Karamö, le prof virtuelLeçon 31 sur 33
Les ondes progressives
Je sais décrire une onde progressive sinusoïdale, calculer sa longueur d'onde, écrire l'élongation d'un point du milieu et comparer les vibrations de deux points.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir une onde progressive entretenue et sa double périodicité (période T et longueur d'onde λ)
- Utiliser la relation λ = cT = c/N
- Écrire l'équation horaire du mouvement d'un point du milieu à partir de celle de la source
- Reconnaître deux points qui vibrent en phase ou en opposition de phase et interpréter l'observation stroboscopique d'une onde
Avant de commencer : Les leçons « Les phénomènes vibratoires » (vibration sinusoïdale, stroboscope) et « Propagation d'un signal vibratoire » (célérité, retard θ = x/c).
1Je découvre
Sur une pirogue immobile du port de pêche de Boulbinet, Mamadou observe la mer calme. De petites vagues régulières arrivent du large : la pirogue monte, descend, remonte, toujours au même rythme, sans avancer. Entre deux crêtes successives, il estime la distance à environ deux longueurs de pirogue.
Au laboratoire, son professeur fixe l'extrémité d'une longue corde à un vibreur qui oscille sans arrêt. Cette fois, ce n'est plus une bosse isolée qui court le long de la corde : toute la corde prend la forme d'une sinusoïde qui défile. Mamadou remarque qu'à certains endroits, deux points de la corde montent et descendent exactement en même temps.
Comment décrire une onde qui se propage en continu, quelle est la « distance entre deux crêtes », et comment savoir si deux points vibrent ensemble ?
2Je comprends
1. De l'ébranlement à l'onde progressive
Dans la leçon précédente, la source ne bougeait qu'un instant : un signal isolé parcourait le milieu. Si maintenant la source vibre de façon entretenue et périodique, elle émet une suite ininterrompue de signaux : c'est une onde progressive.
Une onde progressive est sinusoïdale si la source effectue une vibration sinusoïdale :
yS(t) = a sin(ω t), avec ω = 2π N = 2πT.
Pour que l'onde soit vraiment « progressive », il ne faut pas qu'elle revienne après réflexion : on place au bout de la corde un amortisseur (coton), ou, dans une cuve à ondes, des bords en pente douce. On néglige aussi l'amortissement : tous les points vibrent avec la même amplitude a.
2. La double périodicité
Périodicité dans le temps. Chaque point du milieu vibre avec la même période T que la source (et la même fréquence N). Si on filme un seul point, son mouvement se répète toutes les T secondes.
Périodicité dans l'espace. Si on photographie le milieu à une date donnée, on voit une sinusoïde qui se répète tous les λ mètres. Cette distance est la longueur d'onde λ : c'est la distance parcourue par l'onde pendant une période.
λ = c T = cN
λ en mètres, c en m/s, T en s, N en Hz. La longueur d'onde est aussi la distance entre deux crêtes consécutives (ou deux creux consécutifs).
Exemple
Un vibreur de fréquence 100 Hz produit une onde le long d'une corde où la célérité vaut 20 m/s. Calculer la période et la longueur d'onde.
T = 1 / N = 1 / 100 = 1,0 × 10⁻² s = 10 ms.
λ = c / N = 20 / 100 = 0,20 m = 20 cm.
En 10 ms, l'onde avance bien de 20 m/s × 0,010 s = 0,20 m.
3. Équation du mouvement d'un point
Un point M situé à la distance x de la source reproduit le mouvement de la source avec le retard θ = xc :
yM(t) = yS(t - xc) = a sin(ω t - ω xc).
Comme ωc = 2πc T = 2πλ, on obtient :
yM(t) = a sin(ω t - 2π xλ), pour t ≥ θ (avant, M est au repos).
Le point M est donc en retard de phase de Δvarphi = 2π xλ sur la source.
4. Points en phase, points en opposition de phase
Considérons deux points M1 et M2 situés aux distances x1 et x2 de la source, avec d = |x2 - x1|. Leur déphasage vaut :
Δvarphi = 2π dλ.
| Distance d entre les points | Déphasage | Les deux points… |
|---|---|---|
| d = kλ (k entier) | 2kπ | vibrent en phase |
| d = (2k + 1)λ2 | (2k + 1)π | vibrent en opposition de phase |
| d = (2k + 1)λ4 | (2k + 1)π2 | vibrent en quadrature |
Deux points séparés d'un nombre entier de longueurs d'onde passent en même temps par leurs crêtes ; deux points séparés d'un nombre impair de demi-longueurs d'onde sont l'un sur une crête quand l'autre est dans un creux.
