panier de mangues de sa tante. Elle se dit : « Le panier ne bouge pas. » Au bord de la route, son cousin Sékou, qui regarde passer le taxi, dit au contraire : « Le panier file à toute vitesse ! »
Qui a raison ? Tous les deux. Le panier est immobile par rapport au taxi, mais en mouvement par rapport à la route. Un mouvement n'a de sens que si l'on précise par rapport à quoi on l'observe.
Pendant ce temps, le chauffeur regarde son compteur, qui affiche tantôt 40, tantôt 80 km/h, alors que le trajet complet se fait à une « moyenne » bien plus faible à cause des virages et des arrêts.
Comment décrire précisément un mouvement : par rapport à quoi, avec quels repères, et quelle différence y a-t-il entre la vitesse moyenne et la vitesse à un instant donné ?
2Je comprends
La cinématique est la partie de la mécanique qui décrit les mouvements (positions, trajectoires, vitesses, accélérations) sans s'occuper de leurs causes. Les causes (les forces) relèvent de la dynamique, que tu étudieras dans le chapitre suivant.
1. Le point matériel
Pour décrire le mouvement d'un objet dont les dimensions sont petites devant les distances parcourues (un taxi entre Kindia et Mamou, un ballon lancé), on le remplace par un point matériel : un point auquel on attribue toute la masse de l'objet. Pour un solide plus étendu, on étudie le mouvement d'un point particulier, souvent son centre d'inertie G.
2. Le référentiel
Un référentiel est un objet de référence par rapport auquel on étudie le mouvement, auquel on associe une horloge. Exemples :
- le référentiel terrestre : le sol, un bâtiment, un arbre (le plus utilisé pour les mouvements de la vie courante) ;
- le référentiel géocentrique : le centre de la Terre et des étoiles lointaines (pour étudier la Lune et les satellites) ;
- le référentiel héliocentrique : le centre du Soleil et des étoiles lointaines (pour étudier les planètes).
Relativité du mouvement : un même objet peut être immobile dans un référentiel et en mouvement dans un autre. Sa trajectoire elle-même dépend du référentiel. La valve d'une roue de moto décrit un cercle dans le référentiel de la moto, mais une courbe en arceaux (une cycloïde) dans le référentiel terrestre.
- Le panier est immobile
- Fatoumata est immobile
- Les arbres défilent vers l'arrière
- Le panier est en mouvement
- Fatoumata avance à la vitesse du taxi
- Les arbres sont immobiles
3. Repères d'espace et de temps
Pour chiffrer la position, on associe au référentiel :
- un repère d'espace : une origine O et des axes munis de vecteurs unitaires, par exemple (O ; i,j,k) orthonormé. La position du point M est donnée par ses coordonnées x, y, z ;
- un repère de temps : une origine des dates (t = 0, choisie librement, par exemple le départ) et une unité (la seconde).
Il faut distinguer :
- une date (ou instant) t : un moment repéré par rapport à l'origine des dates, par exemple t = 12 s ;
- une durée Δ t = t2 - t1 : l'intervalle entre deux dates. Une durée est toujours positive.
4. Trajectoire et abscisse curviligne
La trajectoire d'un point est l'ensemble des positions successives qu'il occupe au cours du temps, dans un référentiel donné. Selon sa forme, le mouvement est :
- rectiligne si la trajectoire est une droite ;
- circulaire si c'est un cercle (ou un arc de cercle) ;
- curviligne dans les autres cas.
Quand la trajectoire est connue, on repère le point M par son abscisse curviligne s : c'est la longueur de l'arc oversetfrownM0M mesurée sur la trajectoire, à partir d'une origine M0 et avec un sens positif choisi. L'abscisse curviligne est une grandeur algébrique (positive ou négative) ; elle s'exprime en mètres. C'est exactement le rôle des bornes kilométriques le long d'une route.
5. Vitesse moyenne
La vitesse moyenne d'un mobile entre les dates t1 et t2 est :
vm = s2 - s1t2 - t1 = Δ sΔ t
où Δ s est la distance parcourue sur la trajectoire. Unité SI : m·s-1.
