Karamö, le prof virtuelLeçon 15 sur 19
Séries statistiques : effectifs, fréquences, effectifs cumulés
Je sais organiser une série statistique dans un tableau, calculer les fréquences et les effectifs cumulés, et les représenter pour répondre à des questions.
- 55 min
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Utiliser le vocabulaire de la statistique (population, caractère, modalité, classe)
- Calculer les effectifs, les fréquences et les pourcentages
- Calculer les effectifs et fréquences cumulés croissants et décroissants
- Construire et lire un diagramme en bâtons, un histogramme et un polygone des effectifs cumulés
Avant de commencer : Les pourcentages et l'organisation des données vue en 11e.
1Je découvre
Des élèves de 12e SS d'un lycée de Mamou préparent un exposé sur la taille des familles de leur quartier. Ils interrogent 40 familles et notent pour chacune le nombre d'enfants (données imaginées pour la leçon). Leur cahier est rempli de nombres en désordre : 3, 2, 4, 0, 3, 1, 5, 3, 2, 6…
Alpha, le chef du groupe, veut répondre à des questions précises : « Combien de familles ont au plus 3 enfants ? Quel pourcentage de familles a au moins 4 enfants ? » Avec une liste en désordre, c'est impossible à voir d'un coup d'œil.
Fatoumata propose de compter combien de familles ont 0 enfant, 1 enfant, 2 enfants, etc., de ranger ces nombres dans un tableau, puis de les additionner progressivement.
Comment organiser des données statistiques pour répondre rapidement à des questions du type « au plus » ou « au moins » ?
2Je comprends
1. Vocabulaire
- La population est l'ensemble étudié (les 40 familles) ; chaque élément est un individu (une famille).
- Le caractère (ou variable) est ce que l'on observe sur chaque individu (le nombre d'enfants).
- Les modalités sont les valeurs possibles du caractère.
Un caractère peut être :
- qualitatif : ses modalités ne sont pas des nombres (région d'origine, moyen de transport, série au lycée) ;
- quantitatif discret : il prend des valeurs isolées, souvent entières (nombre d'enfants, pointure) ;
- quantitatif continu : il peut prendre toutes les valeurs d'un intervalle (âge, taille, dépense). On regroupe alors les valeurs en classes [a ; b[ ; l'amplitude de la classe est b - a et son centre est a + b2.
2. Effectifs et fréquences
L'effectif ni d'une modalité est le nombre d'individus qui ont cette modalité. L'effectif total est N = n1 + n2 + … + np.
La fréquence d'une modalité est fi = niN. C'est un nombre entre 0 et 1, souvent donné en pourcentage. La somme des fréquences vaut toujours 1 (soit 100 %).
3. Effectifs cumulés
- L'effectif cumulé croissant (ECC) d'une modalité est la somme de son effectif et des effectifs de toutes les modalités inférieures. Il répond à la question : « combien d'individus ont une valeur inférieure ou égale à… ? »
- L'effectif cumulé décroissant (ECD) est la somme de son effectif et des effectifs des modalités supérieures. Il répond à : « combien d'individus ont une valeur supérieure ou égale à… ? »
On définit de même les fréquences cumulées croissantes (FCC) et décroissantes (FCD). Contrôles : le dernier ECC vaut N ; le premier ECD vaut N.
Exemple
Nombre d'enfants dans les 40 familles : compléter le tableau.
Nombre d'enfants : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6
Effectifs : 3 ; 5 ; 8 ; 10 ; 7 ; 4 ; 3 (total 40)
Fréquences : 3/40 = 7,5 % ; 12,5 % ; 20 % ; 25 % ; 17,5 % ; 10 % ; 7,5 % (total 100 %)
ECC : 3 ; 3 + 5 = 8 ; 8 + 8 = 16 ; 16 + 10 = 26 ; 33 ; 37 ; 40
ECD : 40 ; 40 − 3 = 37 ; 37 − 5 = 32 ; 32 − 8 = 24 ; 24 − 10 = 14 ; 14 − 7 = 7 ; 3
Réponses : 26 familles ont au plus 3 enfants (ECC de 3).
