Karamö, le prof virtuelLeçon 16 sur 19
Paramètres de position : mode, médiane, moyenne, quartiles
Je sais calculer le mode, la moyenne, la médiane et les quartiles d'une série, qu'elle soit donnée valeur par valeur ou regroupée en classes, et les interpréter.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Déterminer le mode ou la classe modale d'une série
- Calculer la moyenne d'une série (valeurs ou centres de classes) et une moyenne d'ensemble
- Déterminer la médiane et les quartiles d'une série discrète
- Estimer la médiane et les quartiles d'une série en classes par interpolation linéaire
Avant de commencer : Effectifs, fréquences et effectifs cumulés croissants (leçon précédente).
1Je découvre
Les élèves de 12e SS de Mamou ont organisé les réponses des 40 familles de leur quartier (données imaginées) :
| Nombre d'enfants | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 3 | 5 | 8 | 10 | 7 | 4 | 3 |
Pour leur exposé, ils veulent résumer ce tableau en un seul nombre : « Une famille typique du quartier a … enfants. » Mais les avis divergent. Kadiatou propose la valeur la plus fréquente. Ousmane veut calculer la moyenne, mais il trouve un nombre à virgule et se demande si « 2,9 enfants » a un sens. Mariama préfère la valeur « du milieu », qui partage les familles en deux groupes égaux.
Chacun a raison à sa façon : ces trois nombres sont des paramètres de position différents, qui ne racontent pas tout à fait la même chose.
Comment calculer le mode, la moyenne, la médiane et les quartiles d'une série, et que nous apprend chacun ?
2Je comprends
1. Le mode
Le mode d'une série discrète est la valeur qui a le plus grand effectif. Pour une série en classes, on parle de classe modale (celle qui a le plus grand effectif, quand les classes ont la même amplitude).
Pour les familles : le mode est 3 enfants (effectif 10).
2. La moyenne
La moyenne d'une série de valeurs x1, …, xp d'effectifs n1, …, np est :
x = n1 x1 + n2 x2 + … + np xpN, où N = n1 + … + np.
On peut aussi utiliser les fréquences : x = f1 x1 + f2 x2 + … + fp xp.
Pour une série en classes, on remplace chaque classe par son centre : on obtient une valeur approchée de la moyenne.
Propriétés utiles.
- Linéarité : si l'on transforme chaque valeur par y = ax + b, la moyenne devient y = ax + b. Exemple : si chaque note augmente de 2 points, la moyenne augmente de 2 points.
- Moyenne d'ensemble : si deux groupes d'effectifs N1 et N2 ont pour moyennes x1 et x2, la moyenne de l'ensemble est N1 x1 + N2 x2N1 + N2 (et non la moyenne des deux moyennes).
Exemple
Calculer le nombre moyen d'enfants des 40 familles.
Somme des produits : 0 × 3 + 1 × 5 + 2 × 8 + 3 × 10 + 4 × 7 + 5 × 4 + 6 × 3
= 0 + 5 + 16 + 30 + 28 + 20 + 18 = 117.
Moyenne : 117 / 40 = 2,925.
Il y a en moyenne 2,925 enfants par famille, soit environ 2,9 : une moyenne n'est pas forcément une valeur de la série.
3. La médiane
La médiane Me partage la série rangée dans l'ordre croissant en deux groupes de même effectif : au moins la moitié des valeurs lui sont inférieures ou égales, au moins la moitié lui sont supérieures ou égales.
Pour une série de N valeurs rangées :
- si N est impair, Me est la valeur de rang N + 12 ;
- si N est pair, Me est la moyenne des valeurs de rangs N2 et N2 + 1.
Avec un tableau d'effectifs, on repère ces rangs grâce aux effectifs cumulés croissants.
4. Les quartiles
Dans ce cours, on utilise la définition suivante (série rangée dans l'ordre croissant) :
- le premier quartile Q1 est la plus petite valeur telle qu'au moins 25 % des valeurs lui soient inférieures ou égales : c'est la valeur de rang N4 arrondi à l'entier supérieur ;
- le troisième quartile Q3 est la plus petite valeur telle qu'au moins 75 % des valeurs lui soient inférieures ou égales : rang 3N4 arrondi à l'entier supérieur.
L'écart interquartile Q3 - Q1 mesure l'étendue de la moitié « centrale » des données.
Exemple
Médiane et quartiles du nombre d'enfants (N = 40).
ECC : 3 ; 8 ; 16 ; 26 ; 33 ; 37 ; 40.
Médiane : N est pair ; on cherche les valeurs de rangs 20 et 21. Les rangs 17 à 26 correspondent à la valeur 3 (ECC 16 < 20 et 21 ≤ 26). Me = (3 + 3)/2 = 3.
