Karamö, le prof virtuelLeçon 3 sur 19
Équations et inéquations du second degré
Je sais résoudre une équation du second degré avec le discriminant, factoriser un trinôme et étudier son signe pour résoudre une inéquation.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Calculer le discriminant et résoudre ax² + bx + c = 0
- Factoriser un trinôme et utiliser la somme et le produit des racines
- Étudier le signe d'un trinôme et résoudre une inéquation du second degré
- Résoudre un problème économique qui conduit au second degré
Avant de commencer : Les identités remarquables, l'équation produit nul et le tableau de signes de ax + b.
1Je découvre
Mamadou veut clôturer un jardin rectangulaire près de sa maison, à Pita. Il dispose de 60 m de grillage, qui doivent faire tout le tour du jardin, et il veut obtenir une surface de 200 m² pour ses légumes.
Il appelle x la largeur en mètres. Le demi-périmètre vaut 30 m, donc la longueur vaut 30 - x. L'aire s'écrit x(30 - x) et Mamadou doit résoudre :
x(30 - x) = 200, soit -x2 + 30x - 200 = 0, ou encore x2 - 30x + 200 = 0.
Cette équation contient un terme en x2 : elle est du second degré. Mamadou ne voit pas de factorisation évidente. Existe-t-il une méthode qui marche à tous les coups ?
Comment résoudre n'importe quelle équation ax2 + bx + c = 0, et comment connaître le signe de ax2 + bx + c ?
2Je comprends
1. Trinôme et forme canonique
On appelle trinôme du second degré toute expression f(x) = ax2 + bx + c où a, b, c sont des réels et a ≠ 0. Les solutions de f(x) = 0 s'appellent les racines du trinôme.
Le nombre Δ = b2 - 4ac s'appelle le discriminant du trinôme. En utilisant l'identité (x + k)2 = x2 + 2kx + k2, on montre que :
ax2 + bx + c = a[(x + b2a)2 - Δ4a2].
C'est la forme canonique. Tout le cours découle de cette égalité : le signe de Δ décide si l'on peut factoriser le crochet comme une différence de deux carrés.
2. Résolution de ax² + bx + c = 0
| Signe de Δ | Solutions de ax2 + bx + c = 0 | Factorisation |
|---|---|---|
| Δ > 0 | deux racines x1 = -b - √Δ2a et x2 = -b + √Δ2a | a(x - x1)(x - x2) |
| Δ = 0 | une racine double x0 = -b2a | a(x - x0)2 |
| Δ < 0 | aucune racine réelle | pas de factorisation |
Méthode
Pour résoudre ax² + bx + c = 0 :
- J'écris l'équation sous la forme ax² + bx + c = 0 et je repère a, b et c (avec leurs signes).
- Je calcule Δ = b² − 4ac.
- Je conclus selon le signe de Δ et je calcule les racines avec les formules.
- J'écris l'ensemble S des solutions et je vérifie une racine si possible.
Exemple
Résoudre 2x² − 3x − 2 = 0.
a = 2, b = −3, c = −2.
Δ = (−3)² − 4 × 2 × (−2) = 9 + 16 = 25 > 0 et √25 = 5.
x₁ = (3 − 5) / 4 = −1/2 et x₂ = (3 + 5) / 4 = 2.
Vérification : 2 × 4 − 3 × 2 − 2 = 8 − 6 − 2 = 0.
S = {−1/2 ; 2}.
Exemple
Résoudre x² − 6x + 9 = 0, puis x² + x + 1 = 0.
Pour la première : Δ = 36 − 36 = 0. Racine double x₀ = 6 / 2 = 3. S = {3}.
(On reconnaît d'ailleurs (x − 3)² = 0.)
Pour la seconde : Δ = 1 − 4 = −3 < 0. Aucune racine réelle. S = ∅.
