Karamö, le prof virtuelLeçon 7 sur 19
Limites d'une fonction
Je sais calculer la limite d'une fonction polynôme ou rationnelle en l'infini et en une valeur interdite, et en déduire les asymptotes de sa courbe.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Connaître les limites des fonctions de référence
- Utiliser les règles d'opérations sur les limites et reconnaître une forme indéterminée
- Calculer la limite d'un polynôme et d'une fonction rationnelle en l'infini
- Calculer une limite en une valeur interdite et interpréter graphiquement (asymptotes)
Avant de commencer : Les fonctions de référence, les fonctions polynômes et rationnelles, le tableau de signes.
1Je découvre
Le coût moyen d'un savon de Kadiatou, à Kankan, est CM(x) = 1 500 + 150 000x GNF pour x savons. Sa fille Fanta calcule quelques valeurs :
| x | 100 | 1 000 | 10 000 | 100 000 |
|---|---|---|---|---|
| CM(x) en GNF | 3 000 | 1 650 | 1 515 | 1 501,5 |
Plus la production est grande, plus le coût moyen se rapproche de 1 500 GNF, le prix des matières d'un savon, sans jamais l'atteindre : les charges fixes se répartissent sur un nombre de plus en plus grand de savons. À l'inverse, si Kadiatou ne fabrique que très peu de savons, le coût moyen devient énorme.
On dit que CM(x) tend vers 1 500 quand x tend vers +∞.
Comment calculer rigoureusement la valeur vers laquelle « tend » une fonction, et que dit-elle de sa courbe ?
2Je comprends
1. Les idées de limite
- Limite infinie en l'infini : limx → +∞ f(x) = +∞ signifie que f(x) devient aussi grand qu'on veut quand x est assez grand. Exemple : x2.
- Limite finie en l'infini : limx → +∞ f(x) = ell signifie que f(x) se rapproche autant qu'on veut de ell quand x est assez grand. La droite d'équation y = ell est alors asymptote horizontale à la courbe.
- Limite infinie en un réel a : limx → a f(x) = +∞ (ou -∞) signifie que f(x) devient aussi grand (ou aussi négatif) qu'on veut quand x est assez proche de a. La droite d'équation x = a est asymptote verticale. On précise souvent le côté : x → a^+ (avec x > a) ou x → a^- (avec x < a).
2. Limites des fonctions de référence
| Fonction | en +∞ | en -∞ | en 0 |
|---|---|---|---|
| xn (n ≥ 1) | +∞ | +∞ si n pair, -∞ si n impair | 0 |
| 1x | 0 | 0 | +∞ en 0^+, -∞ en 0^- |
| 1x2 | 0 | 0 | +∞ |
| √x | +∞ | (non définie) | 0 |
Pour un polynôme ou une fonction rationnelle en un réel a de l'ensemble de définition, la limite est simplement l'image : limx → a f(x) = f(a).
3. Opérations sur les limites
On combine les limites comme on combine les nombres, avec quelques règles pour l'infini :
- Somme : ell + (+∞) = +∞ ; (+∞) + (+∞) = +∞ ; (-∞) + (-∞) = -∞.
- Produit : ell × (+∞) = +∞ si ell > 0, -∞ si ell < 0 ; (+∞) × (-∞) = -∞ (règle des signes).
- Quotient : ell ± ∞ = 0 ; ell0 avec ell ≠ 0 donne un infini dont le signe dépend du signe de ell et du signe du dénominateur (0^+ ou 0^-).
Quatre situations ne permettent pas de conclure directement : ce sont les formes indéterminées :
∞ - ∞ ; 0 × ∞ ; ∞∞ ; 00.
Dans ce cas, il faut transformer l'écriture (factoriser, simplifier) avant de conclure.
4. Polynômes et fonctions rationnelles en l'infini
Règle. En +∞ ou en -∞ :
- un polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré ;
- une fonction rationnelle a la même limite que le quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.
Justification : 3x3 - 5x2 + 2 = 3x3(1 - 53x + 23x3) et la parenthèse tend vers 1.
