Karamö, le prof virtuelLeçon 1 sur 8
Le mouvement rectiligne
Je sais décrire un mouvement rectiligne, calculer une vitesse et une accélération, et utiliser les équations du mouvement uniforme et du mouvement uniformément varié.
- 55 min
- 5 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Choisir un référentiel et un repère pour décrire un mouvement rectiligne
- Calculer une vitesse moyenne, une vitesse instantanée et une accélération
- Écrire et utiliser l'équation horaire d'un mouvement rectiligne uniforme
- Utiliser les relations du mouvement rectiligne uniformément varié (démarrage, freinage)
Avant de commencer : Les notions de mouvement, de trajectoire et de référentiel vues en 11e ; la conversion des unités de longueur et de durée ; la résolution d'équations du premier degré.
1Je découvre
Sékou voyage en taxi-brousse de Mamou à Labé. Au départ de la gare routière, le chauffeur accélère doucement : l'aiguille du compteur passe de 0 à 60 km/h en quelques secondes. Sur une longue ligne droite, l'aiguille reste immobile sur 72 km/h pendant plusieurs minutes. Puis un troupeau de bœufs traverse la route : le chauffeur freine fort et le véhicule s'arrête juste à temps.
Pendant ces trois phases, la route est droite : la trajectoire du taxi est un segment de droite. Pourtant, les trois mouvements sont très différents. Dans le premier, la vitesse augmente ; dans le deuxième, elle ne change pas ; dans le troisième, elle diminue jusqu'à zéro.
Sékou se pose des questions : quelle distance le taxi parcourt-il en un quart d'heure à 72 km/h ? Sur combien de mètres faut-il freiner pour s'arrêter ? Et que veut dire exactement « accélérer » ?
Comment décrire et calculer un mouvement dont la trajectoire est une droite ?
2Je comprends
1. Référentiel, repère et position
Un mouvement se décrit toujours par rapport à un référentiel, c'est-à-dire un objet de référence considéré comme immobile. Pour le taxi, on prend le référentiel terrestre (la route, les arbres, les bornes kilométriques).
Un mouvement est rectiligne lorsque la trajectoire du point étudié est une droite. On étudie alors le mouvement d'un seul point du véhicule, noté M.
Pour repérer M, on place sur la droite un axe x'Ox : une origine O, un sens positif et une unité (le mètre). La position de M à la date t est donnée par son abscisse x(t), en mètres. On note x0 la position à la date t = 0 (position initiale).
2. La vitesse
Vitesse moyenne. Entre deux dates t1 et t2, le mobile passe de la position x1 à la position x2. Sa vitesse moyenne est :
vm = x2 - x1t2 - t1 = Δ xΔ t
Δ (delta) signifie « variation de ». L'unité SI de vitesse est le mètre par seconde (m/s). Pour convertir : 1 m/s = 3,6 km/h, donc on divise par 3,6 pour passer des km/h aux m/s et on multiplie par 3,6 pour faire l'inverse. Exemple : 72 km/h = 723,6 = 20 m/s.
Vitesse instantanée. C'est la vitesse à un instant précis, celle qu'indique le compteur. On l'obtient en calculant une vitesse moyenne sur un intervalle de temps très court autour de cet instant. En 11e, tu l'as calculée sur un enregistrement : vi ≈ xi+1 - xi-1ti+1 - ti-1.
Le signe de v indique le sens : v > 0 si le mobile avance dans le sens positif de l'axe, v < 0 s'il va dans l'autre sens.
3. L'accélération
Quand la vitesse change, on mesure la rapidité de ce changement par l'accélération :
a = Δ vΔ t = v2 - v1t2 - t1
Elle s'exprime en mètres par seconde par seconde : m/s² (ou m·s-2). Une accélération de 2 m/s2 signifie que la vitesse augmente de 2 m/s à chaque seconde.
- Si a et v ont le même signe, la vitesse augmente en valeur : le mouvement est accéléré.
- Si a et v sont de signes contraires, la vitesse diminue en valeur : le mouvement est retardé (freinage).
- Si a = 0, la vitesse ne change pas.
4. Le mouvement rectiligne uniforme (MRU)
Un mouvement est rectiligne uniforme lorsque la trajectoire est une droite et la vitesse est constante. Alors a = 0 et le mobile parcourt des distances égales pendant des durées égales.