Retour au jardin de Mamadou : x2 - 30x + 200 = 0, Δ = 900 - 800 = 100, donc x = 30 - 102 = 10 ou x = 30 + 102 = 20. Si la largeur vaut 10 m, la longueur vaut 20 m (et inversement) : le jardin mesure 10 m sur 20 m. Vérification : 10 × 20 = 200 m² et 2 × (10 + 20) = 60 m.
3. Somme et produit des racines
Quand Δ ≥ 0, les racines vérifient :
x1 + x2 = -ba et x1 × x2 = ca.
Conséquences utiles :
- si l'on connaît une racine évidente (souvent 1 ou −1), on trouve l'autre grâce au produit ;
- deux nombres de somme S et de produit P sont les solutions de X2 - SX + P = 0.
Exemple : x = 1 est racine de 3x2 - 5x + 2 car 3 - 5 + 2 = 0. Le produit des racines vaut 23, donc l'autre racine est 23.
4. Signe d'un trinôme
Règle. Le trinôme ax2 + bx + c est du signe de a, sauf entre ses racines (quand elles existent) où il est du signe contraire de a.
- Δ > 0 : signe de a à l'extérieur des racines, signe de -a entre les racines.
- Δ = 0 : signe de a partout, sauf en x0 où il est nul.
- Δ < 0 : signe de a pour tout réel x.
Graphiquement, la courbe d'un trinôme est une parabole, tournée vers le haut si a > 0 et vers le bas si a < 0. Les racines sont les abscisses des points où elle coupe l'axe des abscisses.
Exemple
Résoudre −x² + 4x + 5 ≥ 0.
a = −1, b = 4, c = 5. Δ = 16 + 20 = 36, √36 = 6.
x₁ = (−4 + 6) / (−2) = −1 et x₂ = (−4 − 6) / (−2) = 5.
a < 0 : le trinôme est négatif à l'extérieur des racines et positif entre elles.
On veut « ≥ 0 » : S = [−1 ; 5].
| x | -∞ | -1 | 5 | +∞ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| -x2 + 4x + 5 | - | 0 | + | 0 | - |
Exemple
Résoudre x² − 2x + 3 > 0.
Δ = 4 − 12 = −8 < 0 : pas de racine. Le trinôme a toujours le signe de a = 1, donc il est strictement positif pour tout x.
S = ℝ.
5. Équations bicarrées
Une équation de la forme ax4 + bx2 + c = 0 se ramène au second degré en posant X = x2 (avec X ≥ 0). On résout aX2 + bX + c = 0, puis on garde les racines X positives et l'on résout x2 = X.
3Je retiens
Je retiens
Δ = b² − 4ac est le discriminant de ax² + bx + c.
Δ > 0 : deux racines x = (−b − √Δ)/(2a) et x = (−b + √Δ)/(2a) ; ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂).
Δ = 0 : une racine double x₀ = −b/(2a) ; ax² + bx + c = a(x − x₀)².
Δ < 0 : aucune racine réelle, aucune factorisation.
Somme des racines : −b/a ; produit : c/a.
Signe : le trinôme a le signe de a, sauf entre les racines.
Forme canonique : a[(x + b/(2a))² − Δ/(4a²)].
4Erreurs fréquentes
- Oublier le signe de b ou de c : pour x² − 5x − 6, b = −5 et c = −6, donc Δ = 25 + 24 = 49.
- Calculer −b² au lieu de (−b)² : si b = −3, b² = 9 (et non −9).
- Diviser seulement √Δ par 2a : la formule est (−b ± √Δ) / (2a), toute la somme est divisée.
