Karamö, le prof virtuelLeçon 28 sur 33
Bilan énergétique d'un générateur
Je sais faire le bilan des puissances d'un générateur, calculer son rendement et déterminer l'intensité du courant dans un circuit série grâce à la loi de Pouillet.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Utiliser la loi d'Ohm d'un générateur U = E − rI et exploiter sa caractéristique
- Faire le bilan des puissances d'un générateur et calculer son rendement
- Appliquer la loi de Pouillet à un circuit série comportant générateur, résistors et récepteurs actifs
- Associer des générateurs en série
Avant de commencer : La leçon « Bilan énergétique d'un récepteur » (P = UI, loi de Joule, U = E' + r'I, rendement) ; la loi d'additivité des tensions dans un circuit série.
1Je découvre
Dans un village de la région de Faranah, la case de santé s'éclaire grâce à un panneau solaire relié à une batterie de 12 V. L'infirmier, Alpha, a remarqué que lorsqu'il branche en même temps la lampe, le réfrigérateur à vaccins et le chargeur de téléphone, la tension affichée aux bornes de la batterie baisse, de 12 V à un peu moins de 11 V. Et après une longue utilisation, la batterie est tiède.
Pourtant, la batterie est « une batterie de 12 V ». Pourquoi sa tension diminue-t-elle quand on lui demande plus de courant ? Où passe l'énergie qui la fait chauffer ? Et comment calculer le courant qu'elle débite dans un circuit donné ?
Comment faire le bilan énergétique d'un générateur, et comment prévoir l'intensité du courant dans un circuit ?
2Je comprends
1. Qu'est-ce qu'un générateur ?
Un générateur est un dipôle qui fournit de l'énergie électrique au circuit, en la produisant à partir d'une autre forme d'énergie : énergie chimique (pile, batterie), énergie lumineuse (panneau solaire), énergie mécanique (dynamo de vélo, alternateur d'un barrage ou d'un groupe électrogène).
On le représente en convention générateur : la flèche de la tension UPN (du pôle − vers le pôle +) a le même sens que le courant, qui sort par le pôle + (P).
2. Loi d'Ohm pour un générateur
Mesurons la tension UPN aux bornes d'une pile pour différentes intensités débitées. La caractéristique UPN = f(I) est une droite décroissante :
UPN = E - r I
- E est la force électromotrice (f.é.m.), en volts : c'est la tension à vide (I = 0), mesurée avec un voltmètre quand le générateur ne débite pas ;
- r est la résistance interne, en ohms.
Quand l'intensité augmente, la chute de tension r I augmente : c'est ce qu'observe Alpha avec sa batterie.
Le courant de court-circuit s'obtient quand les bornes sont reliées par un fil sans résistance (UPN = 0) : Icc = Er. Il est dangereux, surtout pour une batterie de faible résistance interne.
3. Bilan des puissances
Multiplions UPN = E - rI par I et réarrangeons :
E I = UPN I + r I2
| Terme | Signification |
|---|---|
| Pt = E I | puissance totale (électrique) produite par le générateur à partir d'une autre forme d'énergie |
| Pe = UPN I | puissance électrique fournie au circuit extérieur (puissance utile) |
| PJ = r I2 | puissance perdue par effet Joule dans le générateur (c'est pourquoi la batterie chauffe) |
Puissance produite = puissance fournie au circuit + pertes Joule internes.
4. Rendement d'un générateur
eta = PePt = UPN IE I = UPNE
Le rendement est d'autant meilleur que le générateur débite peu de courant, ou que sa résistance interne est faible.
- Fournit de l'énergie électrique
- U = E − r I
- E = force électromotrice
- Puissance produite : E I
- Rendement : η = U / E
- Reçoit de l'énergie électrique
- U = E' + r' I
- E' = force contre-électromotrice
- Puissance utile : E' I
- Rendement : η = E' / U
Exemple
Une batterie de f.é.m. E = 12 V et de résistance interne r = 0,50 Ω débite un courant de 4,0 A. Calculer la tension à ses bornes, faire le bilan des puissances et calculer le rendement.
U = E − r I = 12 − 0,50 × 4,0 = 10 V.
Puissance produite : Pt = E I = 12 × 4,0 = 48 W.
Puissance fournie au circuit : Pe = U I = 10 × 4,0 = 40 W.
Pertes Joule : PJ = r I² = 0,50 × 16 = 8,0 W. Vérification : 40 + 8,0 = 48 W.
