Karamö, le prof virtuelLeçon 13 sur 19
Intérêts simples et intérêts composés
Je sais calculer les intérêts et la valeur acquise d'un placement à intérêts simples ou composés, et choisir le placement le plus avantageux.
- 55 min
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Calculer un intérêt simple sur une durée en années ou en jours
- Calculer la valeur acquise d'un capital placé à intérêts composés
- Relier intérêts simples et suites arithmétiques, intérêts composés et suites géométriques
- Calculer une valeur actuelle et comparer deux placements
Avant de commencer : Les suites arithmétiques et géométriques, les pourcentages.
1Je découvre
Mariama a vendu la récolte de mangues de sa famille à Kindia et veut placer 2 000 000 GNF pendant quelques années pour financer plus tard un petit commerce. Deux établissements lui font une proposition (taux imaginés pour la leçon) :
- Offre A : 6 % par an à intérêts simples ;
- Offre B : 5,5 % par an à intérêts composés.
Au premier coup d'œil, Mariama choisirait l'offre A : 6 %, c'est plus que 5,5 %. Mais son cousin Sékou, comptable dans une institution de microfinance, la met en garde : « Avec les intérêts composés, les intérêts rapportent eux-mêmes des intérêts. Sur une longue durée, cela peut tout changer. »
Après 2 ans, l'offre A donne 2 240 000 GNF et l'offre B environ 2 226 050 GNF. Après 5 ans, l'offre A donne 2 600 000 GNF… et l'offre B environ 2 613 920 GNF !
Comment calculer ce que rapporte un placement à intérêts simples ou composés, et comment choisir la meilleure offre ?
2Je comprends
1. Vocabulaire
Quand on place une somme d'argent (on la prête à une banque) ou quand on emprunte, l'argent « rapporte » ou « coûte » un intérêt.
- Le capital C (ou C0) est la somme placée au départ.
- Le taux annuel t est le pourcentage de rémunération pour un an (on l'écrit en décimal dans les calculs : 6 % donne t = 0,06).
- La durée n du placement (en années, parfois en mois ou en jours).
- La valeur acquise A (ou Cn) est ce que l'on possède à la fin : capital plus intérêts.
2. Les intérêts simples
Avec les intérêts simples, les intérêts sont calculés chaque année sur le capital de départ seulement. Ils sont donc les mêmes chaque année.
Pour une durée de n années :
I = C × t × n et A = C + I = C(1 + tn).
Pour une durée de j jours, on utilise en mathématiques financières l'année commerciale de 360 jours :
I = C × t × j360 ; pour m mois : I = C × t × m12.
Lien avec les suites. Chaque année, on ajoute la même somme Ct : les valeurs acquises successives An = C + nCt forment une suite arithmétique de premier terme C et de raison Ct.
Exemple
Calculer l'intérêt simple produit par 800 000 GNF placés à 9 % pendant 90 jours.
I = C × t × j/360 = 800 000 × 0,09 × 90/360 = 72 000 × 0,25 = 18 000 GNF.
La valeur acquise est A = 800 000 + 18 000 = 818 000 GNF.
3. Les intérêts composés
Avec les intérêts composés, à la fin de chaque année, les intérêts sont ajoutés au capital et produisent à leur tour des intérêts l'année suivante. On dit que les intérêts sont capitalisés.
Chaque année, le capital est multiplié par 1 + t :
C1 = C0(1 + t), C2 = C1(1 + t) = C0(1 + t)2, et ainsi de suite.
Cn = C0(1 + t)n.
Lien avec les suites. Les valeurs acquises Cn forment une suite géométrique de premier terme C0 et de raison 1 + t.
Exemple
On place 3 000 000 GNF à 5 % par an, à intérêts composés, pendant 4 ans. Calculer la valeur acquise et les intérêts.
C₄ = 3 000 000 × 1,05⁴ = 3 000 000 × 1,21550625 = 3 646 518,75.
