Karamö, le prof virtuelLeçon 5 sur 8
Énergie potentielle et énergie mécanique
Je sais calculer l'énergie potentielle de pesanteur et l'énergie mécanique d'un corps, et utiliser la conservation de l'énergie mécanique ou sa diminution à cause des frottements.
- 55 min
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Calculer l'énergie potentielle de pesanteur en précisant l'état de référence
- Relier le travail du poids à la variation d'énergie potentielle
- Calculer l'énergie mécanique et appliquer sa conservation en l'absence de frottements
- Évaluer l'énergie perdue par frottements
Avant de commencer : Le travail du poids ; l'énergie cinétique et le théorème de l'énergie cinétique.
1Je découvre
Pendant les vacances, Fatoumata visite avec sa classe le barrage de Kaléta, sur le fleuve Konkouré. Le guide explique : « L'eau retenue en hauteur par le barrage possède une énergie en réserve. Quand on la laisse descendre dans les conduites, elle prend de la vitesse et fait tourner les turbines, qui produisent de l'électricité. »
De retour au village, Fatoumata observe son petit frère sur la balançoire. Tout en haut, la balançoire s'arrête un instant ; en bas, elle passe très vite ; puis elle remonte presque aussi haut. Une mangue qui tombe d'un arbre, elle, part de l'immobilité et arrive au sol avec une grande vitesse.
Dans ces trois situations, il semble qu'une énergie « liée à la hauteur » se transforme en énergie « liée à la vitesse », et inversement.
Quelle est cette énergie liée à la position, et que devient l'énergie totale d'un corps qui monte ou descend ?
2Je comprends
1. L'énergie potentielle de pesanteur
Un corps situé en hauteur possède une énergie en réserve, qu'il peut libérer en tombant : c'est l'énergie potentielle de pesanteur, notée Epp. Elle est due à l'interaction entre le corps et la Terre.
On oriente un axe vertical Oz vers le haut et on choisit un état de référence où l'énergie potentielle est nulle (en général le sol, ou le point le plus bas du mouvement, à l'altitude z = 0). Alors, pour un corps de masse m dont le centre d'inertie est à l'altitude z :
Epp = m g z
- m en kg ; g en N/kg ; z en m ; Epp en joules (J).
- Si le corps est au-dessus de la référence, z > 0 et Epp > 0 ; s'il est en dessous (au fond d'un puits, par exemple), z < 0 et Epp < 0.
La valeur de Epp dépend de la référence choisie, mais sa variation entre deux positions n'en dépend pas. Il faut donc toujours préciser la référence.
2. Lien avec le travail du poids
Tu sais que le travail du poids entre A et B vaut WAB(P) = m g (zA - zB). On remarque que :
WAB(P) = m g zA - m g zB = Epp,A - Epp,B = -Δ Epp
Quand un corps descend, le poids fournit un travail positif et l'énergie potentielle diminue. Quand il monte, l'énergie potentielle augmente.
3. Une autre énergie potentielle : le ressort
Un ressort comprimé ou étiré possède aussi une énergie en réserve : l'énergie potentielle élastique. Pour un ressort de raideur k (en N/m) déformé d'une longueur x (en m) :
Epe = 12 k x2
C'est cette énergie qu'utilise un lance-pierre ou un jouet à ressort.
4. L'énergie mécanique
L'énergie mécanique d'un corps est la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle :
Em = Ec + Ep = 12m v2 + m g z
5. Conservation de l'énergie mécanique
En l'absence de frottements, quand seul le poids travaille (les autres forces, comme la réaction d'un support lisse ou la tension d'un fil, étant perpendiculaires au déplacement), l'énergie mécanique se conserve :
Em = constante, soit Ec,A + Ep,A = Ec,B + Ep,B.
Démonstration : d'après le théorème de l'énergie cinétique, Δ Ec = W(P) = -Δ Epp, donc Δ Ec + Δ Epp = 0, c'est-à-dire Δ Em = 0.
L'énergie ne disparaît pas : elle se transforme. Quand le corps descend, l'énergie potentielle se change en énergie cinétique ; quand il monte, c'est l'inverse.
Exemple
Une mangue de 0,3 kg se détache à 5 m du sol, sans vitesse. Référence : le sol (z = 0). g = 10 N/kg ; frottements négligés.
