Karamö, le prof virtuelLeçon 2 sur 19
Systèmes d'équations linéaires à deux et trois inconnues
Je sais résoudre un système linéaire de deux ou trois équations par substitution, par combinaison ou avec le déterminant, et l'utiliser pour trouver des prix inconnus.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Résoudre un système de deux équations à deux inconnues par substitution et par combinaison
- Utiliser le déterminant pour savoir si un système a une solution unique et la calculer
- Résoudre un système de trois équations à trois inconnues par la méthode du pivot
- Mettre en système un problème de prix ou de quantités
Avant de commencer : Les équations du premier degré (leçon précédente) et les systèmes à deux inconnues vus en 11e.
1Je découvre
Au marché central de Labé, Hawa achète 3 kg de riz et 2 litres d'huile : elle paie 55 000 GNF. Juste après, Ibrahima achète au même étal 2 kg de riz et 3 litres d'huile : il paie 60 000 GNF. Aucun prix n'est affiché. (Les prix de cette leçon sont imaginés pour l'exemple.)
Appelons r le prix d'un kilogramme de riz et h le prix d'un litre d'huile, en GNF. Les deux achats donnent deux égalités qui doivent être vraies en même temps :
begincases 3r + 2h = 55 000
2r + 3h = 60 000 endcases
Une seule équation ne suffit pas : 3r + 2h = 55 000 possède une infinité de couples solutions. C'est la réunion des deux informations qui permet de retrouver les deux prix.
Comment résoudre un tel système, et que faire quand il y a trois inconnues ?
2Je comprends
1. Vocabulaire
Un système de deux équations linéaires à deux inconnues s'écrit :
begincases ax + by = c
a'x + b'y = c' endcases
où a, b, c, a', b', c' sont des réels. Une solution est un couple (x ; y) qui vérifie les deux équations à la fois. Résoudre le système, c'est trouver tous ses couples solutions.
Interprétation graphique. Chaque équation est celle d'une droite du plan. Les solutions du système sont les coordonnées des points communs aux deux droites :
- droites sécantes : une seule solution ;
- droites strictement parallèles : aucune solution ;
- droites confondues : une infinité de solutions.
2. La méthode par substitution
On exprime une inconnue en fonction de l'autre dans une équation, puis on remplace dans l'autre équation. Cette méthode est pratique quand une inconnue a le coefficient 1 ou −1.
Exemple
Résoudre le système : x + 2y = 7 et 3x − y = 7.
De la première équation : x = 7 − 2y.
On remplace dans la seconde : 3(7 − 2y) − y = 7, soit 21 − 6y − y = 7, donc −7y = −14 et y = 2.
Alors x = 7 − 2 × 2 = 3.
Vérification : 3 + 2 × 2 = 7 et 3 × 3 − 2 = 7. Juste.
S = {(3 ; 2)}.
3. La méthode par combinaison (ou addition)
On multiplie les équations par des nombres bien choisis pour que les coefficients d'une inconnue deviennent opposés (ou égaux), puis on additionne (ou on soustrait) les équations pour éliminer cette inconnue.
Exemple
Résoudre le système du marché : 3r + 2h = 55 000 et 2r + 3h = 60 000.
On élimine h : on multiplie la 1re équation par 3 et la 2e par 2.
9r + 6h = 165 000
4r + 6h = 120 000
On soustrait : 5r = 45 000, donc r = 9 000.
Dans la 1re équation : 27 000 + 2h = 55 000, donc 2h = 28 000 et h = 14 000.
Vérification : 2 × 9 000 + 3 × 14 000 = 18 000 + 42 000 = 60 000. Juste.
Le riz coûte 9 000 GNF le kilogramme et l'huile 14 000 GNF le litre.
4. La méthode du déterminant (règle de Cramer)
Pour le système begincases ax + by = c
a'x + b'y = c' endcases, on appelle déterminant du système le nombre :
D = beginvmatrix a & b
a' & b' endvmatrix = ab' - a'b.
- Si D ≠ 0, le système a une solution unique : x = DxD et y = DyD, avec
Dx = beginvmatrix c & b
c' & b' endvmatrix = cb' - c'b et Dy = beginvmatrix a & c
a' & c' endvmatrix = ac' - a'c.