Valeur acquise : environ 3 646 519 GNF.
Intérêts : 3 646 519 − 3 000 000 = 646 519 GNF.
À intérêts simples, on n'aurait gagné que 3 000 000 × 0,05 × 4 = 600 000 GNF.
- Intérêts calculés sur le capital de départ
- Même intérêt chaque année
- A = C(1 + tn)
- Suite arithmétique de raison Ct
- Utilisés surtout pour les courtes durées
- Intérêts calculés sur le capital augmenté des intérêts
- Intérêt de plus en plus grand
- Cn = C₀(1 + t)ⁿ
- Suite géométrique de raison 1 + t
- Utilisés pour les placements longs et les emprunts
4. La valeur actuelle
Parfois, on connaît la somme que l'on veut obtenir plus tard et l'on cherche la somme à placer aujourd'hui. C'est la valeur actuelle. À intérêts composés :
C0 = Cn(1 + t)n = Cn(1 + t)-n.
Exemple
Combien faut-il placer aujourd'hui à 6 % par an (intérêts composés) pour disposer de 5 000 000 GNF dans 3 ans ?
C₀ = 5 000 000 / 1,06³ = 5 000 000 / 1,191016 ≈ 4 198 096,4.
Il faut placer environ 4 198 097 GNF (on arrondit au-dessus pour être sûr d'atteindre 5 000 000 GNF).
5. Le temps de doublement
À intérêts composés à 7 %, en combien d'années un capital double-t-il ? Il faut (1,07)n ≥ 2. À la calculatrice : 1,0710 ≈ 1,967 (pas encore) et 1,0711 ≈ 2,105. Le capital double en 11 ans. (En Terminale, le logarithme permettra de résoudre ce type d'équation directement.)
Méthode
Pour résoudre un problème de placement :
- Je repère C, le taux t (en décimal), la durée et son unité (années, mois, jours).
- Je repère le type d'intérêts : simples (on ajoute toujours la même somme) ou composés (on multiplie par 1 + t).
- J'applique la bonne formule : A = C(1 + tn) ou Cn = C₀(1 + t)ⁿ.
- Je calcule avec la calculatrice sans arrondir en cours de route, puis j'arrondis au franc guinéen.
- Je réponds par une phrase et, s'il faut comparer, je calcule les deux valeurs acquises à la même date.
6. Retour aux offres de Mariama
Offre A : An = 2 000 000(1 + 0,06n) = 2 000 000 + 120 000n. Offre B : Bn = 2 000 000 × 1,055n.
| Années | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Offre A (GNF) | 2 120 000 | 2 240 000 | 2 360 000 | 2 480 000 | 2 600 000 | 2 720 000 |
| Offre B (GNF, arrondi) | 2 110 000 | 2 226 050 | 2 348 483 | 2 477 649 | 2 613 920 | 2 757 686 |
L'offre A est meilleure pour un placement de 1 à 4 ans ; à partir de 5 ans, l'offre B l'emporte, et l'écart grandit ensuite chaque année. Le bon choix dépend donc de la durée du placement.
3Je retiens
Je retiens
Intérêts simples : I = C × t × n (n en années) ; I = C × t × j/360 (j en jours) ; A = C(1 + tn).
Les valeurs acquises à intérêts simples forment une suite arithmétique de raison Ct.
Intérêts composés : Cn = C₀(1 + t)ⁿ ; les intérêts produisent eux-mêmes des intérêts.
Les valeurs acquises à intérêts composés forment une suite géométrique de raison 1 + t.
Valeur actuelle : C₀ = Cn / (1 + t)ⁿ.
Pour comparer deux placements, on compare les valeurs acquises à la même date.
4Erreurs fréquentes
- Utiliser le taux en pourcentage dans la formule : 6 % s'écrit t = 0,06, pas t = 6.
- Oublier de convertir la durée : pour 90 jours, on multiplie par 90/360, pas par 90.