Exemple
Calculer lim (x → +∞) de 3x³ − 5x² + 2, puis lim (x → −∞).
On a une forme « ∞ − ∞ », mais la règle du terme de plus haut degré s'applique :
en +∞ : lim 3x³ = +∞ ; en −∞ : x³ tend vers −∞ et 3 > 0, donc lim 3x³ = −∞.
Exemple
Calculer lim (x → +∞) de (2x² + 1)/(x² − 3x), puis lim (x → +∞) de (x + 1)/(x² + 2).
Première : quotient des termes de plus haut degré : 2x²/x² = 2. La limite vaut 2.
La courbe a une asymptote horizontale d'équation y = 2.
Seconde : x/x² = 1/x, qui tend vers 0. La limite vaut 0 (asymptote y = 0).
5. Limite en une valeur interdite
Quand x tend vers une valeur a qui annule le dénominateur :
- si le numérateur tend vers un nombre ell ≠ 0, la limite est infinie ; on trouve son signe avec un tableau de signes du dénominateur ;
- si le numérateur tend aussi vers 0, c'est la forme indéterminée 00 : on factorise par (x - a) et on simplifie.
Exemple
Étudier la limite de f(x) = (2x + 1)/(x − 1) quand x tend vers 1.
Numérateur : 2 × 1 + 1 = 3 > 0. Dénominateur : x − 1 tend vers 0.
Si x > 1, x − 1 > 0 : on a « 3 / 0⁺ », donc lim (x → 1⁺) f(x) = +∞.
Si x < 1, x − 1 < 0 : on a « 3 / 0⁻ », donc lim (x → 1⁻) f(x) = −∞.
La droite x = 1 est asymptote verticale. De plus, en ±∞, f(x) tend vers 2x/x = 2 : la droite y = 2 est asymptote horizontale.
Exemple
Calculer lim (x → 2) de (x² − 4)/(x − 2).
En 2, numérateur et dénominateur valent 0 : forme indéterminée « 0/0 ».
On factorise : x² − 4 = (x − 2)(x + 2). Pour x ≠ 2, (x² − 4)/(x − 2) = x + 2.
Donc la limite vaut 2 + 2 = 4. (Ici, pas d'asymptote verticale.)
Méthode
Pour calculer une limite :
- Je remplace x par la valeur visée pour voir ce que devient chaque morceau.
- Si ce n'est pas une forme indéterminée, je conclus avec les règles d'opérations.
- En l'infini, pour un polynôme ou une fonction rationnelle, je garde les termes de plus haut degré.
- En une valeur interdite a : si j'obtiens « nombre non nul / 0 », j'étudie le signe du dénominateur à gauche et à droite de a ; si j'obtiens « 0/0 », je factorise par (x − a) et je simplifie.
- J'interprète : limite finie ℓ en l'infini donne y = ℓ asymptote ; limite infinie en a donne x = a asymptote.
6. Retour au coût moyen
limx → +∞ 150 000x = 0, donc limx → +∞ CM(x) = 1 500 : la droite y = 1 500 est asymptote horizontale. Et limx → 0^+ 150 000x = +∞, donc limx → 0^+ CM(x) = +∞ : l'axe des ordonnées est asymptote verticale.
3Je retiens
Je retiens
lim (x → ±∞) de 1/x et de 1/x² : 0. lim (x → +∞) de xⁿ et de √x : +∞.
Formes indéterminées : ∞ − ∞ ; 0 × ∞ ; ∞/∞ ; 0/0. Il faut transformer l'écriture.
En l'infini : polynôme → terme de plus haut degré ; fonction rationnelle → quotient des termes de plus haut degré.
En une valeur interdite a : « ℓ/0 » (ℓ ≠ 0) donne ±∞ selon le signe du dénominateur ; « 0/0 » : factoriser par (x − a).
lim (x → ±∞) f(x) = ℓ : la droite y = ℓ est asymptote horizontale.
lim (x → a) f(x) = ±∞ : la droite x = a est asymptote verticale.
