Karamö, le prof virtuelLeçon 4 sur 8
Théorème de l'énergie cinétique
Je sais calculer l'énergie cinétique d'un solide et utiliser le théorème de l'énergie cinétique pour trouver une vitesse, une hauteur ou une distance de freinage.
- 55 min
- 5 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir et calculer l'énergie cinétique d'un solide en translation
- Énoncer le théorème de l'énergie cinétique
- Appliquer le théorème pour calculer une vitesse, une hauteur ou une distance
- Expliquer pourquoi la vitesse augmente fortement la distance de freinage
Avant de commencer : Le travail d'une force constante et le travail du poids (leçon Travail et puissance) ; le mouvement de translation ; la conversion des km/h en m/s.
1Je découvre
Sur la route nationale qui traverse la Moyenne-Guinée, Mamadou conduit un minibus. Au pied d'une descente, une pancarte indique : « Attention, descente dangereuse, réduisez votre vitesse ». Son apprenti, Ibrahima, s'étonne : « Pourquoi ralentir ? Ce n'est qu'un peu plus vite ! »
Mamadou lui raconte qu'un jour, roulant deux fois plus vite que d'habitude, il a dû freiner sur une distance bien plus longue que prévu, presque quatre fois plus. Ibrahima ne comprend pas : si on roule deux fois plus vite, on devrait freiner sur une distance deux fois plus grande, non ?
La réponse se trouve dans une grandeur que tout corps en mouvement possède : son énergie de mouvement. Plus un véhicule est lourd et rapide, plus il en a, et c'est le travail des freins qui doit la faire disparaître.
Comment calculer l'énergie d'un corps en mouvement, et comment le travail des forces la modifie-t-il ?
2Je comprends
1. L'énergie cinétique
Tout corps en mouvement possède une énergie liée à sa vitesse : l'énergie cinétique (du grec kinêsis, mouvement). Pour un solide en translation, de masse m et de vitesse v, elle vaut :
Ec = 12 m v2
- m en kilogrammes (kg) ;
- v en mètres par seconde (m/s) ;
- Ec en joules (J).
Trois remarques importantes :
- l'énergie cinétique est toujours positive ou nulle ; elle est nulle si le corps est immobile ;
- elle est proportionnelle à la masse : un camion a plus d'énergie qu'une moto à la même vitesse ;
- elle est proportionnelle au carré de la vitesse : si la vitesse double, l'énergie cinétique est multipliée par 22 = 4 ; si la vitesse triple, elle est multipliée par 9.
Comme la vitesse, l'énergie cinétique dépend du référentiel : un passager assis dans un car a une énergie cinétique nulle par rapport au car, mais pas par rapport à la route.
Exemple
Comparons des énergies cinétiques (référentiel terrestre).
- Une moto et son conducteur : m = 150 kg, v = 36 km/h = 10 m/s.
Ec = ½ × 150 × 10² = ½ × 150 × 100 = 7 500 J = 7,5 kJ.
- Une voiture : m = 1 000 kg, v = 36 km/h = 10 m/s.
Ec = ½ × 1 000 × 100 = 50 000 J = 50 kJ.
- La même voiture à 72 km/h = 20 m/s :
Ec = ½ × 1 000 × 400 = 200 000 J = 200 kJ, soit 4 fois plus qu'à 36 km/h.
2. Le théorème de l'énergie cinétique
Énoncé. Dans un référentiel galiléen (le référentiel terrestre convient pour les mouvements de la vie courante), la variation de l'énergie cinétique d'un solide entre deux instants est égale à la somme des travaux de toutes les forces extérieures qui s'exercent sur lui entre ces deux instants :
Δ Ec = Ec,B - Ec,A = Σ WAB(Fext)
soit 12m vB2 - 12m vA2 = Σ WAB.
Conséquences :
- si la somme des travaux est positive (forces motrices dominantes), l'énergie cinétique augmente : le corps accélère ;
- si elle est négative (forces résistantes dominantes), l'énergie cinétique diminue : le corps ralentit ;
- si elle est nulle, la vitesse garde la même valeur.
Ce théorème relie directement les forces (par leurs travaux) et la vitesse. Il est très utile quand on connaît les forces et les distances, sans connaître les durées.
- 1Choisir le système (le solide étudié) et le référentiel (terrestre).