- Si D = 0, les deux droites sont parallèles : le système n'a aucune solution ou en a une infinité. On le voit en comparant les deux équations.
Astuce de mémoire : pour Dx, on remplace la colonne des x par la colonne des seconds membres ; pour Dy, on remplace la colonne des y.
Exemple
Résoudre par le déterminant : 2x + 3y = 8 et 5x − y = 3.
D = 2 × (−1) − 5 × 3 = −2 − 15 = −17. D ≠ 0 : une solution unique.
Dx = 8 × (−1) − 3 × 3 = −8 − 9 = −17, donc x = −17 / −17 = 1.
Dy = 2 × 3 − 5 × 8 = 6 − 40 = −34, donc y = −34 / −17 = 2.
Vérification : 2 + 6 = 8 et 5 − 2 = 3. S = {(1 ; 2)}.
5. Systèmes de trois équations à trois inconnues : la méthode du pivot
Un système linéaire de trois équations à trois inconnues x, y, z a pour solution un triplet (x ; y ; z). On le résout en l'échelonnant : on garde une équation (le pivot), et on l'utilise pour éliminer x des deux autres. On obtient alors un système de deux équations à deux inconnues, que tu sais résoudre.
Méthode
Pour résoudre un système 3 × 3 par la méthode du pivot :
- Je choisis comme pivot une équation où x a pour coefficient 1 (je la place en première ligne L1).
- J'élimine x dans L2 et L3 : je remplace L2 par L2 − k × L1 et L3 par L3 − m × L1, avec k et m bien choisis.
- Je résous le système de deux équations en y et z obtenu.
- Je remplace y et z dans L1 pour trouver x.
- Je vérifie le triplet dans les TROIS équations de départ et j'écris S.
Exemple
Résoudre : x + y + z = 6 (L1) ; 2x − y + z = 3 (L2) ; x + 2y − z = 2 (L3).
L2 − 2L1 : 2x − y + z − 2x − 2y − 2z = 3 − 12, soit −3y − z = −9.
L3 − L1 : x + 2y − z − x − y − z = 2 − 6, soit y − 2z = −4.
De y − 2z = −4 : y = 2z − 4. On remplace : −3(2z − 4) − z = −9, soit −7z + 12 = −9, donc z = 3.
Puis y = 2 × 3 − 4 = 2, et x = 6 − 2 − 3 = 1.
Vérification : 1 + 2 + 3 = 6 ; 2 − 2 + 3 = 3 ; 1 + 4 − 3 = 2. Juste.
S = {(1 ; 2 ; 3)}.
- 1Garder L1 comme pivot (coefficient de x égal à 1).
- 2Éliminer x de L2 et de L3 à l'aide de L1.
- 3Résoudre le système 2 × 2 obtenu en y et z.
- 4Remonter dans L1 pour trouver x.
- 5Vérifier le triplet dans les trois équations.
6. Mettre un problème en système
Choisis une lettre par inconnue, en précisant l'unité (« x le prix d'un kilo de riz en GNF »). Écris autant d'équations que d'informations indépendantes : il en faut autant que d'inconnues. Résous, puis réponds par une phrase et vérifie que les résultats ont un sens (prix positifs, quantités entières).
3Je retiens
Je retiens
Une solution d'un système à deux inconnues est un couple (x ; y) qui vérifie toutes les équations.
Substitution : isoler une inconnue et la remplacer dans l'autre équation.
Combinaison : multiplier les équations pour éliminer une inconnue par addition ou soustraction.
Déterminant : D = ab' − a'b ; si D ≠ 0, x = Dx / D et y = Dy / D, avec Dx = cb' − c'b et Dy = ac' − a'c.
Si D = 0 : aucune solution (droites parallèles) ou une infinité (droites confondues).
Système 3 × 3 : on élimine x grâce au pivot, on résout le système 2 × 2 restant, puis on remonte.
Toujours vérifier la solution dans TOUTES les équations de départ.
4Erreurs fréquentes
- Oublier de multiplier le second membre en même temps que les coefficients : 2 × (3x + y = 5) donne 6x + 2y = 10.
- Se tromper de signe en soustrayant deux équations : dans L2 − 2L1, chaque terme de L1 est multiplié par −2.
- Inverser Dx et Dy, ou calculer D = ab − a'b' : retiens « produit en croix de la diagonale moins l'autre diagonale ».