Rendement : η = 10 / 12 ≈ 0,83, soit 83 %.
5. La loi de Pouillet
Considérons un circuit série comprenant un générateur (E, r), des résistors de résistances R1, R2, … et éventuellement des récepteurs actifs (E', r'). L'intensité I est la même partout. D'après la loi d'additivité des tensions, la tension aux bornes du générateur est égale à la somme des tensions aux bornes des autres dipôles :
E - rI = R1 I + R2 I + … + E' + r' I
d'où la loi de Pouillet :
I = E - E'R1 + R2 + … + r + r', et plus généralement I = Σ E - Σ E'Σ R
(Σ R désigne la somme de toutes les résistances du circuit, résistances internes comprises). Si le résultat est négatif, cela signifie que le courant ne peut pas circuler dans le sens prévu : le « récepteur » est trop exigeant pour le générateur.
On peut retrouver cette loi par un bilan énergétique : la puissance produite E I se répartit entre la puissance utile du récepteur E' I et toutes les pertes Joule (Σ R) I2.
Méthode
Pour étudier un circuit série avec la loi de Pouillet :
- Je fais le schéma et je repère tous les dipôles : générateurs (E, r), récepteurs actifs (E', r'), résistors R.
- Je calcule I = (somme des E − somme des E') / (somme de toutes les résistances).
- Je vérifie que I > 0, sinon le courant ne circule pas dans ce sens.
- Je calcule les tensions : U = E − r I (générateur), U = E' + r' I (récepteur), U = R I (résistor).
- Je fais le bilan des puissances : E I = E' I + (somme des R) I², et je calcule les rendements demandés.
Exemple
Une pile (E = 9,0 V ; r = 1,0 Ω) alimente un résistor de 8,0 Ω. Calculer l'intensité, la tension aux bornes de la pile et le rendement de la pile.
Loi de Pouillet : I = E / (R + r) = 9,0 / (8,0 + 1,0) = 1,0 A.
U = E − r I = 9,0 − 1,0 = 8,0 V (on vérifie : R I = 8,0 × 1,0 = 8,0 V).
η = U / E = 8,0 / 9,0 ≈ 0,89, soit 89 %.
Exemple
Un générateur (E = 24 V ; r = 1,0 Ω) alimente, en série, un moteur (E' = 18 V ; r' = 2,0 Ω) et un résistor de protection R = 3,0 Ω. Calculer I et faire le bilan complet des puissances.
I = (E − E') / (r + r' + R) = (24 − 18) / (1,0 + 2,0 + 3,0) = 6 / 6,0 = 1,0 A.
Puissance produite par le générateur : E I = 24 W.
Pertes Joule : dans le générateur r I² = 1,0 W ; dans le moteur r' I² = 2,0 W ; dans le résistor R I² = 3,0 W.
Puissance mécanique utile du moteur : E' I = 18 W.
Vérification : 1,0 + 2,0 + 3,0 + 18 = 24 W. Rendement global de l'installation : 18 / 24 = 75 %.
6. Association de générateurs en série
Pour obtenir une tension plus grande, on branche des générateurs en série, le pôle + de l'un relié au pôle − du suivant (comme les piles dans une torche). Le générateur équivalent a :
E = E1 + E2 + … et r = r1 + r2 + …
Pour n générateurs identiques (E0, r0) : E = n E0 et r = n r0.
Attention : si un générateur est branché à l'envers (en opposition), sa f.é.m. se retranche ; il se comporte alors comme un récepteur.
7. En plus pour SM : puissance maximale fournie
Un générateur (E, r) alimente un résistor R. La puissance fournie au résistor vaut P = R I2 = R E2(R + r)2. On montre qu'elle est maximale quand R = r ; elle vaut alors E24r, mais le rendement n'est que de 50 %. On ne recherche donc cette « adaptation » que lorsque la puissance compte plus que le rendement.
3Je retiens
Je retiens
Générateur : U = E − r I ; E = force électromotrice (tension à vide), r = résistance interne.
Court-circuit : Icc = E / r.
Bilan : E I = U I + r I² (produite = fournie au circuit + pertes Joule).
Rendement : η = U / E.
Loi de Pouillet (circuit série) : I = (ΣE − ΣE') / ΣR, toutes les résistances comprises.
Générateurs en série : E = E1 + E2 + … ; r = r1 + r2 + ….