- 2Faire l'inventaire des forces extérieures et les représenter sur un schéma.
- 3Calculer le travail de chaque force entre la position initiale A et la position finale B.
- 4Écrire le théorème : Ec(B) − Ec(A) = somme des travaux.
- 5Résoudre pour trouver l'inconnue (vitesse, hauteur, distance, force) et vérifier l'unité.
Méthode
Pour appliquer le théorème de l'énergie cinétique :
- Je précise le système et le référentiel.
- Je fais l'inventaire des forces extérieures (poids, réaction, frottements, force motrice…).
- Je calcule le travail de chacune entre A et B, avec son signe.
- J'écris ½ m vB² − ½ m vA² = somme des travaux.
- Je résous l'équation et je donne le résultat avec son unité.
3. Premier cas : la chute libre
Un corps qui tombe sans frottement n'est soumis qu'à son poids. Si on le lâche sans vitesse initiale et qu'il descend d'une hauteur h :
12m v2 - 0 = m g h, donc v = √2 g h.
La masse s'est simplifiée : sans frottement de l'air, un objet lourd et un objet léger arrivent au sol avec la même vitesse.
Exemple
Une mangue se détache d'une branche à h = 5 m du sol. On néglige les frottements de l'air ; g = 10 N/kg.
- Système : la mangue ; référentiel terrestre. Seule force : le poids (travail moteur).
- TEC : ½ m v² − 0 = m g h.
- Donc v² = 2 g h = 2 × 10 × 5 = 100, et v = 10 m/s (36 km/h).
4. Deuxième cas : le freinage
Pendant un freinage sur une route horizontale, le poids et la réaction normale sont perpendiculaires au déplacement : leur travail est nul. Seule la force de freinage f, opposée au mouvement, travaille : W = -f × d.
0 - 12m v02 = -f × d, donc d = m v022 f.
La distance de freinage est proportionnelle au carré de la vitesse. Voilà la réponse à la question d'Ibrahima : à vitesse double, distance de freinage quadruple.
Exemple
Le minibus de Mamadou (m = 1 000 kg) roule à 72 km/h sur une route horizontale. Les freins exercent une force constante f = 5 000 N opposée au mouvement.
- v0 = 72 / 3,6 = 20 m/s ; Ec initiale = ½ × 1 000 × 20² = 200 000 J.
- TEC entre le début du freinage et l'arrêt : 0 − 200 000 = −5 000 × d.
- d = 200 000 / 5 000 = 40 m.
- À 144 km/h (40 m/s), Ec = ½ × 1 000 × 1 600 = 800 000 J et d = 800 000 / 5 000 = 160 m : quatre fois plus !
5. Troisième cas : une descente
Exemple
Aïssatou descend à vélo une colline du Fouta-Djallon sans pédaler. Masse totale : 60 kg. Sa vitesse en haut vaut 2 m/s ; elle descend d'une hauteur de 5 m. On néglige les frottements (g = 10 N/kg).
- Forces : poids (travail moteur m g h) et réaction de la route (perpendiculaire au déplacement, travail nul).
- TEC : ½ m v² − ½ m v0² = m g h. On divise par m : ½ v² − ½ × 2² = 10 × 5.
- ½ v² = 50 + 2 = 52, donc v² = 104 et v = √104 ≈ 10,2 m/s (environ 37 km/h).
3Je retiens
Je retiens
Énergie cinétique d'un solide en translation : Ec = ½ m v² (m en kg, v en m/s, Ec en J).
Ec est toujours positive ou nulle ; elle double si la masse double et quadruple si la vitesse double.
Théorème de l'énergie cinétique : Ec(B) − Ec(A) = somme des travaux des forces extérieures entre A et B.
Somme des travaux positive : le corps accélère ; négative : il ralentit ; nulle : vitesse constante en valeur.
Chute libre sans vitesse initiale d'une hauteur h : v = √(2 g h), indépendante de la masse.
Distance de freinage : d = m v0² / (2 f), proportionnelle au carré de la vitesse.
4Erreurs fréquentes
- Oublier de mettre la vitesse au carré, ou oublier le ½ : Ec = ½ m v², pas m v ni m v².
- Calculer avec des km/h : il faut toujours convertir la vitesse en m/s avant d'utiliser Ec = ½ m v².
- Oublier une force ou le signe d'un travail : les frottements et le poids en montée donnent des travaux négatifs.
