Karamö, le prof virtuelLeçon 8 sur 19
Nombre dérivé et fonction dérivée
Je sais calculer un nombre dérivé, écrire l'équation d'une tangente et calculer la dérivée d'une fonction polynôme ou rationnelle, puis l'interpréter comme un coût marginal.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Calculer un taux de variation et un nombre dérivé à partir de la définition
- Écrire l'équation de la tangente à une courbe en un point
- Calculer la fonction dérivée avec les formules usuelles et les règles d'opérations
- Interpréter la dérivée d'un coût comme un coût marginal
Avant de commencer : Les limites d'une fonction, les fonctions polynômes et rationnelles, l'équation d'une droite y = mx + p.
1Je découvre
Un atelier de couture de Nzérékoré fabrique des uniformes scolaires. Le comptable a établi que le coût total de fabrication de q uniformes par jour est, en milliers de GNF :
C(q) = q2 + 20q + 500.
L'atelier produit actuellement 10 uniformes par jour : C(10) = 100 + 200 + 500 = 800, soit 800 000 GNF. Le patron, Lansana, se demande combien lui coûterait un uniforme de plus. Il calcule C(11) = 121 + 220 + 500 = 841 : l'uniforme supplémentaire coûte 41 000 GNF.
Les économistes appellent ce coût d'une unité supplémentaire le coût marginal. Ils le calculent avec un outil mathématique très puissant, qui mesure la vitesse de variation d'une fonction en un point : la dérivée.
Comment mesurer la vitesse à laquelle une fonction varie en un point, et comment la calculer facilement ?
2Je comprends
1. Taux de variation
Soit f une fonction définie sur un intervalle contenant a et a + h (h ≠ 0). Le taux de variation de f entre a et a + h est :
tau(h) = f(a + h) - f(a)h.
Graphiquement, c'est le coefficient directeur de la droite qui passe par les points A(a ; f(a)) et M(a + h ; f(a + h)) de la courbe : on l'appelle une sécante.
2. Nombre dérivé
Quand h se rapproche de 0, le point M glisse sur la courbe vers A et la sécante se rapproche d'une droite limite : la tangente en A.
Définition. On dit que f est dérivable en a si le taux de variation f(a + h) - f(a)h admet une limite finie quand h tend vers 0. Cette limite s'appelle le nombre dérivé de f en a et se note f'(a) :
f'(a) = limh → 0 f(a + h) - f(a)h.
Exemple
Calculer le nombre dérivé de f(x) = x² en a = 3.
f(3 + h) − f(3) = (3 + h)² − 9 = 9 + 6h + h² − 9 = 6h + h².
Taux : (6h + h²)/h = 6 + h (pour h ≠ 0).
Quand h tend vers 0, 6 + h tend vers 6. Donc f est dérivable en 3 et f'(3) = 6.
3. Tangente à une courbe
Propriété. Si f est dérivable en a, la courbe de f admet au point A(a ; f(a)) une tangente de coefficient directeur f'(a). Son équation est :
y = f'(a)(x - a) + f(a).
Pour f(x) = x2 en a = 3 : f(3) = 9 et f'(3) = 6, donc la tangente a pour équation y = 6(x - 3) + 9, soit y = 6x - 9.
Cas particulier : si f'(a) = 0, la tangente est horizontale.
4. La fonction dérivée et les formules
Si f est dérivable en tout point d'un intervalle I, la fonction qui à chaque x associe f'(x) s'appelle la fonction dérivée de f, notée f'. En refaisant le calcul de l'exemple pour un x quelconque, on trouve que la dérivée de x2 est 2x. On admet le tableau suivant.
| Fonction f(x) | Dérivée f'(x) | Valable pour |
|---|---|---|
| k (constante) | 0 | x ∈ ℝ |
| x | 1 | x ∈ ℝ |
| xn (n ≥ 1 entier) | nxn-1 | x ∈ ℝ |
| 1x | -1x2 | x ≠ 0 |
| √x | 12√x | x > 0 |
Règles d'opérations (u et v sont dérivables, k est un réel) :
| Fonction | Dérivée |
|---|---|
| u + v | u' + v' |
| ku | ku' |
| uv | u'v + uv' |
| 1v (v ≠ 0) | -v'v2 |
| uv (v ≠ 0) | u'v - uv'v2 |
Exemple
Calculer la dérivée de f(x) = 2x³ − 5x² + 4x − 7.