Q₁ : N/4 = 10. La valeur de rang 10 est 2 (car 8 < 10 ≤ 16). Q₁ = 2.
Q₃ : 3N/4 = 30. La valeur de rang 30 est 4 (car 26 < 30 ≤ 33). Q₃ = 4.
Écart interquartile : 4 − 2 = 2.
Au moins la moitié des familles a 3 enfants ou moins ; la moitié centrale des familles a entre 2 et 4 enfants.
Méthode
Pour trouver la médiane et les quartiles d'une série discrète :
- Je range les valeurs dans l'ordre croissant (ou j'utilise le tableau, déjà rangé).
- Je calcule les effectifs cumulés croissants et je note N.
- Médiane : si N est impair, je cherche la valeur de rang (N + 1)/2 ; si N est pair, je fais la moyenne des valeurs de rangs N/2 et N/2 + 1.
- Q₁ : je calcule N/4, j'arrondis à l'entier supérieur et je cherche la valeur de ce rang ; Q₃ : même chose avec 3N/4.
- Pour trouver la valeur d'un rang r, je cherche le premier ECC supérieur ou égal à r.
- J'interprète par une phrase (« au moins la moitié des… »).
5. Médiane et quartiles d'une série en classes
Quand les données sont regroupées en classes, on estime la médiane par interpolation linéaire : on repère la classe qui contient la valeur de rang N2 (la classe médiane), puis on suppose les valeurs réparties régulièrement dans cette classe.
Si la classe médiane est [a ; b[, d'effectif n, et que l'ECC de la classe précédente vaut E :
Me = a + (b - a) × N2 - En.
On procède de même pour Q1 (avec N4) et Q3 (avec 3N4). Graphiquement, c'est l'abscisse du point du polygone des ECC d'ordonnée N2.
- 1Calculer les effectifs cumulés croissants.
- 2Calculer N/2 (ou N/4, 3N/4 pour les quartiles).
- 3Repérer la classe [a ; b[ où l'ECC dépasse pour la première fois cette valeur.
- 4Noter E, l'ECC de la classe précédente, et n, l'effectif de la classe.
- 5Appliquer Me = a + (b − a) × (N/2 − E)/n.
Exemple
Dépenses hebdomadaires de transport de 50 élèves, en milliers de GNF : [0 ; 10[ : 6 ; [10 ; 20[ : 14 ; [20 ; 30[ : 17 ; [30 ; 40[ : 9 ; [40 ; 50[ : 4.
Classe modale : [20 ; 30[.
Moyenne (avec les centres 5, 15, 25, 35, 45) : (30 + 210 + 425 + 315 + 180)/50 = 1 160/50 = 23,2.
ECC : 6 ; 20 ; 37 ; 46 ; 50.
Médiane : N/2 = 25, dans [20 ; 30[ (E = 20, n = 17). Me = 20 + 10 × (25 − 20)/17 ≈ 22,94.
Q₁ : N/4 = 12,5, dans [10 ; 20[ (E = 6, n = 14). Q₁ = 10 + 10 × 6,5/14 ≈ 14,64.
Q₃ : 3N/4 = 37,5, dans [30 ; 40[ (E = 37, n = 9). Q₃ = 30 + 10 × 0,5/9 ≈ 30,56.
La moitié des élèves dépense moins de 22 940 GNF environ par semaine ; la dépense moyenne est de 23 200 GNF.
6. Moyenne ou médiane ?
La moyenne utilise toutes les valeurs, mais elle est sensible aux valeurs extrêmes. La médiane, elle, n'est pas influencée par quelques valeurs très grandes ou très petites. Exemple : dans un groupe de 9 employés dont 8 gagnent entre 1 et 2 millions de GNF par mois et un seul 20 millions, la moyenne est « tirée vers le haut » par ce salaire exceptionnel, alors que la médiane reste représentative de la majorité.
3Je retiens
Je retiens
Mode : valeur (ou classe) de plus grand effectif.
Moyenne : x̄ = (Σ nᵢxᵢ)/N ; en classes, on utilise les centres. Si y = ax + b, alors ȳ = ax̄ + b.
Médiane : partage la série rangée en deux moitiés ; N impair : rang (N + 1)/2 ; N pair : moyenne des rangs N/2 et N/2 + 1.
Q₁ : rang N/4 (arrondi au-dessus) ; Q₃ : rang 3N/4 (arrondi au-dessus) ; écart interquartile Q₃ − Q₁.
En classes : Me = a + (b − a) × (N/2 − E)/n, par interpolation linéaire.
La médiane résiste aux valeurs extrêmes ; la moyenne non.
4Erreurs fréquentes
- Chercher la médiane sans ranger les valeurs dans l'ordre croissant.