Exemple
Le taxi-brousse part à 7 h 15 et arrive à 10 h 45 après avoir parcouru 175 km (valeur de l'énoncé). Quelle est sa vitesse moyenne ?
Durée : Δt = 10 h 45 − 7 h 15 = 3 h 30 min = 3,5 h.
v_m = 175 / 3,5 = 50 km/h.
En unité SI : 50 / 3,6 ≈ 13,9 m/s.
Le compteur a parfois affiché 80 km/h : la vitesse moyenne ne dit rien de la vitesse à chaque instant.
6. Vitesse instantanée
La vitesse instantanée à la date t est la vitesse moyenne calculée sur une durée très courte entourant cette date. C'est ce qu'indique le compteur.
En pratique, sur un enregistrement (chronophotographie, table à coussin d'air, vidéo image par image), les positions M0, M1, M2, … sont prises à intervalles de temps égaux tau. On obtient une bonne valeur de la vitesse à l'instant ti (position Mi) par :
vi ≈ Mi-1Mi+12tau
c'est-à-dire la distance entre la position d'avant et la position d'après, divisée par la durée correspondante 2tau.
Méthode
Pour calculer une vitesse instantanée sur un enregistrement :
- Je repère l'intervalle de temps τ entre deux positions successives (et je le convertis en secondes).
- Je mesure la distance M(i−1)M(i+1) sur le document et je tiens compte de l'échelle.
- Je calcule vᵢ = M(i−1)M(i+1) / (2τ), en unités SI.
- Je compare les vitesses obtenues pour conclure sur la nature du mouvement.
Exemple
Un palet autoporteur est enregistré toutes les τ = 40 ms. Sur le document, à l'échelle 1 (grandeur réelle), on mesure : M₁M₃ = 3,2 cm et M₄M₆ = 4,8 cm. Calculer v₂ et v₅.
2τ = 2 × 40 ms = 80 ms = 0,080 s.
v₂ = 0,032 m / 0,080 s = 0,40 m/s.
v₅ = 0,048 m / 0,080 s = 0,60 m/s.
La vitesse augmente : le mouvement est accéléré.
7. Classer un mouvement
On décrit un mouvement par deux informations : la forme de la trajectoire et l'évolution de la vitesse.
| Évolution de la vitesse | Nom du mouvement |
|---|---|
| La valeur de la vitesse reste constante | uniforme |
| La valeur de la vitesse augmente | accéléré |
| La valeur de la vitesse diminue | retardé (ou décéléré) |
Sur un enregistrement à intervalles égaux, un mouvement rectiligne uniforme se reconnaît à des points alignés et également espacés ; si les écarts grandissent, le mouvement est accéléré ; s'ils diminuent, il est retardé.
Un mouvement peut être « circulaire uniforme » (la valeur de la vitesse est constante sur un cercle), « rectiligne accéléré », etc. Ces cas feront l'objet des prochaines leçons, où tu utiliseras les vecteurs position, vitesse et accélération.
3Je retiens
Je retiens
La cinématique décrit les mouvements sans chercher leurs causes.
Référentiel : objet de référence muni d'une horloge. Le mouvement et la trajectoire dépendent du référentiel (relativité du mouvement).
Repère d'espace (origine + axes) et repère de temps (origine des dates + unité). Date t ≠ durée Δt = t₂ − t₁.
Trajectoire : ensemble des positions successives ; mouvement rectiligne, circulaire ou curviligne.
Abscisse curviligne s : longueur algébrique mesurée sur la trajectoire depuis une origine.
Vitesse moyenne : v_m = Δs/Δt. Vitesse instantanée sur un enregistrement : vᵢ ≈ M(i−1)M(i+1) / 2τ.
Uniforme : vitesse constante ; accéléré : elle augmente ; retardé : elle diminue.
4Erreurs fréquentes
- Dire « l'objet est immobile » sans préciser le référentiel : on écrit toujours « immobile dans le référentiel … ».
- Confondre date et durée : « à t = 3 s » est une date ; « pendant 3 s » est une durée.
