Karamö, le prof virtuelLeçon 12 sur 19
Suites géométriques
Je sais reconnaître une suite géométrique, calculer ses termes et la somme de termes consécutifs, et l'utiliser pour modéliser une évolution à pourcentage constant.
- 55 min
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Reconnaître et démontrer qu'une suite est géométrique
- Utiliser la formule explicite un = u0 × qⁿ
- Calculer la somme de termes consécutifs d'une suite géométrique
- Modéliser une hausse ou une baisse de t % par an avec q = 1 ± t/100
Avant de commencer : Les suites arithmétiques, les puissances, les pourcentages simples.
1Je découvre
Alpha, conducteur de moto-taxi à Kankan, vient d'acheter une moto neuve à 12 000 000 GNF. Un mécanicien lui explique qu'une moto de ce type perd environ 20 % de sa valeur chaque année (valeur imaginée pour l'exemple).
Après un an, la moto ne vaut plus que 80 % de son prix : 12 000 000 × 0,8 = 9 600 000 GNF. Après deux ans : 9 600 000 × 0,8 = 7 680 000 GNF. Après trois ans : 6 144 000 GNF.
Alpha remarque que la baisse n'est pas la même chaque année : 2 400 000 GNF la première année, 1 920 000 GNF la deuxième, 1 536 000 GNF la troisième. Ce n'est donc pas une suite arithmétique. En revanche, on multiplie toujours par le même nombre, 0,8.
Comment décrire une suite où l'on multiplie toujours par le même nombre, et comment prévoir sa valeur après plusieurs années ?
2Je comprends
1. Définition
Une suite (un) est géométrique s'il existe un réel q tel que, pour tout entier naturel n :
un+1 = q × un.
Le nombre q s'appelle la raison. On passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par q.
Pour démontrer qu'une suite à termes non nuls est géométrique, on calcule le quotient un+1un pour un n quelconque : s'il est constant, la suite est géométrique de raison égale à ce quotient. Pour prouver qu'elle ne l'est pas, un contre-exemple suffit.
Exemple
La suite un = 5 × 3ⁿ est-elle géométrique ? Et vn = n² + 1 ?
un₊₁ / un = (5 × 3ⁿ⁺¹)/(5 × 3ⁿ) = 3. Le quotient est constant : (un) est géométrique de raison 3, avec u₀ = 5.
v₀ = 1, v₁ = 2, v₂ = 5 : v₁/v₀ = 2 mais v₂/v₁ = 2,5. (vn) n'est pas géométrique.
2. Formule explicite
En multipliant n fois par q à partir de u0 :
un = u0 × qn.
Plus généralement : un = up × qn - p. Si la suite commence à u1 : un = u1 × qn-1.
Exemple
Une suite géométrique à termes positifs vérifie u₂ = 12 et u₅ = 96. Trouver q et u₀.
u₅ = u₂ × q³, donc 96 = 12 × q³, soit q³ = 8 et q = 2.
u₂ = u₀ × q², donc u₀ = 12 / 4 = 3.
Pour tout n : un = 3 × 2ⁿ. Contrôle : u₅ = 3 × 32 = 96. Juste.
3. Pourcentages et suites géométriques
C'est l'application la plus importante en série sociale :
- augmenter de t %, c'est multiplier par 1 + t100 ;
- diminuer de t %, c'est multiplier par 1 - t100.
Une grandeur qui augmente ou diminue du même pourcentage chaque période suit donc une suite géométrique de raison q = 1 ± t100. On parle de croissance exponentielle (ou de décroissance exponentielle).
Pour la moto d'Alpha : u0 = 12 000 000 et q = 1 - 20100 = 0,8, donc un = 12 000 000 × 0,8n.
4. Sens de variation
Pour une suite géométrique un = u0 × qn avec u0 > 0 :
- si q > 1, la suite est strictement croissante ;
- si 0 < q < 1, elle est strictement décroissante ;
- si q = 1, elle est constante.
(Si u0 < 0, les sens sont inversés ; si q < 0, les termes changent de signe à chaque rang et la suite n'est pas monotone.)
- On ajoute la raison r
- un = u₀ + nr
- Accroissement constant
- Points alignés : croissance linéaire
- Milieu : 2b = a + c
- On multiplie par la raison q
- un = u₀ × qⁿ
- Pourcentage d'évolution constant
- Croissance exponentielle
- Milieu : b² = a × c
5. Trois termes consécutifs
Si a, b, c sont trois termes consécutifs non nuls d'une suite géométrique, alors ba = cb, donc :
b2 = a × c.
6. Somme de termes consécutifs
Pour q ≠ 1 :
1 + q + q2 + … + qn = 1 - qn+11 - q.
Idée de la preuve : si S = 1 + q + … + qn, alors qS = q + q2 + … + qn+1 ; en soustrayant, presque tout se simplifie : S - qS = 1 - qn+1.
Cas général. Pour une suite géométrique de raison q ≠ 1 :
S = premier terme × 1 - qnombre de termes1 - q.
Exemple
Calculer S = 1 + 2 + 4 + 8 + … + 2¹⁰.
C'est la somme des termes de la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 2, de 2⁰ à 2¹⁰ : 11 termes.
S = 1 × (1 − 2¹¹)/(1 − 2) = (1 − 2 048)/(−1) = 2 047.