- En haut : Epp = 0,3 × 10 × 5 = 15 J ; Ec = 0 ; Em = 15 J.
- À 2 m du sol : Epp = 0,3 × 10 × 2 = 6 J. Em se conserve, donc Ec = 15 − 6 = 9 J.
½ × 0,3 × v² = 9 donne v² = 60, v ≈ 7,75 m/s.
- Au sol : Epp = 0, Ec = 15 J, donc ½ × 0,3 × v² = 15, v² = 100, v = 10 m/s.
Exemple
Le siège de la balançoire est lâché sans vitesse d'une position située 0,8 m plus haut que le point le plus bas. Les cordes sont perpendiculaires au déplacement : elles ne travaillent pas. On néglige les frottements (g = 10 N/kg). Référence : le point le plus bas.
Em(haut) = Em(bas) : 0 + m g h = ½ m v² + 0.
Donc v² = 2 g h = 2 × 10 × 0,8 = 16 et v = 4 m/s.
Le siège remonte ensuite jusqu'à 0,8 m de l'autre côté : la même hauteur, puisque l'énergie mécanique se conserve.
6. Quand il y a des frottements
Dans la réalité, l'air, le sol ou les axes exercent des frottements. Leur travail est négatif. L'énergie mécanique diminue :
Δ Em = Em,B - Em,A = W(f) < 0
L'énergie « perdue » ne disparaît pas vraiment : elle est transformée en chaleur (échauffement des freins, de l'air, des pneus) et parfois en son. C'est pourquoi la balançoire, si personne ne la pousse, finit par s'arrêter.
Exemple
Une balle de 0,5 kg est lâchée d'une hauteur de 10 m. Elle arrive au sol à 12 m/s (g = 10 N/kg). Référence : le sol.
- Em(départ) = 0 + 0,5 × 10 × 10 = 50 J.
- Em(arrivée) = ½ × 0,5 × 12² + 0 = 0,25 × 144 = 36 J.
- ΔEm = 36 − 50 = −14 J : les frottements de l'air ont effectué un travail de −14 J ; 14 J ont été transformés en chaleur.
7. Les barrages hydroélectriques
Dans un barrage, l'eau retenue en hauteur possède une grande énergie potentielle. En descendant dans les conduites, cette énergie devient énergie cinétique, puis les turbines la transforment en énergie mécanique de rotation, et l'alternateur en énergie électrique. Par exemple, 1 m³ d'eau (1 000 kg) qui descend de 50 m perd une énergie potentielle de 1 000 × 10 × 50 = 500 000 J.
Méthode
Pour résoudre un problème avec l'énergie mécanique :
- Je choisis le système, le référentiel terrestre et la référence de l'énergie potentielle (z = 0).
- Je vérifie s'il y a des frottements.
- Je calcule Em = ½ m v² + m g z dans l'état où je connais tout.
- Sans frottements : j'écris Em(A) = Em(B) et je trouve l'inconnue.
- Avec frottements : j'écris Em(B) − Em(A) = W(f) et je calcule l'énergie perdue ou l'inconnue.
3Je retiens
Je retiens
Énergie potentielle de pesanteur : Epp = m g z (axe z vers le haut, Epp = 0 à la référence z = 0). Toujours préciser la référence.
Le travail du poids est égal à l'opposé de la variation d'énergie potentielle : W(P) = −ΔEpp.
Énergie potentielle élastique d'un ressort : Epe = ½ k x².
Énergie mécanique : Em = Ec + Ep = ½ m v² + m g z.
Sans frottements, Em se conserve : Ep se transforme en Ec et inversement.
Avec frottements, Em diminue : ΔEm = W(frottements) < 0 ; l'énergie perdue devient de la chaleur.
4Erreurs fréquentes
- Oublier de préciser la référence de l'énergie potentielle : Epp = m g z n'a de sens que si l'on sait où z = 0.
- Additionner des énergies calculées avec des références différentes : on garde la même référence pour tout l'exercice.
- Appliquer la conservation de l'énergie mécanique alors qu'il y a des frottements : dans ce cas, Em diminue.
- Croire que l'énergie perdue par frottements disparaît : elle est transformée en chaleur.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Hawa, 60 kg, se trouve sur la terrasse d'un immeuble, à 12 m au-dessus du sol (g = 10 N/kg).
a) Calcule son énergie potentielle de pesanteur en prenant le sol comme référence.
b) Même question en prenant comme référence le plancher du premier étage, situé à 3 m du sol.
c) Elle descend jusqu'au sol. Calcule la variation de son énergie potentielle avec chaque référence. Que remarques-tu ?