14 familles ont au moins 4 enfants (ECD de 4), soit 14/40 = 35 %.
| Nombre d'enfants | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | Total |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 3 | 5 | 8 | 10 | 7 | 4 | 3 | 40 |
| Fréquence (%) | 7,5 | 12,5 | 20 | 25 | 17,5 | 10 | 7,5 | 100 |
| ECC | 3 | 8 | 16 | 26 | 33 | 37 | 40 | |
| ECD | 40 | 37 | 32 | 24 | 14 | 7 | 3 |
4. Représentations graphiques
- Caractère qualitatif : diagramme en barres ou diagramme circulaire (l'angle d'un secteur vaut fi × 360°).
- Caractère discret : diagramme en bâtons (un bâton de hauteur ni pour chaque valeur).
- Caractère continu : histogramme (des rectangles accolés, un par classe ; quand les classes ont la même amplitude, la hauteur est proportionnelle à l'effectif).
- Polygone des effectifs cumulés croissants : pour des classes, on place les points qui ont pour abscisse la borne supérieure de chaque classe et pour ordonnée l'ECC correspondant, en partant de la borne inférieure de la première classe (d'ordonnée 0), et on les relie par des segments.
5. Données regroupées en classes
Exemple
On a relevé la dépense hebdomadaire de transport de 50 élèves, en milliers de GNF (données imaginées). Compléter le tableau.
Classes : [0 ; 10[ ; [10 ; 20[ ; [20 ; 30[ ; [30 ; 40[ ; [40 ; 50[
Effectifs : 6 ; 14 ; 17 ; 9 ; 4 (total 50)
Centres : 5 ; 15 ; 25 ; 35 ; 45
Fréquences : 6/50 = 12 % ; 28 % ; 34 % ; 18 % ; 8 %
ECC : 6 ; 20 ; 37 ; 46 ; 50
Lecture : 37 élèves dépensent moins de 30 000 GNF par semaine, soit 74 %.
Le polygone des ECC passe par les points (0 ; 0), (10 ; 6), (20 ; 20), (30 ; 37), (40 ; 46) et (50 ; 50).
Interpolation linéaire. Pour estimer le nombre d'élèves qui dépensent moins de 25 000 GNF, on suppose les valeurs réparties régulièrement dans la classe [20 ; 30[ : 25 est au milieu de la classe, donc on ajoute la moitié de l'effectif de la classe : 20 + 172 = 28,5, soit environ 28 ou 29 élèves. Graphiquement, c'est lire le polygone des ECC en x = 25.
Méthode
Pour compléter un tableau statistique :
- Je vérifie l'effectif total N en additionnant les effectifs.
- Je calcule chaque fréquence fi = ni/N (en pourcentage si demandé) et je vérifie que leur somme vaut 100 %.
- ECC : je pars du premier effectif et j'ajoute l'effectif suivant à chaque colonne ; le dernier ECC doit valoir N.
- ECD : je pars de N et je retire l'effectif précédent à chaque colonne ; le dernier ECD est le dernier effectif.
- Pour « au plus x » ou « moins de b », je lis l'ECC ; pour « au moins x », je lis l'ECD.
3Je retiens
Je retiens
Population, individu, caractère (qualitatif, quantitatif discret ou continu), modalités, classes.
Classe [a ; b[ : amplitude b − a, centre (a + b)/2.
Fréquence : fi = ni/N ; la somme des fréquences vaut 1 (100 %).
ECC d'une valeur : nombre d'individus ayant une valeur inférieure ou égale ; le dernier ECC vaut N.
ECD d'une valeur : nombre d'individus ayant une valeur supérieure ou égale ; le premier ECD vaut N.
Polygone des ECC (classes) : points (borne supérieure ; ECC), en partant de (borne inférieure ; 0).
Discret : diagramme en bâtons ; continu : histogramme ; qualitatif : diagramme circulaire (angle = fi × 360°).
4Erreurs fréquentes
- Placer les points du polygone des ECC au centre des classes : on utilise la BORNE SUPÉRIEURE de chaque classe.
- Confondre « au plus 3 » (valeurs 0, 1, 2, 3 : ECC de 3) et « plus de 3 » (valeurs 4, 5, 6).
- Oublier de vérifier que le dernier ECC est égal à l'effectif total : c'est le meilleur contrôle.