- Prendre pour médiane la valeur du milieu du TABLEAU (la modalité centrale) au lieu de la valeur de rang N/2 dans la série.
- Calculer la moyenne d'une série en classes avec les bornes au lieu des centres.
- Calculer la moyenne de deux groupes en faisant (x̄₁ + x̄₂)/2 alors que les effectifs sont différents.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Notes sur 20 de neuf élèves : 8 ; 12 ; 15 ; 9 ; 11 ; 14 ; 10 ; 12 ; 17.
Calcule la moyenne, le mode, la médiane, Q1 et Q3.
Voir le corrigéCacher le corrigé
Série rangée : 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 ; 12 ; 14 ; 15 ; 17 (N = 9).
Moyenne : 1089 = 12. Mode : 12 (seule valeur présente deux fois).
Médiane : N impair, rang 9 + 12 = 5 : Me = 12.
Q1 : 94 = 2,25, arrondi à 3 : la 3e valeur, Q1 = 10. Q3 : 274 = 6,75, arrondi à 7 : Q3 = 14.
2Exercice 2
Nombre de frères et sœurs de 25 élèves :
| Nombre | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 2 | 4 | 7 | 6 | 4 | 2 |
Calcule la moyenne, le mode, la médiane, Q1 et Q3.
Voir le corrigéCacher le corrigé
N = 25. Somme des produits : 0 + 4 + 14 + 18 + 16 + 10 = 62 ; moyenne 6225 = 2,48. Mode : 2.
ECC : 2 ; 6 ; 13 ; 19 ; 23 ; 25.
Médiane : rang 25 + 12 = 13 ; 6 < 13 ≤ 13, donc Me = 2.
Q1 : 254 = 6,25, rang 7 ; 6 < 7 ≤ 13, donc Q1 = 2. Q3 : 754 = 18,75, rang 19 ; 13 < 19 ≤ 19, donc Q3 = 3.
3Exercice 3
Âges des 60 membres d'une coopérative : [20 ; 30[ : 9 ; [30 ; 40[ : 18 ; [40 ; 50[ : 21 ; [50 ; 60[ : 12.
a) Donne la classe modale.
b) Calcule l'âge moyen.
c) Estime l'âge médian par interpolation linéaire.
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a) Classe modale : [40 ; 50[ (effectif 21).
b) Centres : 25 ; 35 ; 45 ; 55. x = 225 + 630 + 945 + 66060 = 2 46060 = 41 ans.
c) ECC : 9 ; 27 ; 48 ; 60. N2 = 30, dans [40 ; 50[ (E = 27, n = 21). Me = 40 + 10 × 30 - 2721 ≈ 41,43 ans.
4Exercice 4
a) Au devoir de mathématiques, les 30 élèves de la 12e SS A ont 11 de moyenne et les 20 élèves de la 12e SS B ont 13,5. Calcule la moyenne des 50 élèves.
b) Le professeur ajoute 1 point à chaque élève de la classe A. Quelle est la nouvelle moyenne de la classe A ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) x = 30 × 11 + 20 × 13,550 = 330 + 27050 = 60050 = 12.
b) Par linéarité, la moyenne de la classe A augmente de 1 point : elle passe à 12.
5Exercice 5
(Type BAC) Recettes journalières de 80 vendeuses d'un marché, en milliers de GNF :
| Recette | [0 ; 20[ | [20 ; 40[ | [40 ; 60[ | [60 ; 80[ | [80 ; 100[ |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 8 | 22 | 28 | 16 | 6 |
a) Calcule les ECC et donne la classe modale.
b) Calcule la recette moyenne.
c) Estime la médiane, puis Q1 et Q3, par interpolation linéaire. Calcule l'écart interquartile.
d) Interprète la médiane par une phrase.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) ECC : 8 ; 30 ; 58 ; 74 ; 80. Classe modale : [40 ; 60[.
b) Centres : 10 ; 30 ; 50 ; 70 ; 90. x = 80 + 660 + 1 400 + 1 120 + 54080 = 3 80080 = 47,5, soit 47 500 GNF.
c) Médiane : N2 = 40, dans [40 ; 60[ (E = 30, n = 28) : Me = 40 + 20 × 1028 ≈ 47,14.
Q1 : N4 = 20, dans [20 ; 40[ (E = 8, n = 22) : Q1 = 20 + 20 × 1222 ≈ 30,91.
Q3 : 3N4 = 60, dans [60 ; 80[ (E = 58, n = 16) : Q3 = 60 + 20 × 216 = 62,5.
Écart interquartile : 62,5 - 30,91 ≈ 31,59.
d) La moitié des vendeuses a une recette journalière inférieure à environ 47 140 GNF, l'autre moitié une recette supérieure.
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6Je vérifie
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