- Écrire ΔEc = Ec(A) − Ec(B) : la variation, c'est toujours « état final moins état initial ».
5Je m’exerce
1Exercice 1
Calcule l'énergie cinétique :
a) d'un ballon de football de 0,4 kg lancé à 15 m/s ;
b) d'un camion de bauxite de 20 tonnes roulant à 54 km/h.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Ec = 12 × 0,4 × 152 = 0,2 × 225 = 45 J.
b) m = 20 000 kg ; v = 543,6 = 15 m/s. Ec = 12 × 20 000 × 225 = 10 000 × 225 = 2 250 000 J = 2,25 × 106 J.
2Exercice 2
Un élève lance verticalement vers le haut un caillou à la vitesse de 12 m/s. On néglige les frottements de l'air (g = 10 N/kg). À l'aide du théorème de l'énergie cinétique, calcule la hauteur maximale atteinte par le caillou au-dessus du point de lancement.
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Système : le caillou ; seule force : le poids. Entre le lancement (v0 = 12 m/s) et le point le plus haut (v = 0), le caillou monte de h : W(P) = -m g h.
TEC : 0 - 12m v02 = -m g h, donc h = v022g = 14420 = 7,2 m.
3Exercice 3
Sur une route horizontale, Lansana pousse un pousse-pousse de 100 kg, initialement immobile, avec une force horizontale constante de 200 N sur une distance de 10 m. Les frottements équivalent à une force constante de 50 N opposée au mouvement.
a) Fais l'inventaire des forces et calcule le travail de chacune.
b) Calcule la vitesse du pousse-pousse après 10 m.
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a) Forces : poids P et réaction normale R (perpendiculaires au déplacement : travaux nuls), force de poussée F : W = 200 × 10 = 2 000 J (moteur), frottements f : W = -50 × 10 = -500 J (résistant).
b) TEC : 12 × 100 × v2 - 0 = 2 000 - 500 = 1 500 J. Donc 50 v2 = 1 500, v2 = 30 et v = √30 ≈ 5,48 m/s.
4Exercice 4
Une voiture de 800 kg roule à 90 km/h sur une route horizontale. Le conducteur freine ; la force de freinage, constante, vaut 4 000 N.
a) Calcule l'énergie cinétique de la voiture avant le freinage.
b) Calcule la distance de freinage.
c) Quelle serait la distance de freinage à 45 km/h ? Commente.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) v0 = 903,6 = 25 m/s. Ec = 12 × 800 × 252 = 400 × 625 = 250 000 J.
b) TEC : 0 - 250 000 = -4 000 × d, donc d = 250 0004 000 = 62,5 m.
c) À 45 km/h (v = 12,5 m/s) : Ec = 400 × 156,25 = 62 500 J et d = 62 5004 000 ≈ 15,6 m. En divisant la vitesse par 2, on divise la distance de freinage par 4 : réduire sa vitesse sauve des vies.
5Exercice 5
(Type examen) Une caisse de 2 kg est lâchée sans vitesse au sommet A d'un plan incliné de 30° sur l'horizontale. Elle glisse jusqu'au bas B du plan, avec AB = 5 m. Les frottements équivalent à une force constante f = 4 N opposée au mouvement (g = 10 N/kg).
a) Fais l'inventaire des forces qui s'exercent sur la caisse.
b) Calcule le travail de chaque force entre A et B.
c) Déduis-en la vitesse de la caisse en B.
d) En B, la caisse continue sur un sol horizontal où la force de frottement vaut toujours 4 N. Quelle distance parcourt-elle avant de s'arrêter ?
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a) Forces : le poids P, la réaction normale R du plan, la force de frottement f.
b) La caisse descend de h = AB × sin 30° = 5 × 0,5 = 2,5 m : W(P) = m g h = 2 × 10 × 2,5 = 50 J.
W(R) = 0 (R est perpendiculaire au plan). W(f) = -f × AB = -4 × 5 = -20 J.
c) TEC entre A (vA = 0) et B : 12 × 2 × vB2 - 0 = 50 + 0 - 20 = 30 J. Donc vB2 = 30 et vB ≈ 5,48 m/s.
d) Sur le sol horizontal, seul le frottement travaille : 0 - 30 = -4 × d, donc d = 7,5 m.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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