On dérive terme à terme : (2x³)' = 2 × 3x² = 6x² ; (5x²)' = 10x ; (4x)' = 4 ; (7)' = 0.
f'(x) = 6x² − 10x + 4.
Exemple
Calculer la dérivée de g(x) = (2x + 1)/(x − 1) sur ℝ \ {1}.
u(x) = 2x + 1, u'(x) = 2 ; v(x) = x − 1, v'(x) = 1.
g'(x) = [2(x − 1) − (2x + 1) × 1] / (x − 1)² = (2x − 2 − 2x − 1)/(x − 1)² = −3/(x − 1)².
Exemple
Calculer la dérivée de h(x) = (x² + 1)(3x − 2).
u = x² + 1, u' = 2x ; v = 3x − 2, v' = 3.
h'(x) = 2x(3x − 2) + 3(x² + 1) = 6x² − 4x + 3x² + 3 = 9x² − 4x + 3.
Contrôle : h(x) = 3x³ − 2x² + 3x − 2, dont la dérivée est bien 9x² − 4x + 3.
Méthode
Pour calculer une dérivée sans erreur :
- Je reconnais la forme : somme, produit, quotient, inverse.
- J'écris u, u', v, v' sur une ligne à part.
- J'applique la formule en mettant des parenthèses partout.
- Je développe et je réduis le NUMÉRATEUR, mais je laisse le dénominateur (x − 1)² sous forme de carré : c'est utile pour le signe.
- Si possible, je contrôle par une autre méthode (développer avant de dériver).
5. Interprétation économique : le coût marginal
Si C(q) est le coût total de production de q unités, le coût marginal est le coût de production d'une unité supplémentaire. Pour une production assez grande, on l'approche par la dérivée : Cm(q) = C'(q).
Dans l'atelier de Lansana, C'(q) = 2q + 20, donc C'(10) = 40 : le coût marginal est de 40 000 GNF, très proche des 41 000 GNF calculés directement. La dérivée donne rapidement une bonne estimation.
3Je retiens
Je retiens
Taux de variation entre a et a + h : [f(a + h) − f(a)] / h.
Nombre dérivé : f'(a) = limite de ce taux quand h tend vers 0 (si elle est finie).
Tangente en A(a ; f(a)) : y = f'(a)(x − a) + f(a). Si f'(a) = 0, la tangente est horizontale.
(xⁿ)' = nxⁿ⁻¹ ; (1/x)' = −1/x² ; (√x)' = 1/(2√x) ; (k)' = 0.
(u + v)' = u' + v' ; (ku)' = ku' ; (uv)' = u'v + uv'.
(1/v)' = −v'/v² ; (u/v)' = (u'v − uv')/v².
Coût marginal : Cm(q) = C'(q).
4Erreurs fréquentes
- Écrire (uv)' = u'v' : la dérivée d'un produit n'est PAS le produit des dérivées. Il faut u'v + uv'.
- Inverser l'ordre dans la formule du quotient : c'est u'v − uv', pas uv' − u'v (le signe du résultat changerait).
- Oublier que la dérivée d'une constante est 0 : (x² + 7)' = 2x.
- Confondre f(a) et f'(a) dans l'équation de la tangente : f'(a) est le coefficient directeur, f(a) est l'ordonnée du point.
5Je m’exerce
1Exercice 1
On donne f(x) = x2 - 3x. En utilisant la définition, calcule le nombre dérivé f'(1).