Méthode
Pour calculer une somme de termes d'une suite géométrique :
- Je vérifie que la suite est géométrique et je note sa raison q (différente de 1).
- Je repère le premier terme de la somme.
- Je compte le nombre de termes : indice du dernier − indice du premier + 1.
- J'applique S = premier terme × (1 − q^(nombre de termes)) / (1 − q).
- Je calcule avec la calculatrice en gardant les parenthèses, et je vérifie l'ordre de grandeur.
7. Retour à la moto d'Alpha
Alpha veut savoir quand sa moto vaudra moins de la moitié de son prix, soit moins de 6 000 000 GNF. Il faut 0,8n < 0,5. À la calculatrice : 0,83 = 0,512 (encore au-dessus de 0,5) et 0,84 = 0,4096. C'est donc au bout de 4 ans : la moto vaudra alors 12 000 000 × 0,4096 = 4 915 200 GNF.
3Je retiens
Je retiens
Suite géométrique de raison q : un₊₁ = q × un (le quotient un₊₁ / un est constant).
Formule explicite : un = u₀ × qⁿ ; plus généralement un = up × qⁿ⁻ᵖ.
Hausse de t % : q = 1 + t/100 ; baisse de t % : q = 1 − t/100.
Avec u₀ > 0 : q > 1 donne une suite croissante ; 0 < q < 1 donne une suite décroissante.
Trois termes consécutifs a, b, c : b² = a × c.
1 + q + … + qⁿ = (1 − qⁿ⁺¹)/(1 − q) pour q ≠ 1.
Somme = premier terme × (1 − q^(nombre de termes))/(1 − q).
4Erreurs fréquentes
- Écrire un = u₀ × q × n : c'est q PUISSANCE n, pas q fois n.
- Traduire une baisse de 20 % par q = 0,2 : on garde 80 %, donc q = 0,8.
- Se tromper dans l'exposant de la somme : on met en exposant le NOMBRE DE TERMES, pas l'indice du dernier terme.
- Additionner des pourcentages successifs : deux hausses de 10 % ne font pas 20 % mais 21 % (1,1 × 1,1 = 1,21).
5Je m’exerce
1Exercice 1
(un) est la suite géométrique de premier terme u0 = 2 et de raison 3.
a) Calcule u1, u2, u3.
b) Exprime un en fonction de n et calcule u6.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) u1 = 6 ; u2 = 18 ; u3 = 54.
b) un = 2 × 3n ; u6 = 2 × 729 = 1 458.
2Exercice 2
Les suites suivantes sont-elles géométriques ? Justifie.
a) un = 4 × (12)n
b) vn = 3n+12
c) wn = 2n + 1
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a) un+1un = 4 × (1/2)n+14 × (1/2)n = 12 : géométrique de raison 12, u0 = 4.
b) vn+1vn = 3n+2/23n+1/2 = 3 : géométrique de raison 3, v0 = 32.
c) w0 = 1, w1 = 3, w2 = 5 : w1w0 = 3 et w2w1 = 53. Pas géométrique (elle est arithmétique de raison 2).
3Exercice 3
Une suite géométrique à termes positifs vérifie u1 = 6 et u4 = 48.
a) Calcule la raison q et u0.
b) Exprime un en fonction de n et calcule u10.
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a) u4 = u1 × q3, donc q3 = 486 = 8 et q = 2. u0 = u1q = 3.
b) un = 3 × 2n ; u10 = 3 × 1 024 = 3 072.
4Exercice 4
Calcule :
a) S1 = 3 + 6 + 12 + … + 3 × 29
b) S2 = 1 + 12 + 14 + … + 129 (valeur exacte, puis arrondie au millième)
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a) Suite géométrique de premier terme 3, de raison 2, de 3 × 20 à 3 × 29 : 10 termes. S1 = 3 × 1 - 2101 - 2 = 3 × 1 023 = 3 069.
b) Premier terme 1, raison 12, de (12)0 à (12)9 : 10 termes. S2 = 1 - (1/2)101 - 1/2 = 2(1 - 11 024) = 2 - 1512 = 1 023512 ≈ 1,998.
5Exercice 5
(Type BAC) Un village compte 5 000 habitants en 2024. On suppose que sa population augmente de 3 % par an. On note un la population en 2024 + n.
a) Calcule u1 et u2.
b) Montre que (un) est géométrique ; donne sa raison et exprime un en fonction de n.
c) Estime la population en 2034 (arrondie à l'unité).
d) À l'aide de la calculatrice, détermine l'année à partir de laquelle la population dépassera 7 500 habitants.
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a) u1 = 5 000 × 1,03 = 5 150 ; u2 = 5 150 × 1,03 = 5 304,5, soit environ 5 305 habitants.
b) Augmenter de 3 %, c'est multiplier par 1,03 : un+1 = 1,03 un. La suite est géométrique de raison 1,03 et un = 5 000 × 1,03n.
c) 2034 correspond à n = 10 : u10 = 5 000 × 1,0310 ≈ 6 719,58, soit environ 6 720 habitants.
d) On cherche n tel que 5 000 × 1,03n > 7 500, soit 1,03n > 1,5. À la calculatrice : 1,0313 ≈ 1,469 (pas encore) et 1,0314 ≈ 1,513. Donc n = 14 : la population dépassera 7 500 habitants à partir de 2038 (environ 7 563 habitants).
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6Je vérifie
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