- Appliquer « signe de a entre les racines » : c'est l'inverse, a donne le signe à l'EXTÉRIEUR des racines.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Résous dans ℝ :
a) x2 - 5x + 6 = 0
b) 3x2 + 2x - 1 = 0
c) 4x2 - 4x + 1 = 0
d) 2x2 + x + 3 = 0
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a) Δ = 25 - 24 = 1. x1 = 5 - 12 = 2, x2 = 5 + 12 = 3. S = {2 ; 3}.
b) Δ = 4 + 12 = 16. x1 = -2 - 46 = -1, x2 = -2 + 46 = 13. S = {-1 ; 13}.
c) Δ = 16 - 16 = 0. Racine double x0 = 48 = 12. S = {12}.
d) Δ = 1 - 24 = -23 < 0. S = ∅.
2Exercice 2
Factorise le trinôme f(x) = 2x2 - 7x + 3.
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Δ = 49 - 24 = 25. Racines : 7 - 54 = 12 et 7 + 54 = 3.
f(x) = 2(x - 12)(x - 3) = (2x - 1)(x - 3).
Vérification : (2x - 1)(x - 3) = 2x2 - 6x - x + 3 = 2x2 - 7x + 3.
3Exercice 3
Résous les inéquations :
a) x2 - x - 6 < 0
b) -2x2 + 3x - 5 ≤ 0
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a) Δ = 1 + 24 = 25 ; racines 1 - 52 = -2 et 1 + 52 = 3. a = 1 > 0 : le trinôme est négatif entre les racines. S = ]-2 ; 3[.
b) Δ = 9 - 40 = -31 < 0 : le trinôme a toujours le signe de a = -2, il est strictement négatif pour tout x. S = ℝ.
4Exercice 4
a) Trouve deux nombres dont la somme est 13 et le produit 40.
b) Résous l'équation bicarrée x4 - 5x2 + 4 = 0.
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a) Les deux nombres sont les solutions de X2 - 13X + 40 = 0. Δ = 169 - 160 = 9 ; X = 13 - 32 = 5 ou X = 13 + 32 = 8. Les nombres sont 5 et 8 (vérification : 5 + 8 = 13, 5 × 8 = 40).
b) On pose X = x2 : X2 - 5X + 4 = 0. Δ = 25 - 16 = 9 ; X = 1 ou X = 4, tous deux positifs. x2 = 1 donne x = ± 1 ; x2 = 4 donne x = ± 2. S = {-2 ; -1 ; 1 ; 2}.
5Exercice 5
(Type BAC) Une petite entreprise de Boké fabrique des chaises. Pour x centaines de chaises fabriquées et vendues (0 ≤ x ≤ 12), son bénéfice, en millions de GNF, est B(x) = -x2 + 12x - 20.
a) Calcule B(1) et B(6). Interprète.
b) Résous l'équation B(x) = 0.
c) Étudie le signe de B(x) sur [0 ; 12]. Pour quelles productions l'entreprise est-elle bénéficiaire ?
d) Vérifie que B(x) = -(x - 6)2 + 16 et déduis-en le bénéfice maximal.
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a) B(1) = -1 + 12 - 20 = -9 : pour 100 chaises, l'entreprise perd 9 millions de GNF. B(6) = -36 + 72 - 20 = 16 : pour 600 chaises, elle gagne 16 millions de GNF.
b) -x2 + 12x - 20 = 0 ⇔ x2 - 12x + 20 = 0. Δ = 144 - 80 = 64 ; x = 12 - 82 = 2 ou x = 12 + 82 = 10. S = {2 ; 10}.
c) a = -1 < 0 : B(x) est positif entre les racines et négatif à l'extérieur. Sur [0 ; 12] : B(x) < 0 sur [0 ; 2[ et sur ]10 ; 12], B(x) > 0 sur ]2 ; 10[, B(2) = B(10) = 0. L'entreprise est bénéficiaire quand elle produit strictement entre 200 et 1 000 chaises.
d) -(x - 6)2 + 16 = -(x2 - 12x + 36) + 16 = -x2 + 12x - 20 = B(x). Comme (x - 6)2 ≥ 0, on a B(x) ≤ 16, avec égalité pour x = 6. Le bénéfice maximal est de 16 millions de GNF, atteint pour 600 chaises.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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