Définition équivalente : la longueur d'onde est la plus petite distance entre deux points qui vibrent en phase.
Méthode
Pour comparer le mouvement d'un point M à celui de la source S (ou de deux points) :
- Je calcule λ = c / N (en mètres).
- Je calcule le rapport d / λ, où d est la distance entre les deux points.
- Si d / λ est un entier : en phase. Si d / λ = entier + 1/2 : opposition de phase. Si d / λ = entier + 1/4 ou + 3/4 : quadrature.
- Pour l'équation horaire : yM(t) = a sin(ωt − 2πx/λ), valable pour t ≥ x/c ; je simplifie la phase à 2π près.
Exemple
Avec la corde précédente (N = 100 Hz, λ = 0,20 m), la source vibre selon yS = 2,0 × 10⁻³ sin(200πt) (en m). Comparer les mouvements de S et de points situés à 0,50 m, 0,60 m et 0,65 m de S. Écrire l'équation du point situé à 0,50 m.
x = 0,50 m : x / λ = 2,5 → opposition de phase avec S.
x = 0,60 m : x / λ = 3 → en phase avec S.
x = 0,65 m : x / λ = 3,25 → en quadrature (retard d'un quart de période, à une période près).
Pour x = 0,50 m : 2πx / λ = 2π × 2,5 = 5π, donc yM = 2,0 × 10⁻³ sin(200πt − 5π) = 2,0 × 10⁻³ sin(200πt − π).
Comme sin(α − π) = −sin α : yM = −2,0 × 10⁻³ sin(200πt), valable pour t ≥ 0,50 / 20 = 0,025 s.
5. Ondes à la surface de l'eau : la cuve à ondes
Dans une cuve à ondes, une pointe fixée à un vibreur frappe périodiquement la surface de l'eau : elle produit des ondes circulaires (cercles concentriques). Une réglette horizontale produit des ondes rectilignes. On éclaire la cuve par-dessus : chaque crête agit comme une petite loupe et donne une ligne brillante sur l'écran placé dessous. La distance entre deux lignes brillantes consécutives est la longueur d'onde.
Exemple
Dans une cuve à ondes, le vibreur a une fréquence de 20 Hz. On mesure 5,0 cm entre la première et la sixième ride brillante consécutives. Calculer λ et la célérité.
Entre la première et la sixième ride, il y a 5 intervalles : 5 λ = 5,0 cm, donc λ = 1,0 cm = 1,0 × 10⁻² m.
c = λ N = 1,0 × 10⁻² × 20 = 0,20 m/s.
6. Observation stroboscopique d'une onde
On éclaire la corde (ou la cuve) avec un stroboscope de fréquence Ne.
- Si Ne = N (ou Nk), entre deux éclairs l'onde a avancé d'un nombre entier de longueurs d'onde : elle retrouve le même aspect, on voit une sinusoïde immobile. C'est ainsi qu'on mesure facilement λ à la règle.
- Si Ne est légèrement inférieure à N, l'onde semble avancer lentement dans le sens réel de propagation.
- Si Ne est légèrement supérieure à N, l'onde semble reculer lentement, vers la source.
- 1La source vibre de façon sinusoïdale et entretenue : yS = a sin(ωt).
- 2Chaque point M reproduit ce mouvement avec le retard θ = x/c.
- 3Dans le temps, chaque point vibre avec la période T.
- 4Dans l'espace, l'aspect du milieu se répète tous les λ = cT.
- 5Deux points distants de kλ vibrent en phase ; distants de (2k + 1)λ/2, en opposition.
3Je retiens
Je retiens
Onde progressive : propagation d'une vibration entretenue ; chaque point vibre comme la source, avec un retard x/c.
Double périodicité : période T dans le temps ; longueur d'onde λ dans l'espace.
λ = c T = c / N : distance parcourue par l'onde en une période, distance entre deux crêtes consécutives.
Équation d'un point : yM(t) = a sin(ωt − 2πx/λ), pour t ≥ x/c.
Déphasage entre deux points distants de d : Δφ = 2πd / λ.
En phase : d = kλ. Opposition de phase : d = (2k + 1)λ/2.
Stroboscope : Ne = N/k donne une onde apparemment immobile.
4Erreurs fréquentes
- Confondre période et longueur d'onde : T se mesure en secondes (dans le temps), λ en mètres (dans l'espace).
- Compter les rides au lieu des intervalles : entre la 1ʳᵉ et la 6ᵉ ride, il y a 5 longueurs d'onde, pas 6.