- Donner une fréquence supérieure à 1 ou des pourcentages dont la somme n'est pas 100 %.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Pour chaque étude, donne la population, le caractère et sa nature.
a) La série (SM, SE, SS) de chaque élève de 12e d'un lycée de Kankan.
b) Le nombre de chèvres de chaque éleveur d'un village du Fouta-Djallon.
c) La taille, en cm, de chaque joueur d'une équipe de football.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Population : les élèves de 12e du lycée ; caractère : la série ; qualitatif.
b) Population : les éleveurs du village ; caractère : le nombre de chèvres ; quantitatif discret.
c) Population : les joueurs de l'équipe ; caractère : la taille ; quantitatif continu.
2Exercice 2
On a demandé à 25 élèves leur nombre de frères et sœurs.
| Nombre | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 2 | 4 | 7 | 6 | 4 | 2 |
a) Calcule les fréquences en pourcentage.
b) Calcule les ECC et les ECD.
c) Combien d'élèves ont au plus 2 frères et sœurs ? au moins 3 ? Quel pourcentage en a moins de 4 ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Fréquences : 225 = 8 % ; 16 % ; 28 % ; 24 % ; 16 % ; 8 % (total 100 %).
b) ECC : 2 ; 6 ; 13 ; 19 ; 23 ; 25. ECD : 25 ; 23 ; 19 ; 12 ; 6 ; 2.
c) Au plus 2 : ECC de 2, soit 13 élèves. Au moins 3 : ECD de 3, soit 12 élèves. Moins de 4 (au plus 3) : ECC de 3 = 19, soit 1925 = 76 %.
3Exercice 3
Âges des 60 membres d'une coopérative : [20 ; 30[ : 9 ; [30 ; 40[ : 18 ; [40 ; 50[ : 21 ; [50 ; 60[ : 12.
a) Donne le centre de chaque classe.
b) Calcule les fréquences, les ECC et les fréquences cumulées croissantes.
c) Quel pourcentage des membres a moins de 50 ans ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Centres : 25 ; 35 ; 45 ; 55.
b) Fréquences : 960 = 15 % ; 30 % ; 35 % ; 20 %. ECC : 9 ; 27 ; 48 ; 60. FCC : 15 % ; 45 % ; 80 % ; 100 %.
c) Moins de 50 ans : FCC de la classe [40 ; 50[, soit 80 %.
4Exercice 4
On reprend les dépenses de transport des 50 élèves (ECC : 6 ; 20 ; 37 ; 46 ; 50 pour les classes de 10 en 10, de 0 à 50).
a) Combien d'élèves dépensent au moins 20 000 GNF par semaine ?
b) Estime, par interpolation linéaire, le nombre d'élèves qui dépensent moins de 35 000 GNF.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Moins de 20 000 GNF : 20 élèves. Au moins 20 000 GNF : 50 - 20 = 30 élèves.
b) 35 est au milieu de la classe [30 ; 40[, dont l'effectif est 46 - 37 = 9. Estimation : 37 + 92 = 41,5, soit environ 41 à 42 élèves.
5Exercice 5
(Type BAC) On a relevé la recette journalière de 80 vendeuses d'un marché, en milliers de GNF.
| Recette | [0 ; 20[ | [20 ; 40[ | [40 ; 60[ | [60 ; 80[ | [80 ; 100[ |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 8 | x | 28 | 16 | 6 |
a) Calcule x.
b) Calcule les fréquences, les ECC et les ECD.
c) Combien de vendeuses ont une recette inférieure à 60 000 GNF ? Quel pourcentage a une recette d'au moins 60 000 GNF ?
d) Donne les coordonnées des points du polygone des ECC.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 8 + x + 28 + 16 + 6 = 80, donc x = 80 - 58 = 22.
b) Fréquences : 10 % ; 27,5 % ; 35 % ; 20 % ; 7,5 %. ECC : 8 ; 30 ; 58 ; 74 ; 80. ECD : 80 ; 72 ; 50 ; 22 ; 6.
c) Recette inférieure à 60 000 GNF : ECC de [40 ; 60[, soit 58 vendeuses. Au moins 60 000 GNF : ECD de [60 ; 80[, soit 22 vendeuses, c'est-à-dire 2280 = 27,5 %.
d) Points : (0 ; 0), (20 ; 8), (40 ; 30), (60 ; 58), (80 ; 74), (100 ; 80).
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
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Leçon ajoutée par Kharandi pour compléter le programme de la classe.