- Vérifier la solution dans une seule équation : une erreur dans l'autre passe alors inaperçue.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Résous par substitution : begincases x - 3y = 1
2x + y = 9 endcases
Voir le corrigéCacher le corrigé
De la première équation, x = 1 + 3y. On remplace : 2(1 + 3y) + y = 9, soit 2 + 7y = 9, y = 1. Puis x = 1 + 3 = 4. Vérification : 4 - 3 = 1 et 8 + 1 = 9. S = {(4 ; 1)}.
2Exercice 2
Résous par combinaison : begincases 4x + 3y = 18
3x - 2y = 5 endcases
Voir le corrigéCacher le corrigé
On élimine y : on multiplie la première équation par 2 et la seconde par 3.
8x + 6y = 36 et 9x - 6y = 15. On additionne : 17x = 51, donc x = 3.
Dans la première : 12 + 3y = 18, y = 2. Vérification : 9 - 4 = 5. S = {(3 ; 2)}.
3Exercice 3
Calcule le déterminant de chaque système, puis résous-le.
a) begincases 5x + 2y = 1
3x + 4y = 9 endcases
b) begincases 3x - 2y = 4
-6x + 4y = 1 endcases
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) D = 5 × 4 - 3 × 2 = 20 - 6 = 14 ≠ 0 : solution unique.
Dx = 1 × 4 - 9 × 2 = 4 - 18 = -14, donc x = -1414 = -1.
Dy = 5 × 9 - 3 × 1 = 45 - 3 = 42, donc y = 4214 = 3.
Vérification : -5 + 6 = 1 et -3 + 12 = 9. S = {(-1 ; 3)}.
b) D = 3 × 4 - (-6) × (-2) = 12 - 12 = 0. Multiplions la première équation par -2 : -6x + 4y = -8. La seconde dit -6x + 4y = 1. Une même expression ne peut pas valoir à la fois -8 et 1 : les droites sont strictement parallèles. S = ∅.
4Exercice 4
Résous par la méthode du pivot : begincases x + y + z = 10
x - y + 2z = 9
2x + y - z = 2 endcases
Voir le corrigéCacher le corrigé
L2 − L1 : -2y + z = -1.
L3 − 2L1 : 2x + y - z - 2x - 2y - 2z = 2 - 20, soit -y - 3z = -18.
De -2y + z = -1 : z = 2y - 1. On remplace : -y - 3(2y - 1) = -18, soit -7y + 3 = -18, y = 3. Donc z = 5 et x = 10 - 3 - 5 = 2.
Vérification : 2 + 3 + 5 = 10 ; 2 - 3 + 10 = 9 ; 4 + 3 - 5 = 2. S = {(2 ; 3 ; 5)}.
5Exercice 5
(Type BAC) Un groupement de femmes de Kindia vend trois jus : gingembre, bissap et baobab. On note g, b et t le prix d'une bouteille de chaque jus, en GNF.
- Un client achète 1 gingembre, 2 bissap et 2 baobab pour 12 500 GNF.
- Un deuxième achète 2 gingembre, 3 bissap et 1 baobab pour 14 000 GNF.
- Un troisième achète 3 gingembre, 1 bissap et 2 baobab pour 15 500 GNF.
a) Écris le système vérifié par g, b et t.
b) Résous-le et donne le prix de chaque bouteille.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) begincases g + 2b + 2t = 12 500 (L1)
2g + 3b + t = 14 000 (L2)
3g + b + 2t = 15 500 (L3) endcases
b) L2 − 2L1 : -b - 3t = 14 000 - 25 000 = -11 000, soit b + 3t = 11 000.
L3 − 3L1 : -5b - 4t = 15 500 - 37 500 = -22 000, soit 5b + 4t = 22 000.
De b = 11 000 - 3t : 5(11 000 - 3t) + 4t = 22 000, soit 55 000 - 11t = 22 000, donc t = 3 000. Puis b = 11 000 - 9 000 = 2 000 et g = 12 500 - 4 000 - 6 000 = 2 500.
Vérification avec L3 : 7 500 + 2 000 + 6 000 = 15 500. Juste.
Une bouteille de gingembre coûte 2 500 GNF, de bissap 2 000 GNF et de baobab 3 000 GNF.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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