- Oublier que l'équation d'un point n'est valable qu'après son retard (t ≥ x/c) : avant, le point est au repos.
- Croire que deux points séparés de λ/2 sont en phase : ils sont en opposition de phase.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Une onde se propage à la surface de l'eau à 0,30 m/s ; la fréquence du vibreur est 15 Hz. Calcule la période et la longueur d'onde.
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T = 115 ≈ 6,7 × 10-2 s ; λ = cN = 0,3015 = 2,0 × 10-2 m = 2,0 cm.
2Exercice 2
Sur une corde, la distance entre deux points consécutifs qui vibrent en phase est de 40 cm. La fréquence est de 50 Hz.
a) Quelle est la longueur d'onde ?
b) Calcule la célérité.
c) Deux points sont distants de 1,0 m. Compare leurs mouvements.
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a) La plus petite distance entre deux points en phase est la longueur d'onde : λ = 40 cm.
b) c = λ N = 0,40 × 50 = 20 m/s.
c) dλ = 1,00,40 = 2,5 : les deux points vibrent en opposition de phase.
3Exercice 3
L'extrémité S d'une corde vibre selon yS = 5,0 × 10-3 sin(100π t) (y en m, t en s). La célérité vaut 10 m/s.
a) Calcule la fréquence et la longueur d'onde.
b) Écris l'équation du mouvement d'un point M situé à 30 cm de S, en précisant à partir de quelle date elle est valable.
c) Compare les mouvements de S et de M.
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a) ω = 100π, donc N = 50 Hz. λ = cN = 1050 = 0,20 m.
b) 2π xλ = 2π × 0,300,20 = 3π. yM = 5,0 × 10-3 sin(100π t - 3π) = -5,0 × 10-3 sin(100π t), valable pour t ≥ 0,3010 = 0,030 s.
c) xλ = 1,5 : M vibre en opposition de phase avec S (quand S est en haut, M est en bas).
4Exercice 4
On éclaire une cuve à ondes, où le vibreur a une fréquence de 25 Hz, avec un stroboscope.
a) Pour quelles fréquences d'éclairs (les trois plus grandes) voit-on les rides immobiles avec leur aspect réel ?
b) Qu'observe-t-on si la fréquence des éclairs vaut 24 Hz ?
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a) Immobilité apparente pour Ne = Nk : 25 Hz, 12,5 Hz et environ 8,3 Hz.
b) Ne = 24 Hz est légèrement inférieure à N : les rides semblent avancer lentement en s'éloignant de la source, avec une fréquence apparente de 25 - 24 = 1 Hz.
5Exercice 5
(Type examen) Une lame vibrante de fréquence N = 50 Hz impose à l'extrémité S d'une corde élastique un mouvement sinusoïdal d'amplitude a = 3,0 mm. À t = 0, S passe par sa position d'équilibre en allant vers le haut (sens positif). La corde, tendue horizontalement, a une masse linéique de 20 g/m et est tendue par une force de 18 N. Son autre extrémité est reliée à un amortisseur.
a) Calcule la célérité puis la longueur d'onde.
b) Écris l'équation horaire du mouvement de S.
c) Écris l'équation horaire du point M situé à 45 cm de S ; compare les mouvements de S et M.
d) Donne les positions (entre S et 1,0 m) des points qui vibrent en phase avec S.
e) À quoi sert l'amortisseur ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) c = √Fµ = √180,020 = √900 = 30 m/s. λ = cN = 3050 = 0,60 m.
b) yS = asin(ω t + varphi) avec ω = 2π × 50 = 100π rad/s. À t = 0 : yS = 0 et le point monte, donc varphi = 0. yS = 3,0 × 10-3 sin(100π t) (en m).
c) 2π xλ = 2π × 0,450,60 = 1,5π. yM = 3,0 × 10-3 sin(100π t - 1,5π), pour t ≥ 0,4530 = 0,015 s. Or sin(α - 1,5π) = sin(α + 0,5π) = cosα, donc yM = 3,0 × 10-3 cos(100π t). xλ = 0,75 : M est en quadrature avec S (retard de trois quarts de période).
d) En phase avec S : x = kλ, soit x = 0,60 m entre S (exclu) et 1,0 m. C'est le seul point (le suivant serait à 1,20 m).
e) L'amortisseur absorbe l'onde au bout de la corde et empêche sa réflexion : sans lui, l'onde réfléchie se superposerait à l'onde incidente et l'onde ne serait plus seulement progressive.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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