- Écrire Cn = C₀ × (1 + t) × n : la durée est un EXPOSANT, (1 + t)ⁿ.
- Confondre intérêts et valeur acquise : la valeur acquise inclut le capital de départ.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Intérêts simples.
a) Calcule l'intérêt et la valeur acquise de 1 500 000 GNF placés à 8 % pendant 3 ans.
b) Calcule l'intérêt produit par 1 200 000 GNF placés à 6 % pendant 60 jours.
c) Un capital de 600 000 GNF placé pendant 2 ans à intérêts simples a une valeur acquise de 690 000 GNF. Calcule le taux.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) I = 1 500 000 × 0,08 × 3 = 360 000 GNF ; A = 1 860 000 GNF.
b) I = 1 200 000 × 0,06 × 60360 = 72 000 × 16 = 12 000 GNF.
c) L'intérêt vaut 690 000 - 600 000 = 90 000 GNF. 90 000 = 600 000 × t × 2, donc t = 90 0001 200 000 = 0,075, soit 7,5 %.
2Exercice 2
On place 1 500 000 GNF à 4 % par an, à intérêts composés, pendant 8 ans. Calcule la valeur acquise puis les intérêts (arrondis au franc).
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C8 = 1 500 000 × 1,048 ≈ 1 500 000 × 1,368569 ≈ 2 052 853,58. Valeur acquise : environ 2 052 854 GNF ; intérêts : environ 552 854 GNF.
3Exercice 3
Ousmane place 1 200 000 GNF pendant 4 ans au taux annuel de 7,5 %. Calcule la valeur acquise à intérêts simples, puis à intérêts composés, et l'écart entre les deux.
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Intérêts simples : A = 1 200 000(1 + 0,075 × 4) = 1 200 000 × 1,3 = 1 560 000 GNF.
Intérêts composés : C4 = 1 200 000 × 1,0754 ≈ 1 602 562,97, soit environ 1 602 563 GNF.
Écart : environ 1 602 563 - 1 560 000 = 42 563 GNF en faveur des intérêts composés.
4Exercice 4
a) Combien faut-il placer aujourd'hui à 7 % par an, à intérêts composés, pour disposer de 1 000 000 GNF dans 6 ans ?
b) Un capital est placé à 7 % à intérêts composés. Au bout de combien d'années entières aura-t-il au moins doublé ?
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a) C0 = 1 000 0001,076 ≈ 1 000 0001,500730 ≈ 666 342,2. Il faut placer environ 666 343 GNF.
b) On cherche le plus petit entier n tel que 1,07n ≥ 2. 1,0710 ≈ 1,967 < 2 et 1,0711 ≈ 2,105 ≥ 2. Le capital aura doublé au bout de 11 ans.
5Exercice 5
(Type BAC) On reprend les offres de Mariama : 2 000 000 GNF à 6 % à intérêts simples (offre A) ou à 5,5 % à intérêts composés (offre B). On note An et Bn les valeurs acquises au bout de n années.
a) Exprime An et Bn en fonction de n. Précise la nature de chaque suite.
b) Calcule A4, B4, A5 et B5 (arrondis au franc).
c) Mariama pense garder son argent placé 6 ans. Quelle offre doit-elle choisir ? Quel gain supplémentaire obtient-elle ?
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a) An = 2 000 000(1 + 0,06n) = 2 000 000 + 120 000n : suite arithmétique de raison 120 000. Bn = 2 000 000 × 1,055n : suite géométrique de raison 1,055.
b) A4 = 2 480 000 ; B4 ≈ 2 477 649 ; A5 = 2 600 000 ; B5 ≈ 2 613 920 (en GNF).
c) A6 = 2 720 000 GNF et B6 = 2 000 000 × 1,0556 ≈ 2 757 686 GNF. Pour 6 ans, Mariama doit choisir l'offre B, qui lui rapporte environ 2 757 686 - 2 720 000 = 37 686 GNF de plus.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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Toutes les leçons de Mathématiques · 12e SS
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