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a) z = 12 m : Epp = 60 × 10 × 12 = 7 200 J.
b) Par rapport au premier étage, z = 12 - 3 = 9 m : Epp = 60 × 10 × 9 = 5 400 J.
c) Référence sol : au sol Epp = 0, donc Δ Epp = 0 - 7 200 = -7 200 J. Référence premier étage : au sol z = -3 m, Epp = 60 × 10 × (-3) = -1 800 J, donc Δ Epp = -1 800 - 5 400 = -7 200 J. La valeur de Epp dépend de la référence, mais pas sa variation.
2Exercice 2
Du haut d'un balcon situé à 1,5 m du sol, Ousmane lance verticalement vers le haut un caillou de 0,2 kg à 10 m/s. On néglige les frottements ; référence : le sol ; g = 10 N/kg.
a) Calcule l'énergie mécanique du caillou au moment du lancer.
b) Calcule l'altitude maximale atteinte.
c) Calcule la vitesse du caillou quand il touche le sol.
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a) Em = 12 × 0,2 × 102 + 0,2 × 10 × 1,5 = 10 + 3 = 13 J.
b) Au sommet, v = 0 : Em = m g zmax, donc 13 = 0,2 × 10 × zmax = 2 zmax et zmax = 6,5 m.
c) Au sol, z = 0 : Em = 12 × 0,2 × v2 = 0,1 v2 = 13, donc v2 = 130 et v ≈ 11,4 m/s.
3Exercice 3
Un ressort de raideur k = 200 N/m est comprimé de 5 cm. En se détendant, il lance horizontalement une bille de 50 g sur un rail sans frottement.
a) Calcule l'énergie potentielle élastique du ressort comprimé.
b) On suppose que toute cette énergie devient de l'énergie cinétique de la bille. Calcule la vitesse de la bille.
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a) x = 5 cm = 0,05 m : Epe = 12 × 200 × 0,052 = 100 × 0,0025 = 0,25 J.
b) m = 0,05 kg : 12 × 0,05 × v2 = 0,25, donc v2 = 0,50,05 = 10 et v ≈ 3,16 m/s.
4Exercice 4
Dans une petite centrale hydroélectrique, 5 m³ d'eau descendent chaque seconde d'une hauteur de 40 m (g = 10 N/kg ; 1 m³ d'eau a une masse de 1 000 kg).
a) Calcule l'énergie potentielle perdue par l'eau en une seconde.
b) Déduis-en la puissance disponible, en watts puis en mégawatts.
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a) m = 5 × 1 000 = 5 000 kg. Énergie perdue : m g h = 5 000 × 10 × 40 = 2 000 000 J = 2 × 106 J.
b) Cette énergie est libérée en 1 s : P = 2 × 1061 = 2 × 106 W = 2 MW.
5Exercice 5
(Type examen) Un skateur de 50 kg (avec sa planche) part sans vitesse d'un point A situé à 5 m au-dessus du sol. Il descend une piste jusqu'au point le plus bas B (au niveau du sol), puis remonte jusqu'au point C, situé à 3 m au-dessus du sol. Référence : le sol ; g = 10 N/kg.
a) On néglige les frottements. Calcule son énergie mécanique en A, puis ses vitesses en B et en C.
b) En réalité, on mesure une vitesse de 5 m/s en C. Calcule son énergie mécanique en C.
c) Déduis-en l'énergie transformée en chaleur entre A et C.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) En A : Em = 0 + 50 × 10 × 5 = 2 500 J. Sans frottements, Em se conserve.
En B (z = 0) : 12 × 50 × vB2 = 2 500, donc vB2 = 100 et vB = 10 m/s.
En C (z = 3 m) : Epp = 50 × 10 × 3 = 1 500 J, donc Ec = 2 500 - 1 500 = 1 000 J. 25 vC2 = 1 000, vC2 = 40 et vC ≈ 6,32 m/s.
b) Em(C) = 12 × 50 × 52 + 1 500 = 625 + 1 500 = 2 125 J.
c) Δ Em = 2 125 - 2 500 = -375 J : 375 J ont été transformés en chaleur par les frottements.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
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