Équations et inéquations du premier degré

1. Les équations du premier degré

Une équation du premier degré à une inconnue est une équation qui peut s'écrire sous la forme ax + b = 0, où a et b sont des réels et a ≠ 0. Résoudre l'équation, c'est trouver toutes les valeurs de x qui rendent l'égalité vraie : ce sont les solutions.

Pour résoudre, on transforme l'équation en une équation équivalente (qui a les mêmes solutions) grâce à deux règles :

• on peut ajouter ou soustraire un même nombre (ou une même expression) aux deux membres ;
• on peut multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul.

Ainsi ax + b = 0 ⇔ ax = -b ⇔ x = -ba. L'équation a une seule solution : S = {-ba}.

Deux cas particuliers apparaissent quand, après réduction, le coefficient de x est nul :

• 0x = 5 : aucun nombre ne convient, S = ∅ ;
• 0x = 0 : tous les réels conviennent, S = ℝ.

Pour Kadiatou : 2 500x - 150 000 = 0 ⇔ 2 500x = 150 000 ⇔ x = 60. Avec 60 savons, elle rentre juste dans ses frais : c'est le seuil de rentabilité.

2. Équations qui se ramènent au premier degré

Équation produit. Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul : (ax + b)(cx + d) = 0 ⇔ ax + b = 0 ou cx + d = 0.

Équation quotient. Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur n'est pas nul. On commence donc toujours par écrire les valeurs interdites.

3. Les inéquations du premier degré

Une inéquation du premier degré s'écrit sous l'une des formes ax + b > 0, ax + b ≥ 0, ax + b < 0 ou ax + b ≤ 0 (avec a ≠ 0). Ses solutions forment en général un intervalle.

Les règles sont les mêmes que pour les équations, avec une différence capitale :

• ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres conserve le sens de l'inégalité ;
• multiplier ou diviser par un nombre positif conserve le sens ;
• multiplier ou diviser par un nombre négatif change le sens de l'inégalité.

Exemple : -2x < 6 ⇔ x > -3 (on a divisé par -2, donc « < » devient « > »).

Pour Kadiatou : 2 500x - 150 000 > 0 ⇔ x > 60. Elle fait un bénéfice dès qu'elle vend 61 savons ou plus (le nombre de savons est un entier).

4. Le signe de ax + b et le tableau de signes

L'expression ax + b (avec a ≠ 0) s'annule pour x₀ = -ba. Règle : ax + b a le signe de a à droite de x₀ et le signe contraire de a à gauche de x₀.

Cette règle permet de résoudre des inéquations produits et quotients : on étudie le signe de chaque facteur dans un tableau, puis on applique la règle des signes (deux signes identiques donnent +, deux signes contraires donnent -).

Pour un quotient, on procède de même, mais la valeur qui annule le dénominateur est interdite : on la marque d'une double barre dans le tableau et on l'exclut toujours de l'ensemble des solutions (crochet ouvert).

5. Mettre un problème en équation

En série sociale, on rencontre sans cesse des coûts, des recettes et des bénéfices. La démarche est toujours la même : choisir l'inconnue (avec son unité), traduire l'énoncé, résoudre, puis interpréter la solution dans la situation (un nombre d'objets est un entier positif, un prix est positif).