- Calculer vᵢ avec MᵢM(i+1) / τ : cela donne une vitesse moyenne décalée ; la bonne méthode encadre la position : M(i−1)M(i+1) / 2τ.
- Oublier de convertir : des ms en s et des cm en m avant de calculer une vitesse en m/s.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Un élève est assis dans un bus qui roule. Dis s'il est au repos ou en mouvement : a) par rapport au chauffeur ; b) par rapport à un arbre du bord de la route ; c) par rapport à un autre bus qui roule à côté, dans le même sens et à la même vitesse.
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a) Au repos par rapport au chauffeur (la distance entre eux ne change pas). b) En mouvement par rapport à l'arbre. c) Au repos par rapport à l'autre bus, puisque les deux bus avancent ensemble à la même vitesse.
2Exercice 2
Donne le référentiel le plus adapté pour étudier : a) la chute d'une mangue ; b) le mouvement de la Terre autour du Soleil ; c) le mouvement d'un satellite de télécommunication autour de la Terre.
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a) Le référentiel terrestre (le sol du verger). b) Le référentiel héliocentrique. c) Le référentiel géocentrique.
3Exercice 3
Hawa marche de chez elle au marché : 600 m en 8 min, puis s'arrête 4 min pour saluer une voisine, puis parcourt 300 m en 3 min.
a) Calcule sa vitesse moyenne sur tout le trajet, en m/s.
b) Calcule sa vitesse moyenne sur la première partie seulement.
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a) Distance totale : 600 + 300 = 900 m. Durée totale (arrêt compris) : 8 + 4 + 3 = 15 min = 900 s. vm = 900900 = 1,0 m/s.
b) vm1 = 6008 × 60 = 600480 = 1,25 m/s.
4Exercice 4
Sur un enregistrement d'une bille roulant sur un rail rectiligne, avec tau = 50 ms et une échelle 1, on relève les positions (abscisses en cm) :
M0 : 0 ; M1 : 2,0 ; M2 : 4,0 ; M3 : 6,0 ; M4 : 8,0 ; M5 : 10,0.
a) Calcule v1 et v4.
b) Quelle est la nature du mouvement ? Justifie.
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a) 2tau = 0,10 s. M0M2 = 4,0 cm = 0,040 m, donc v1 = 0,0400,10 = 0,40 m/s. M3M5 = 10,0 - 6,0 = 4,0 cm, donc v4 = 0,40 m/s.
b) La trajectoire est une droite et les positions sont également espacées (2,0 cm tous les 50 ms) : la vitesse est constante. Le mouvement est rectiligne uniforme.
5Exercice 5
(Type examen) Une moto part d'un carrefour de Kankan. On relève l'abscisse curviligne s de la moto toutes les tau = 0,50 s :
| Position | M0 | M1 | M2 | M3 | M4 | M5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| t (s) | 0 | 0,50 | 1,00 | 1,50 | 2,00 | 2,50 |
| s (m) | 0 | 0,50 | 2,00 | 4,50 | 8,00 | 12,50 |
a) Calcule la vitesse moyenne entre t = 0 et t = 2,50 s.
b) Calcule les vitesses instantanées v1, v2, v3 et v4.
c) Comment évolue la vitesse ? Nomme le mouvement.
d) Montre que la vitesse augmente de la même quantité à chaque intervalle tau.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) vm = 12,50 - 02,50 - 0 = 5,0 m/s.
b) 2tau = 1,00 s.
v1 = s2 - s02tau = 2,00 - 01,00 = 2,0 m/s ;
v2 = 4,50 - 0,501,00 = 4,0 m/s ;
v3 = 8,00 - 2,001,00 = 6,0 m/s ;
v4 = 12,50 - 4,501,00 = 8,0 m/s.
c) La vitesse augmente : le mouvement est accéléré (et rectiligne si la route est droite).
d) v2 - v1 = v3 - v2 = v4 - v3 = 2,0 m/s : la vitesse augmente de 2,0 m/s toutes les 0,50 s, soit de 4,0 m/s chaque seconde. Tu verras que ce mouvement est uniformément accéléré.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
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