4Erreurs fréquentes
- Écrire « +∞ − ∞ = 0 » : c'est une forme indéterminée ; x² − x tend vers +∞ en +∞, par exemple.
- Appliquer la règle du plus haut degré en un réel a : elle ne vaut qu'en +∞ ou en −∞.
- Oublier d'étudier les deux côtés d'une valeur interdite : la limite peut être +∞ d'un côté et −∞ de l'autre.
- Écrire « 3/0 = 0 » ou « 3/0 = 3 » : un quotient dont le dénominateur tend vers 0 et le numérateur vers 3 devient infini.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Calcule :
a) limx → +∞ (-2x3 + x + 7)
b) limx → -∞ (x2 - 5x)
c) limx → -∞ (4x3 - x2)
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a) Terme de plus haut degré : -2x3, qui tend vers -∞ en +∞. Limite : -∞.
b) Terme x2, qui tend vers +∞ en -∞ (puissance paire). Limite : +∞.
c) Terme 4x3 : en -∞, x3 → -∞ et 4 > 0. Limite : -∞.
2Exercice 2
Calcule :
a) limx → +∞ 3x2 - xx2 + 4
b) limx → +∞ 5x + 2x2 - 1
c) limx → -∞ x3 + 12x - 3
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a) 3x2x2 = 3. Limite : 3.
b) 5xx2 = 5x, qui tend vers 0. Limite : 0.
c) x32x = x22, qui tend vers +∞ en -∞. Limite : +∞.
3Exercice 3
a) Étudie les limites de f(x) = x + 3x - 2 quand x tend vers 2 par la droite et par la gauche.
b) Calcule limx → -1 -1(x + 1)2.
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a) Le numérateur tend vers 5 > 0. Pour x > 2, x - 2 → 0^+ : limx → 2^+ f(x) = +∞. Pour x < 2, x - 2 → 0^- : limx → 2^- f(x) = -∞. La droite x = 2 est asymptote verticale.
b) (x + 1)2 tend vers 0 en restant positif (0^+) des deux côtés ; le numérateur vaut -1 < 0. La limite vaut -∞ (à gauche comme à droite).
4Exercice 4
Lève l'indétermination :
a) limx → 3 x2 - 9x - 3
b) limx → 1 x2 + x - 2x - 1
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a) Forme « 00 ». x2 - 9x - 3 = (x - 3)(x + 3)x - 3 = x + 3 pour x ≠ 3. Limite : 3 + 3 = 6.
b) Forme « 00 » (1 + 1 - 2 = 0). 1 est racine de x2 + x - 2 ; l'autre racine vaut -2 (produit = -2). Donc x2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2) et le quotient vaut x + 2 pour x ≠ 1. Limite : 3.
5Exercice 5
(Type BAC) Soit f(x) = 2x - 1x + 3 et (C) sa courbe.
a) Donne l'ensemble de définition de f.
b) Calcule les limites de f en +∞ et en -∞. Interprète graphiquement.
c) Calcule les limites de f en -3 à gauche et à droite. Interprète graphiquement.
d) Montre que f(x) - 2 = -7x + 3 et précise la position de (C) par rapport à la droite y = 2.
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a) Df = ℝ setminus {-3}.
b) En ± ∞ : 2xx = 2. Donc limx → +∞ f(x) = limx → -∞ f(x) = 2. La droite y = 2 est asymptote horizontale à (C) en +∞ et en -∞.
c) Le numérateur tend vers 2 × (-3) - 1 = -7 < 0. Pour x > -3, x + 3 → 0^+ : « -70^+ », donc limx → -3^+ f(x) = -∞. Pour x < -3, x + 3 → 0^- : « -70^- », donc limx → -3^- f(x) = +∞. La droite x = -3 est asymptote verticale.
d) f(x) - 2 = 2x - 1 - 2(x + 3)x + 3 = 2x - 1 - 2x - 6x + 3 = -7x + 3.
Si x > -3 : f(x) - 2 < 0, (C) est en dessous de la droite y = 2. Si x < -3 : f(x) - 2 > 0, (C) est au-dessus.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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