SM : puissance fournie à R maximale pour R = r (rendement 50 %).
4Erreurs fréquentes
- Oublier la résistance interne du générateur dans la somme des résistances de la loi de Pouillet.
- Confondre les signes : générateur U = E − r I, récepteur U = E' + r' I.
- Compter la f.c.é.m. d'un moteur comme une f.é.m. : dans la loi de Pouillet, E' se retranche.
- Croire que la tension d'une batterie est toujours égale à sa f.é.m. : ce n'est vrai qu'à vide.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Une pile a une f.é.m. de 4,5 V et une résistance interne de 1,5 Ω.
a) Calcule la tension à ses bornes quand elle débite 0,40 A.
b) Calcule son courant de court-circuit.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) U = E - rI = 4,5 - 1,5 × 0,40 = 4,5 - 0,60 = 3,9 V.
b) Icc = Er = 4,51,5 = 3,0 A.
2Exercice 2
Pour un générateur, on mesure U = 5,6 V quand I = 0,20 A et U = 4,4 V quand I = 0,80 A. Détermine sa f.é.m. et sa résistance interne.
Voir le corrigéCacher le corrigé
5,6 = E - 0,20 r et 4,4 = E - 0,80 r. En soustrayant : 1,2 = 0,60 r, donc r = 2,0 Ω. Puis E = 5,6 + 0,20 × 2,0 = 6,0 V.
3Exercice 3
Quatre piles identiques (E0 = 1,5 V ; r0 = 0,25 Ω) sont placées en série dans une torche dont l'ampoule se comporte comme un résistor de 11 Ω.
a) Donne les caractéristiques du générateur équivalent.
b) Calcule l'intensité du courant et la tension aux bornes de l'ampoule.
c) Calcule le rendement de l'association de piles.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) E = 4 × 1,5 = 6,0 V ; r = 4 × 0,25 = 1,0 Ω.
b) I = ER + r = 6,011 + 1,0 = 0,50 A ; U = RI = 11 × 0,50 = 5,5 V.
c) eta = UE = 5,56,0 ≈ 0,92, soit 92 %.
4Exercice 4
Une batterie (E = 12 V ; r = 0,20 Ω) débite pendant 2,0 h un courant de 5,0 A.
a) Calcule l'énergie produite par la batterie, l'énergie fournie au circuit et l'énergie perdue par effet Joule.
b) Calcule le rendement.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Δ t = 2,0 × 3 600 = 7 200 s. Énergie produite : E I Δ t = 12 × 5,0 × 7 200 = 4,32 × 105 J. Tension aux bornes : U = 12 - 0,20 × 5,0 = 11 V ; énergie fournie : 11 × 5,0 × 7 200 = 3,96 × 105 J. Pertes Joule : 0,20 × 25 × 7 200 = 3,6 × 104 J. Vérification : 3,96 × 105 + 0,36 × 105 = 4,32 × 105 J.
b) eta = 1112 ≈ 0,92, soit 92 %.
5Exercice 5
(Type examen) Un circuit série comprend : un générateur (E = 30 V ; r = 2,0 Ω), un électrolyseur (E' = 6,0 V ; r' = 4,0 Ω) et un résistor de résistance R = 6,0 Ω.
a) Calcule l'intensité du courant.
b) Calcule la tension aux bornes de chaque dipôle et vérifie la loi d'additivité des tensions.
c) Fais le bilan des puissances du circuit.
d) Calcule le rendement du générateur et celui de l'électrolyseur.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Loi de Pouillet : I = E - E'r + r' + R = 30 - 6,02,0 + 4,0 + 6,0 = 2412 = 2,0 A.
b) Générateur : UG = 30 - 2,0 × 2,0 = 26 V. Électrolyseur : UE = 6,0 + 4,0 × 2,0 = 14 V. Résistor : UR = 6,0 × 2,0 = 12 V. Additivité : 14 + 12 = 26 V = UG.
c) Puissance produite : EI = 60 W. Pertes Joule : générateur rI2 = 8,0 W ; électrolyseur r'I2 = 16 W ; résistor RI2 = 24 W. Puissance chimique utile : E'I = 12 W. Vérification : 8,0 + 16 + 24 + 12 = 60 W.
d) Générateur : etaG = 2630 ≈ 0,87 (87 %). Électrolyseur : etaE = E'UE = 6,014 ≈ 0,43 (43 %).
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6Je vérifie
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