Son équation horaire (la position en fonction du temps) est :
x(t) = v t + x0
La courbe x(t) est une droite de pente v.
Exemple
Sur la ligne droite, le taxi de Sékou roule à 72 km/h constants. On prend x0 = 0.
- Conversion : v = 72 / 3,6 = 20 m/s.
- Équation horaire : x(t) = 20 t.
- Distance parcourue en un quart d'heure : t = 15 min = 15 × 60 = 900 s.
x = 20 × 900 = 18 000 m = 18 km.
- Durée pour parcourir 45 km = 45 000 m : t = 45 000 / 20 = 2 250 s = 37,5 min.
5. Le mouvement rectiligne uniformément varié (MRUV)
Un mouvement est rectiligne uniformément varié lorsque la trajectoire est une droite et l'accélération est constante (et non nulle). La vitesse varie alors de la même quantité à chaque seconde.
Avec v0 la vitesse et x0 la position à t = 0, on a les trois relations suivantes :
- vitesse : v(t) = a t + v0
- position : x(t) = 12a t2 + v0 t + x0
- relation indépendante du temps : v2 - v02 = 2a (x - x0)
La courbe v(t) est une droite de pente a ; la courbe x(t) est une parabole.
Méthode
Pour résoudre un problème de mouvement rectiligne :
- Je choisis le référentiel, l'axe (origine et sens positif) et l'origine des dates t = 0.
- Je relève les données et je les convertis en unités SI (m, s, m/s, m/s²).
- Je reconnais le type de mouvement : vitesse constante (MRU) ou accélération constante (MRUV).
- J'écris les équations adaptées avec les valeurs de x0, v0 et a.
- Je résous et je vérifie que le résultat a un sens (durée positive, distance réaliste).
Exemple
Une moto part du repos (v0 = 0) avec une accélération constante a = 2 m/s². On prend x0 = 0.
- Vitesse au bout de 5 s : v = 2 × 5 + 0 = 10 m/s, soit 10 × 3,6 = 36 km/h.
- Distance parcourue pendant ces 5 s : x = ½ × 2 × 5² = ½ × 2 × 25 = 25 m.
- Vérification avec la troisième relation : v² − v0² = 10² − 0 = 100 et 2a(x − x0) = 2 × 2 × 25 = 100. Juste.
Exemple
Le taxi roule à 20 m/s quand le chauffeur freine. Il s'arrête après 40 m. On suppose l'accélération constante.
- Accélération : v² − v0² = 2a(x − x0), donc 0 − 20² = 2 × a × 40, soit −400 = 80 a, a = −5 m/s².
a est négative alors que v est positive : le mouvement est retardé.
- Durée du freinage : v = a t + v0 donne 0 = −5 t + 20, soit t = 4 s.
- Vérification : x = ½ × (−5) × 4² + 20 × 4 = −40 + 80 = 40 m. Juste.
6. Retenir les grandes différences
| MRU | MRUV | |
|---|---|---|
| Trajectoire | droite | droite |
| Accélération | a = 0 | a constante non nulle |
| Vitesse | constante | v = a t + v0 |
| Position | x = v t + x0 | x = 12a t2 + v0 t + x0 |
| Courbe x(t) | droite | parabole |
Ces deux modèles seront approfondis en Terminale. Ils permettent déjà de répondre aux questions de Sékou, et de comprendre pourquoi la vitesse excessive est si dangereuse : la distance de freinage est proportionnelle au carré de la vitesse (d = v022|a|). Rouler deux fois plus vite, c'est freiner sur une distance quatre fois plus longue.
3Je retiens
Je retiens
Un mouvement est rectiligne si la trajectoire est une droite ; la position est repérée par l'abscisse x(t) sur un axe.
Vitesse moyenne : vm = Δx / Δt (en m/s) ; 1 m/s = 3,6 km/h.
Accélération : a = Δv / Δt (en m/s²).
MRU : v constante, a = 0, x(t) = v t + x0.
MRUV : a constante, v(t) = a t + v0, x(t) = ½ a t² + v0 t + x0, v² − v0² = 2a(x − x0).
Mouvement accéléré si a et v ont le même signe ; retardé s'ils sont de signes contraires.
4Erreurs fréquentes
- Oublier de convertir les km/h en m/s : on divise par 3,6 avant tout calcul (72 km/h = 20 m/s, pas 72 m/s).