Voir le corrigéCacher le corrigé
f(1) = 1 - 3 = -2. f(1 + h) = (1 + h)2 - 3(1 + h) = 1 + 2h + h2 - 3 - 3h = h2 - h - 2.
f(1 + h) - f(1) = h2 - h, donc le taux vaut h2 - hh = h - 1 pour h ≠ 0. Quand h tend vers 0, il tend vers -1. Donc f'(1) = -1.
2Exercice 2
Calcule la dérivée de chaque fonction.
a) f(x) = 4x3 - 2x2 + x - 9
b) g(x) = 3x + 2√x sur ]0 ; +∞[
c) h(x) = (x2 - 1)(2x + 5)
d) k(x) = 3x - 1x + 2 sur ℝ setminus {-2}
e) m(x) = 1x2 + 1
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a) f'(x) = 12x2 - 4x + 1.
b) g'(x) = 3 × (-1x2) + 2 × 12√x = -3x2 + 1√x.
c) u = x2 - 1, u' = 2x ; v = 2x + 5, v' = 2. h'(x) = 2x(2x + 5) + 2(x2 - 1) = 4x2 + 10x + 2x2 - 2 = 6x2 + 10x - 2.
d) u = 3x - 1, u' = 3 ; v = x + 2, v' = 1. k'(x) = 3(x + 2) - (3x - 1)(x + 2)2 = 3x + 6 - 3x + 1(x + 2)2 = 7(x + 2)2.
e) v = x2 + 1, v' = 2x. m'(x) = -2x(x2 + 1)2.
3Exercice 3
Soit f(x) = x3 - 2x. Écris l'équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 1, puis au point d'abscisse 0.
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f'(x) = 3x2 - 2.
En a = 1 : f(1) = 1 - 2 = -1 et f'(1) = 3 - 2 = 1. Tangente : y = 1(x - 1) + (-1), soit y = x - 2.
En a = 0 : f(0) = 0 et f'(0) = -2. Tangente : y = -2(x - 0) + 0, soit y = -2x.
4Exercice 4
Soit f(x) = x2 - 6x + 5.
a) En quel point la tangente à la courbe est-elle horizontale ?
b) En quel point la tangente est-elle parallèle à la droite d'équation y = 2x + 1 ? Donne l'équation de cette tangente.
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f'(x) = 2x - 6.
a) Tangente horizontale : f'(x) = 0 ⇔ x = 3. f(3) = 9 - 18 + 5 = -4. Point (3 ; -4).
b) Deux droites parallèles ont le même coefficient directeur : f'(x) = 2 ⇔ 2x - 6 = 2 ⇔ x = 4. f(4) = 16 - 24 + 5 = -3. Tangente : y = 2(x - 4) - 3, soit y = 2x - 11.
5Exercice 5
(Type BAC) Le coût total de fabrication de q uniformes par jour est C(q) = q2 + 20q + 500 (en milliers de GNF), pour 0 ≤ q ≤ 50.
a) Calcule C(10) et C(11), puis le coût réel du onzième uniforme.
b) Calcule C'(q), puis C'(10). Compare avec la question a).
c) Calcule le coût marginal pour une production de 30 uniformes.
d) Le coût moyen est CM(q) = C(q)q pour q > 0. Montre que CM(q) = q + 20 + 500q, puis que CM'(q) = q2 - 500q2.
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a) C(10) = 800 et C(11) = 841. Le onzième uniforme coûte 841 - 800 = 41 milliers de GNF, soit 41 000 GNF.
b) C'(q) = 2q + 20 et C'(10) = 40 : coût marginal de 40 000 GNF, très proche du coût réel de 41 000 GNF.
c) C'(30) = 60 + 20 = 80 : le coût marginal est de 80 000 GNF par uniforme supplémentaire.
d) CM(q) = q2 + 20q + 500q = q + 20 + 500q. Donc CM'(q) = 1 + 0 + 500 × (-1q2) = 1 - 500q2 = q2 - 500q2.
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6Je vérifie
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