- Oublier le ½ dans x = ½ a t² + v0 t + x0, ou oublier d'élever t au carré.
- Prendre une accélération positive pendant un freinage : si le mobile avance dans le sens positif et ralentit, a est négative.
- Confondre position et distance parcourue : la distance parcourue est x − x0, pas x (sauf si x0 = 0).
5Je m’exerce
1Exercice 1
Convertis :
a) 90 km/h en m/s ; b) 15 m/s en km/h ; c) 36 km/h en m/s.
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a) 903,6 = 25 m/s.
b) 15 × 3,6 = 54 km/h.
c) 363,6 = 10 m/s.
2Exercice 2
Un cycliste roule en ligne droite à la vitesse constante de 5 m/s. À t = 0, il se trouve à 100 m de l'origine O, dans le sens positif.
a) Quelle est la nature de son mouvement ? Écris son équation horaire.
b) Où se trouve-t-il à t = 60 s ?
c) À quelle date passe-t-il à la position x = 1 100 m ?
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a) La trajectoire est une droite et la vitesse est constante : c'est un mouvement rectiligne uniforme. Avec v = 5 m/s et x0 = 100 m : x(t) = 5t + 100.
b) x(60) = 5 × 60 + 100 = 400 m.
c) 5t + 100 = 1 100 donne 5t = 1 000, soit t = 200 s (3 min 20 s).
3Exercice 3
Un train minier de la région de Boké démarre du repos avec une accélération constante de 0,2 m/s2.
a) Au bout de combien de temps atteint-il la vitesse de 20 m/s ?
b) Quelle distance a-t-il alors parcourue ?
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On prend x0 = 0, v0 = 0, a = 0,2 m/s2 : c'est un MRUV.
a) v = at + v0 donne 20 = 0,2 t, soit t = 200,2 = 100 s.
b) x = 12 × 0,2 × 1002 = 0,1 × 10 000 = 1 000 m.
Vérification : v2 = 400 et 2ax = 2 × 0,2 × 1 000 = 400. Juste.
4Exercice 4
Un automobiliste roule à 54 km/h. Il aperçoit un obstacle à 40 m devant lui et freine aussitôt ; l'accélération de freinage vaut -3 m/s2.
a) Calcule la durée du freinage et la distance de freinage.
b) S'arrête-t-il avant l'obstacle ?
c) En réalité, le conducteur met 1 s à réagir avant de freiner, pendant laquelle il roule à vitesse constante. Que se passe-t-il ?
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v0 = 543,6 = 15 m/s ; a = -3 m/s2.
a) Durée : 0 = -3t + 15, soit t = 5 s. Distance : 0 - 152 = 2 × (-3) × d, soit -225 = -6d, d = 37,5 m.
b) 37,5 m < 40 m : il s'arrête 2,5 m avant l'obstacle.
c) Pendant la seconde de réaction, il parcourt 15 × 1 = 15 m à vitesse constante. Distance totale d'arrêt : 15 + 37,5 = 52,5 m, supérieure à 40 m : il heurte l'obstacle. Le temps de réaction compte beaucoup : il faut rester attentif et garder ses distances.
5Exercice 5
(Type examen) Sur une route droite, une voiture A part de l'origine O à t = 0 et roule vers l'est à la vitesse constante de 20 m/s. Au même instant, une moto B se trouve à 700 m à l'est de O et roule vers l'ouest à la vitesse constante de 15 m/s. On oriente l'axe vers l'est.
a) Écris les équations horaires xA(t) et xB(t).
b) À quelle date et à quelle position les deux véhicules se croisent-ils ?
c) Quelle distance chaque véhicule a-t-il parcourue jusqu'au croisement ?
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a) A : x0A = 0, vA = +20 m/s, donc xA(t) = 20t. B : x0B = 700 m et B roule vers l'ouest, donc vB = -15 m/s : xB(t) = -15t + 700.
b) Au croisement, xA = xB : 20t = -15t + 700, soit 35t = 700, t = 20 s. Position : xA(20) = 20 × 20 = 400 m. Vérification : xB(20) = -300 + 700 = 400 m.
c) A a parcouru 400 - 0 = 400 m ; B a parcouru 700 - 400 = 300 m. Total : 700 m, c'est bien la distance qui les séparait.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
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